福建师范大学22春《常微分方程》离线作业二及答案参考28

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1、福建师范大学22春常微分方程离线作业二及答案参考1. 设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数.试问：当a1，a2，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?解法1 由f的定义知，对任意的x1，x2，xn，有f(x1，x2，xn)0，其中等号成立当且仅当 齐次线性方程组(5-20)仅有零解的充分必要条件是其

2、系数行列式不为零，即 所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，对于任意不全为零的x1，x2，xn，都有f(x1，x2，xn)0，即当1+(-1)n+1a1a2an0时，二次型f为正定二次型. 解法2 令矩阵 当|C|=1+(-1)n+1a1a2an0时，C为满秩矩阵，因此通过满秩线性变换 即 就可将f化成规范形 可见f的正惯性指数为n，故f为正定的.所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，f为正定二次型.读者试利用反证法说明：1+(-1)n+1a1a2an0也是二次型f正定的必要条件. 2. 设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k

3、在分布律中最大泊松分布 已知X(5)，则其分布律为计算相邻两项的比值，得 当k4时，pk+1pk；当k4时，pk+1pk因此，最大值在k=4，或k=5时取到计算得，即共有两项最大 3. 设(，)的联合密度函数为 试求：设(，)的联合密度函数为试求：$因为Cov(，)0，所以与不独立 相关系数为 4. 设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f(0)=( )A.0B.1C.3D.2参考答案：C5. 下面的函数哪些是一对一函数，哪些是一一对应函数： (1)f：NR，其中f(n)=log10n+1； (2)f：NR，其中 (3)f：RR下面的函数哪些是一对一函数，哪些是一一对应函数：(1)f：NR

4、，其中f(n)=log10n+1；(2)f：NR，其中(3)f：RR，其中f(r)=2r+15(1)(2)是一对一函数，(3)是一一对应函数 本题要注意定义域和值域各自的范围 6. 设函数f(x)，g(x)在a，b上连续，且在a，b区间积分f(x)dx=g(x)dx，则( )A.f(x)在a，b上恒等于g(x)B.在a，b上至少有一个使f(x)g(x)的子区间C.在a，b上至少有一点x，使f(x)=g(x)D.在a，b上不一定存在x，使f(x)=g(x)参考答案：C7. 我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的我们知道

5、，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的切向量为x(t)的主法向量试将它推广到空间R3正确答案：设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量其中=(nV2)为n(t)与V2(t)的夹角称直线y(t)=x(t)+n(t) (R)为该曲线在点x(t)处的法线显然主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义 如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线则y(t)的渐伸线为 其中c为常数分别为y(t)的

6、弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线所以(t)+y(t)=0积分得因此y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb)则x(t)的渐缩线为其中k(t)V2(t)V3(t)分别为x(t)的曲率主法向量从法向量；而0=(t0)是任意常数0取不同的值就得到不同的渐缩线rn证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t)其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t) (t)=(n(t)V2(t)因为rn根据定

7、理222y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线故y(t)的切线是x(t)的法线从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面它是可展曲面再根据定理221有因为y(t)为x(t)的渐缩线所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是上式两边点乘V1(t)得到0=1一(t)(t)cos(t)即此外从前式知cos(t)0且x(t)的渐缩线为设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量,其中=(n,V2)为n(t)与V2(t)的夹角,称直线y(t)=x(t)+n(t)(R)为该曲线在点x(t)处的法线显然,主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义如

8、果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线,则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线,则y(t)的渐伸线为,其中c为常数,分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的,并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为,两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线,所以(t)+y(t)=0积分得因此,y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb),则x(t)的渐缩线为其中k(t),V2(t),V3(t)分别为x(t)的曲率,主法向量,从法向量；而

9、0=(t0)是任意常数,0取不同的值就得到不同的渐缩线证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t),其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t),(t)=(n(t),V2(t)因为根据定理222,y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线,故y(t)的切线是x(t)的法线,从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面,它是可展曲面再根据定理221,有因为y(t)为x(t)的渐缩线,所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是,上式两边点乘V1(t),得到0=1一(t)(t)cos(t),即此外,从前式知cos(t)0,且x(t)的渐缩线为8. 设

10、函数y=lnsecx，则y”=secx。( )A.正确B.错误参考答案：B9. 设f(x)=lnx，给出如下数据，求f(0.6)的近似值。 xi 0.4 0.5 0.7 0.8 f(xi) -0.91629设f(x)=lnx，给出如下数据，求f(0.6)的近似值。xi0.40.50.70.8f(xi)-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144 同理可计算, 准确值ln0.6=-0.5108256 余项 0.4,0.8 10. 以下数列中是无穷大量的为( )A.数列Xn=nB.数列Yn=cos(n)C.数列Zn=sin(n)D.数列Wn=tan(n)参考答案：A11

