福建师范大学21秋《常微分方程》复习考核试题库答案参考套卷2

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1、福建师范大学21秋常微分方程复习考核试题库答案参考1. 无穷小量是一种很小的量。( )A.正确B.错误参考答案：B2. 设A是n阶矩阵(n2)，求证：detA*=(detA)n-1设A是n阶矩阵(n2)，求证：detA*=(detA)n-1因为AA*=|A|E， (1) 若|A|=0，则|A*|=0(反证) 若|A*|0，则A*-1可逆，用(A*)-1右乘式的两边，得A=|A|(A*)-1=0，从而A的n-1阶代数余子式都为0，故A*=0，与|A*|0矛盾，所以当|A|=0时，|A*|=0 则|A*|=|A|n-1显然成立 (2) 当|A|0时，在式的两边取行列式，得 |A|A*|=|A|E|

2、=|A|n 则|A*|=|A|n-1 3. 设函数，试问当a、b为何值时，f(x)为可导函数，并写出导函数f&39;(x)设函数，试问当a、b为何值时，f(x)为可导函数，并写出导函数f(x)a=2，b=1，4. 设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集证明令h(x)=g(x)-f(x)由于f，g可测，故h可测又因为 x：f(x)g(x)=x：h(x)0=h-1(0，)， x：f(x)=g(x)=x：h(x)=0=h-1(0)，(0，是-，中的开集

3、，0是-，中的闭集故由可测函数的定义，h-1(0，)与h-1(0)都是可测的，结论成立 5. 设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且 li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明： a)设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明：a)b)a) (1) 由此直接得 (2) 由于矩阵 (3) 是从正交基(i，j，k)到正交基(l1，l2，l3)的过渡矩阵，故矩阵(3)是正交矩阵，由式(2)直接得出等式a) b)先求是式(1)中的第一个等式： 类似求，再把所得三个等式相加得

4、 利用矩阵(3)的正交性，由此直接得等式b) 6. 甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数各有5种取法，因此共有25种取法，即样本空间含基本事件总数为25；下求A=甲取得数大于乙取得数含基本事件数，当甲取10时，乙只能取1，3，5，7，9共5种取法；甲取8时，乙只能取1，3，5，7共4种取法，同理当甲取2，4，6时，乙分别只有1，2，3种取法，故A含基本事件数为：

5、1+2+3+4+5=15，因此 7. 设f(x，y)在点(x0，y0)处有f&39;x(x0，y0)=0，f&39;y(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零( )设f(x，y)在点(x0，y0)处有fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零()参考答案：错误错误8. 运输问题有可行解的充要条件是运输问题有可行解的充要条件是必要性，设xij(0)是问题的可行解，则有 从而有 充分性记,令 (i=1，2，m；j=1，2，n)，则易验证(xij)满足问题，即xij)是运输问题的一个可行解 9. 设f(x)存在，求下列函数y的

6、二阶导数：设f(x)存在，求下列函数y的二阶导数： $ 10. 极值点一定包含在区间的内部驻点或导数不存在的点之中。( )A.正确B.错误参考答案：A11. 设随机变量，求函数y=1-3X的数学期望与方差设随机变量，求函数y=1-3X的数学期望与方差函数的数字特征 用函数的数学期望公式，得 由方差公式，有 12. 设原问题为 min f=5x1-6x2+7x3+4x4， stx1+2x2-x3-x4=-7， 6x1-3x2+x3-7x414， -28x1-17x2+4x3+2x4-3,设原问题为minf=5x1-6x2+7x3+4x4，stx1+2x2-x3-x4=-7，6x1-3x2+x3-

7、7x414，-28x1-17x2+4x3+2x4-3,x1，x20，x3，x4无符号限制把不等式约束统一成的形式为清楚起见，列出表格，如表3-4所示 表3-4 于是可写出它的对偶规划为 max g=-7u1+14u2+3u3， s.t u1+6u2+28u35, 2u1-3u2+17u3-6， -u1+u2-4u3=7， -u1-7u2-2u3=4， u1无符号限制，u20，u30 13. 设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大泊松分布 已知X(5)，则其分布律为计算相邻两项的比值，得 当k4时，pk+1pk；当k4时，

8、pk+1pk因此，最大值在k=4，或k=5时取到计算得，即共有两项最大 14. 磷-32的半衰期约为14天，一开始有6.6克磷-32的半衰期约为14天，一开始有6.6克磷-32的半衰期约为14天，故磷-32的残余量的函数是 $由解得 x38.1， 即大约38天后只剩下1克磷-32了 15. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有证法1设 则F(x)在0，1上可导，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(

