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1、注意(zh y): 若函数在开区间上连续,结论不一定(ydng)成立 .一、最值定理一、最值定理(dngl)定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设xoyab)(xfy 12则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共13页第一页，共14页。例如(lr),无最大值和最小值 xoy11xoy1122也无最大值和最小值 又如, 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共13页第二页，共14页。bxoya)(xfy 12mM推论推论(tuln). 由定理(dngl) 1 可知有证: 设, ,)(baCxf上有界
2、 .二、介值定理(dngl)定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点且使xyoab)(xfy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第3页/共13页第三页，共14页。定理定理(dngl)3. ( 介值定理介值定理(dngl) )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点(y din)证: 作辅助(fzh)函数则且故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使即推论:Abxoya)(xfy B使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共13页第四页，共14页
3、。例例1. 证明证明(zhngmng)方程方程一个(y )根 .证: 显然(xinrn)又故据零点定理, 至少存在一点使即说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法4321x01在区间内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则第5页/共13页第五页，共14页。上连续(linx) , 且恒为正 ,例例2. 设设在对任意(rny)的必存在(cnzi)一点证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即. )()()(21xfxff当时,取或, 则有证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共13页第六页，共14页。*三三. 一致一致(yzh)连续性连续性已知
4、函数(hnsh)在区间(q jin) I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义:对任意的都有在 I 上一致连续 .显然:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共13页第七页，共14页。例如例如(lr),但不一致(yzh)连续 .因为(yn wi)取点则 可以任意小但这说明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理.上一致连续.(证明略)思考: P73 题 6提示:设存在,作辅助函数显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共13页第八页，共14页。内容内容(nirng)小结小结在上达到(d do)最大值与最小值;上可取(kq)最大与最小值之间的任何值;4.
5、 当时,使必存在上有界;在,ba在,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共13页第九页，共14页。1. 任给一张面积(min j)为 A 的纸片(如图),证明(zhngmng)必可将它思考思考(sko)与练习与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.xoy则面积函数因故由介值定理可知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共13页第十页，共14页。则证明至少(zhsho)存在使提示(tsh): 令则易证2. 设设作业(zuy)P73 题 2 ; 3; 4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共13页第十一页，共14页。备用备用(biyng)题题 至少
6、(zhsho)有一个不超过 4 的 证：证明(zhngmng)令且0根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共13页第十二页，共14页。感谢您的观看(gunkn)！第13页/共13页第十三页，共14页。NoImage内容(nirng)总结注意: 若函数在开区间上连续,。注意: 若函数在开区间上连续,。即: 设。由定理 1 可知有。在闭区间上连续的函数在该区间上有界.。定理3. ( 介值定理 )。则对 A 与 B 之间的任一数 C ,。故由零点定理知, 至少有一点。大值之间的任何值 .。例1. 证明方程。例2. 设。故由零点定理知 , 存在(cnzi)。在区间 I 上连续,。在 I 上一致连续 .。在 ( 0 , 1 上不一致连续 .。提示: 令第十四页，共14页。
D110连续函数性质78124实用教案