11、. 有限多个函数的线性组合的不定积分等于他们不定积分的线性组合。( )A.正确B.错误参考答案：A12. 直线y=2x，y=x/2，x+y=2所围成图形的面积为( )A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3参考答案：A13. 设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且 li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明： a)设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明：a)b)a) (1) 由此直接得 (2) 由于矩阵 (3) 是从正交基(i，j，k)到正交基(l1，l2，l3

12、)的过渡矩阵，故矩阵(3)是正交矩阵，由式(2)直接得出等式a) b)先求是式(1)中的第一个等式： 类似求，再把所得三个等式相加得 利用矩阵(3)的正交性，由此直接得等式b) 14. 给定三点Ai(xi，yi)，i=1，2，3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心给定三点Ai(xi，yi)，i=1，2，3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心记，则为A1A2A3的重心 设拟合直线为 y=a+bx， (5.7) 则a，b满足正规方程组 其中s0=3，考虑第一个方程 两边同除以3得，即点在直线(5.7)式上因而按最小二乘拟合三点Ai(i=1，2，3)的直线过A1A2A

13、3的重心 15. 对于函数f(x)=(x2-1)(x2-4)(2/3)，下列能满足罗尔定理条件的区间是( )A.0，5B.-1，1C.-2，1D.-1，2参考答案：B16. 下列集合中为空集的是( )A.x|ex=1B.0C.(x，y)|x2+y2=0D.x|x2+1=0，xR参考答案：D17. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有证法1设 则F(x)在0，1上可导，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x

14、)g(x)-g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少 注意到 而故F(1)=0 因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任何a0，1，有 证法2 因为所以 又由于x0，1时，f(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1 又由题设，当x0，1时，有g(x)0，所以 f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1于是 从而 注 在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下： 由积分中值定理知，存在a，1，使 一

15、般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 18. 集合A=2，3，4，5，6表示( )A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参

16、考答案：B19. 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。( )A.错误B.正确参考答案：B20. 解方程组 试用平方根法和追赶法分别解之。解方程组试用平方根法和追赶法分别解之。(1)平方根法A=LLT , , , 所以 由，解得 由，解得 (2)追赶法此方程组系数阵是三对角阵，且满足对角占优条件。 根据追赶法计算公式，有 2=a2=1,3=a3=1,1=b1=6, , 从而 解Ly=b ，得 解Ux=y ，得 21. 据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连

17、续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质? (3)对于可积函数，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的结论?正确答案：22. 用Gauss消元法求解下列方程组Ax=b。用Gauss消元法求解下列方程组Ax=b。x=(2，2，3)T$x=(0，1，-1，0)T23. 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?正确答案：设一段长为x则另一段长为-x矩形面积为f(x)=x(-x)则f(x)=-2x=0故x=/2f(x)=-20故x=/2是f(x)的极大值点。 rn 故当两段等长度截

18、开时以这两线段为边所组成的矩形面积最大。设一段长为x,则另一段长为-x,矩形面积为f(x)=x(-x),则f(x)=-2x=0,故x=/2,f(x)=-20,故x=/2是f(x)的极大值点。故当两段等长度截开时,以这两线段为边所组成的矩形面积最大。24. 设函数f(x)在(a，b)内可导，且f&39;(x)=2，则f(x)在(a，b)内( )。A.单调增加B.单调减少C.是常数D.不能确定单调性参考答案：A25. 试列举所熟悉的一些代数系统试列举所熟悉的一些代数系统例如，(N，+)，(Q，-)，(R，)，(R-0，)26. 设向量组 1，2，s线性无关 (1) 1，2，s线性无关 (2) 且向

19、量组(2)能被向量组(1)线性表示。求证设向量组1，2，s线性无关(1)1，2，s线性无关(2)且向量组(2)能被向量组(1)线性表示。求证：向量组(1)能被向量组(2)线性表示。因为1，2，s可以看作是向量组1，2，s，1，2，s的极大线性无关组，因此r(1，2，s,1，2,.，s)=s。又因为向量组1，2，s线性无关，所以1，2，s亦是1，2，s,1，2，s的一个极大无关组，因此向量组(1)能被向量组(2)线性表示。27. 设向量组1，2，3线性无关，则12，23，31也线性无关设向量组1，2，3线性无关，则1+2，2+3，3+1也线性无关28. 已知P(A)=P(B)=，则下列结论肯定正

