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1、-立体几何中的切与外接问题的探究1 球与柱体规那么的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进展充分的组合，以外接和切两种形态进展结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考察几何体的体积或者外表积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的切球，截面图为正方形和其切圆，那么；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，那么；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，那么.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的
2、位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的外表上，分别是棱，的中点，那么直线被球截得的线段长为 A B CD1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，那么球经过的空间局部的体积为( )A.B.4C.D.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面
3、以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱的高为，底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高的中点，借助直角三角形的勾股定理，可求。例3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，那么正四棱柱的侧面积有最值，为.2 球与锥体规那么的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进展充分的组合，以外接和切两种形态进展结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考察几何体的体积或者外表积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个规那么的几何体，它既存在外接球，也存在切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图
4、4，设正四面体的棱长为，切球半径为，外接球的半径为，取的中点为，为在底面的射影，连接为正四面体的高。在截面三角形,作一个与边和相切，圆心在高上的圆，即为切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知，外接球和切球的球心同为。此时，那么有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进展求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体
5、的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是表达在球为三棱锥的外接球.解决的根本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，那么可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5，三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合，设，那么。二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，那么可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，为长方体的体对角线长。例5 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,假设侧棱,那么正三棱锥外接球的外表积是。
6、2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进展求解.二是球为正棱锥的切球，例如正三棱锥的切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥PABC中，PAPB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，那么该三棱锥外接球的体积为 A B. C. 4D.2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进展组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进展求解
7、。例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。如图8，三棱锥,满足面，取的中点为，由直角三角形的性质可得：,所以点为三棱锥的外接球的球心,那么.例7 矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,那么四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.3 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例8 在半径为的球放入大小相等的4个小球，那么小球的半径的最大值为4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题
8、，关键要抓住棱与球相切的几何性质，到达明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进展转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架，使皮球的外表与8根铁丝都有接触点，那么皮球的半径为A. B. C. D. 综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，那么作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的接问题解决这类问题的关键是抓住接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥
9、好空间想象力，借助于数形结合进展转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.外接球切球问题1. 理一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是 A B C D答案B2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，假设,，那么此球的外表积等于。解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的外表积为.3正三棱柱接于半径为的球，假设两点的球面距离为，那么正三棱柱的体积为答案 84.外表积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，那么此球
10、的体积为A B C D答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，那么此球的直径为，应选A。5.正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 A.2 B. C. D.答案 D6.卷正方体的切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案C7.、理科一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为答案8. XX理一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，那么此球的外表积为答案9.全国理一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球
11、面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的外表积为cm2.答案ABCPDEF10.如图，半径为2的半球有一接正六棱锥，那么此正六棱锥的侧面积是_答案11.省一中棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如图，那么图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案12.枣庄一模一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体外接球的外表积为 ABCD以上都不对答案C13.(省市)设正方体的棱长为，那么它的外接球的外表积为 A B2 C4D答案C14新课标理三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;那么此棱锥的体积为ABCD15文点P,A,B,C,D是球O外表上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.假设PA=2,那么OAB的面积为_. z.
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