9、x)-g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少 注意到 而故F(1)=0 因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任何a0，1，有 证法2 因为所以 又由于x0，1时，f(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1 又由题设，当x0，1时，有g(x)0，所以 f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1于是 从而 注 在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下： 由积分中值定理知，存在a，1，使 一般来说

10、，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 16. 设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解AX=017. 描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。该函数的定义域

11、为(-，+)，且函数为偶函数，因此，只要作出它在(0，+)内的图形，即可根据其对称性得到它的全部图形。 求其一、二阶导数，得 y=-2xe-x2 y=2e-x2(2x2-1)， 令y=0，得驻点x=0， 令y=0，得， 当x时y0，所以y=0为该函数图形的水平渐近线。 讨论y，y的正负情况，确定函数y=e-x2的增减区间和极值、凹凸区间和拐点，将上述结果归结为表3-16。 根据以上讨论，即可描绘所给函数的图形。 18. 设曲线y=e-x(x0)， (1)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋设曲线y=e-x(x0)，(1)把曲线y=e-x，

12、x轴，y轴和直线x=(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积V()；求满足的a(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积这是微分学与积分学的综合题，按步骤逐个求解便可 (1)如下图所示， 易知 ，故从 解出 (2)如下图所示，设A为曲线y=e-x上的切点，则因y(a)=-e-a，可以求出切线方程为 y-e-a=-e-a(x-a) 令x=0，得切线与y轴交点为(0，(1+a)e-a)；令y=0，得切线与x轴交点为(1+a，0)，从而切线与坐标轴所围图形面积为 令，得驻点a=1(a=-1舍去)分析S(a)的符号可知，S(a)在0a1

13、时单调增，在a1时单调减，故是所求的最大面积 19. 偏序集合的哈斯图一定是一个连通图( )偏序集合的哈斯图一定是一个连通图()错误20. 下列函数中是同一函数的原函数的是 ( )Algx3，lg3xBarccosx，arcsinxCsin2x，sin2xDcos2x下列函数中是同一函数的原函数的是 ( )Algx3，lg3xBarccosx，arcsinxCsin2x，sin2xDcos2x，2cos2x正确答案：D同一个函数的原函数只相差一个常数，所以选D.21. 奇函数的图像关于y轴对称。( )A.正确B.错误参考答案：B22. 有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过

14、程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质量管理部门怀疑那两台机器是否充装同样的16.0盎司净容量从机器的产品中各取一个随机样本机器1：16.0316.0416.0516.0516.0216.0115.9615.9816.0215.99机器2：16.02 15.9715.9616.0115.99 16.03 16.04 16.02 16.0116.00在显著水平=0.05下，质量管理部门的怀疑是正确的吗?23. 某人钓鱼平均每次钓到2kg，方差2.25kg2问：至

15、少钓多少次鱼，才能使总重量不少于200kg的概率为0.95?某人钓鱼平均每次钓到2kg，方差2.25kg2问：至少钓多少次鱼，才能使总重量不少于200kg的概率为0.95?24. 若数列收敛，则该数列的极限惟一。( )A.正确B.错误参考答案：A25. 曲线y=f(x)关于直线y=x对称的必要条件是( )A.f(x)=xB.f(x)=1/xC.f(x)=-xD.ff(x)=x参考答案：D26. 求下列二元函数的二阶偏导数：求下列二元函数的二阶偏导数：计算一阶偏导数 zx=y4-2xy zy=4xy3-x2 所以二阶偏导数 zxx=-2y zxy=zyx=4y3-2x zyy=12xy2$计算一

16、阶偏导数 zx=exy(xy)x=yexy zy=exy(xy)y=xexy 所以二阶偏导数 zxx=yexy(xy)x=y2exy zxy=zyx=exy+yexy(xy)y=exy+xyexy=(1+xy)exy zyy=xexy(xy)y=x2exy 27. 试证明： 设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)试证明：设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)证明 因为我们有 ，所以在0，a上几乎处处绝对收敛，由于以x+a代替x，上述级数不变，故它在R1上也就几乎处处绝对收敛又

17、有 28. 求y3y&39;4y=0满足初始条件y(0)=1，y&39;(0)=1的特解。求y-3y-4y=0满足初始条件y(0)=1，y(0)=1的特解。答案：29. 试证明： 设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的rQ，点集xR1：f(x)=r必为闭集，则fC(R1)试证明：设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的rQ，点集xR1：f(x)=r必为闭集，则fC(R1)证明 反证法，假定x0R1是f(x)的不连续点，即存在00以及xnx0(n)，使得 |f(xn)-f(x0)|0，|xn-x|1/n 不妨设f(x0)f(x0)+0f(xn)(nN)，取rQ：f(x0)rf(x0)+，则由题

18、设知，存在n(位于x0与xn之间)，使得f(n)=r现在令n，根据点集x：f(x)=r的闭集性，可知f(x0)=r这一矛盾说明fC(R1) 30. Fx中，不与x1相伴的是A、2x2B、3x3C、3x3D、2x2Fx中，不与x-1相伴的是A、2x-2B、3x-3C、3x+3D、-2x+2正确答案： C31. 设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_832. 下列关于导数的结论正确的是( )。A.两个函数的和的导数等于两个函数导数的和B.两个函数的差的导数等于两个函数导数的差C.反函数的导数等于原

19、来函数导数的倒数D.两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数参考答案：ABCD33. 若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_F(ax+b)+C34. 设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角正确答案：aca(ab)b(aa)a(ab)bca(bb)b(ba)b(ba)35. 晶体与非晶体的基本区别是什么?按晶体中有序分布的质点的不同，晶体可以分成哪几种类型，每种类型晶体与非晶体的基本区别是

20、什么?按晶体中有序分布的质点的不同，晶体可以分成哪几种类型，每种类型的晶体其物理性质的特点如何?正确答案：晶体与非晶体的基本区别在于：晶体的质点的排列是有规律的非晶体的质点排列则毫无规律。rn 根据晶体中那些排列有序的质点的性质可以将晶体分成四种基本类型：分子晶体、离子晶体、原子晶体和金属晶体。rn 分子晶体分子晶体中有序排列的质点是分子质点之间的结合力属于分子间作用力这种力远小于离子键和共价键的结合作用所以分子晶体一般来说熔点低导电性能较差。rn 离子晶体离子晶体中有序排列的质点是正离子和负离子正、负离子间的静电引力即离子键的作用是很强的因此离子晶体的熔点通常要高出室温很多。在晶体中离子不能

21、自由移动所以这些离子晶体导电性差。然而当融化时它们成为很好的导体。rn 原子晶体原子晶体中有序排列的质点是原子。在任何一种原子晶体中原子间都是以共价键相互连接的。由于共价键十分强所以这类物质具有很高的熔点十分坚硬通常导电性差。rn 金属晶体金属晶体中有序排列的质点是金属原子或金属离子金属离子和原子有序地排列与沉浸在由失去的外层电子所形成的电子的“海洋”中。金属晶体的某些性质相差很大这些差异可以由金属键的强弱来加以说明。晶体与非晶体的基本区别在于：晶体的质点的排列是有规律的,非晶体的质点排列则毫无规律。根据晶体中那些排列有序的质点的性质,可以将晶体分成四种基本类型：分子晶体、离子晶体、原子晶体和

22、金属晶体。分子晶体分子晶体中有序排列的质点是分子,质点之间的结合力属于分子间作用力,这种力远小于离子键和共价键的结合作用,所以分子晶体一般来说熔点低,导电性能较差。离子晶体离子晶体中有序排列的质点是正离子和负离子,正、负离子间的静电引力,即离子键的作用是很强的,因此离子晶体的熔点通常要高出室温很多。在晶体中,离子不能自由移动,所以这些离子晶体导电性差。然而当融化时,它们成为很好的导体。原子晶体原子晶体中有序排列的质点是原子。在任何一种原子晶体中,原子间都是以共价键相互连接的。由于共价键十分强,所以这类物质具有很高的熔点,十分坚硬,通常导电性差。金属晶体金属晶体中有序排列的质点是金属原子或金属离

23、子,金属离子和原子有序地排列与沉浸在由失去的外层电子所形成的电子的“海洋”中。金属晶体的某些性质相差很大,这些差异可以由金属键的强弱来加以说明。36. 函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等。( )A.错误B.正确参考答案：B37. 设f(x，y，z)=Ax2By2Cz2DxyEyzFzx，试按h，k，l的正数幂展开f(xh，yk，zl)设f(x，y，z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx，试按h，k，l的正数幂展开f(x+h，y+k，z+l)38. f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是( )A./4B./2C.D.2参考答案：B39. 证明：Ga

24、uss整环Zi关于映射 ：a+bia2+b2作成一个欧氏环证明：Gauss整环Zi关于映射 ：a+bia2+b2作成一个欧氏环正确答案：显然对任意Zi有rn ()=|2 ()=()()rn故当0时令-1=s+ti(stQ)且ab分别是最接近st的整数于是q=a+biZi且rnrn从而由上知：rn (-1-q)=(s-a)2+(t一b)2 (1)rn再令r=-q则r=0或由(1)有rn (r)=(-q=()(-1一q)rn因此Zi关于作成一个欧氏环显然,对任意,Zi,有()=|2,()=()()故当0时,令-1=s+ti(s,tQ)且a,b分别是最接近s,t的整数于是q=a+biZi,且从而由上

25、知：(-1-q)=(s-a)2+(t一b)2(1)再令r=-q,则r=0,或由(1)有(r)=(-q=()(-1一q)因此,Zi关于作成一个欧氏环40. 设f(x)=e3x，则f&39;&39;(0)=( )。 A1 B3 C9 D9e设f(x)=e3x，则f(0)=()。A1B3C9D9eC41. 若函数在区间上有原函数，这函数是否在该区间上一定可积？若函数在区间上有原函数，这函数是否在该区间上一定可积？不一定例如函数容易知道F(x)在(-，+)上可导，且即函数f(x)在(-，+)上有原函数F(x)，但由于函数f(x)在x=0的任一邻域内无界，故函数f(x)在包含x=0的区间上不可积42.

26、如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？不一定复合函数求导法则中关于函数g，f的条件是保证复合函数可导的充分条件，而不是必要条件，因此，函数g或f的可导性不满足时，复合函数仍有可能是可导的 例如：(1)g(x)=|x|在x=0处不可导，f (u)=u2在u=g(0)=0处可导，而f(g(x)=(|x|)2=x2在x=0处可导 (2)g(x)=x2在x=0处可导，f(u)=|u|在u=g(0)=

27、0处不可导，而f(g(x)=|x2|=x2在x=0处可导. (3)g(x)=x+|x|在x=0处不可导，f(u)=u-|u|在u=g(0)=0处也不可导，而f(g(x)=x+|x|-|x+|x|在x=0处可导 43. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x。( )A.错误B.正确参考答案：A44. 设S=a，b，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群设S=a，b，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群由条件可知满足封闭性，且满足结合律 (a*b)*a=b*a=a， a*(b*a)=a*a=a； (b*a)*a=

28、a*a=a， b*(a*a)=b*a=a； (a*b)*b=b*b=b， a*(b*b)=a*b=b； (b*a)*b=a*b=b， b*(a*b)=b*b=b； 故是半群 45. 已知y=4x3-5x2+3x-2，则x=0时的二阶导数y”=( )A.0B.10C.-10D.1参考答案：C46. 直线y=2x，y=x/2，x+y=2所围成图形的面积为( )A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3参考答案：A47. 判定下列各组命题公式中哪些是等价的，哪些是不等价的，为什么? (1)( )(AB)(AB) (2)A(BC)，(AB)判定下列各组命题公式中哪些是等价的，哪些是不等价的，为什么?(1

29、)()(AB)(AB)(2)A(BC)，(AB)C(3)A(BC)，A(BC)(4)(AB)AB在选项(1)中： ()=(AB)(BA) =(AB)(BA) =(AB)(BA) =(AB)(AB)， 故本组是等价的 在选项(2)中： A(BC)=A(BC)=ABC， (AB)C=(AB)C=ABC， 故本组是等价的 在选项(4)中：(AB)=(AB)=AB，故本组是等价的 在选项(3)中：A(BC)=A(BC)，将此式与另式A(BC)对照，两者不等价 48. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于( ) (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A

30、 (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于()(A) BAB-E(B) ABA-E(C) ABA-A(D) BAB-BC(A-B-1)-1-A-1)(ABA-A) =(B(AB-E)-1-A-1)(ABA-A) =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E 49. 已知z=3sin(sin(xy)，则x=0，y=0时的全微分dz( )A.dxB.dyC.dx+dyD.0参考答案：D50. 向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组.若向量组1，2，s的秩为r，且其中有一个向量可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组？例 设1=(11,13,15),2=(22,26,30),3=(1,1,0),4=(2,0,0),5=(5，5，0)，可知r(1，2，3，4，5)=3，且1可以由2，3，5线性表出，但2，3，5不为极大无关组