20、确的是( ) AP(A+B)=1 B C D已知P(A)=P(B)=，则下列结论肯定正确的是()AP(A+B)=1 BCDD29. 定积分是微分的逆运算。( )A.正确B.错误参考答案：B30. 判定下列各组命题公式中哪些是等价的，哪些是不等价的，为什么? (1)( )(AB)(AB) (2)A(BC)，(AB)判定下列各组命题公式中哪些是等价的，哪些是不等价的，为什么?(1)()(AB)(AB)(2)A(BC)，(AB)C(3)A(BC)，A(BC)(4)(AB)AB在选项(1)中： ()=(AB)(BA) =(AB)(BA) =(AB)(BA) =(AB)(AB)， 故本组是等价的 在选项

21、(2)中： A(BC)=A(BC)=ABC， (AB)C=(AB)C=ABC， 故本组是等价的 在选项(4)中：(AB)=(AB)=AB，故本组是等价的 在选项(3)中：A(BC)=A(BC)，将此式与另式A(BC)对照，两者不等价 31. 函数y=tan2x+cosx是一个非奇非偶的周期函数。( )A.正确B.错误参考答案：A32. 设函数f(x)=x+1，当0xA.跳跃间断点B.可去间断点C.连续但不可导点D.可导点参考答案：C33. 已知z=3sin(sin(xy)，则x=0，y=0时的全微分dz( )A.dxB.dyC.dx+dyD.0参考答案：D34. 微分方程y&39;-y=ex，

22、满足初始条件y|x=0=1的解是( ) Ay=ex(x+1) By=xex Cy=xex+1 Dy=e-x(x+1)微分方程y-y=ex，满足初始条件y|x=0=1的解是()Ay=ex(x+1)By=xexCy=xex+1Dy=e-x(x+1)A35. 设事件A与B相互独立，且P(B)0，则下列可能不成立的是( ) A； B； CP(A|B)=0； DP(A|B)=P(A)设事件A与B相互独立，且P(B)0，则下列可能不成立的是()A；B；CP(A|B)=0；DP(A|B)=P(A)C特殊公式 由对立事件的概率公式与独立性得 因为可能P(A)0，所以C不一定成立 36. 在实际工作中，经常会遇

23、到只有各组的标志总量和各组的变量值，缺少_的资料，这时计算平均数就需要利用加在实际工作中，经常会遇到只有各组的标志总量和各组的变量值，缺少_的资料，这时计算平均数就需要利用加权调和平均数公式计算。各组单位数37. 设f(x，y，z)=Ax2By2Cz2DxyEyzFzx，试按h，k，l的正数幂展开f(xh，yk，zl)设f(x，y，z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx，试按h，k，l的正数幂展开f(x+h，y+k，z+l)38. 当f(x，y)满足条件_时，fxy(x，y)=fyx(x，y)当f(x，y)满足条件_时，fxy(x，y)=fyx(x，y)fxy(x，y)，fyx(

24、x，y)都连续39. 给定环(5x|xZ，+，)，其中Z是整数集，+和是普通的加法和乘法，它_整环，因为_给定环(5x|xZ，+，)，其中Z是整数集，+和是普通的加法和乘法，它_整环，因为_不是$没有乘单位元素40. 当x0时，f(x)=tan2x/x的极限是( )。A.0B.1C.2D.1/2参考答案：C41. 设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角正确答案：aca(ab)b(aa)a(ab)bca(bb)b(ba)b(ba)42. 自总体XN(，2)取一容量为100的样本，测得=2.7，2均未知，在=

25、0.05下，检验下列假设：自总体XN(，2)取一容量为100的样本，测得=2.7，2均未知，在=0.05下，检验下列假设：是2未知，单总体均值的双侧检验，=0.05，待检假设H0：=3 由n=100，s2=2.2727，=2.7，计算T检验统计量，得 查表得t0.025(99)z0.025=1.96，经比较知，|t|=1.9894t0.025(99)=1.96，故拒绝H0，认为3$由于已知，可用检验统计量，待检假设 H0：0=2.5 这是双侧检验，查表得，而 ，故接受H0，认为2=2.5 43. 向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组.

26、 若向量向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组.若向量组1，2，s的秩为r，且其中有一个向量可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组？例 设1=(11,13,15),2=(22,26,30),3=(1,1,0),4=(2,0,0),5=(5，5，0)，可知r(1，2，3，4，5)=3，且1可以由2，3，5线性表出，但2，3，5不为极大无关组44. 磷-32的半衰期约为14天，一开始有6.6克磷-32的半衰期约为14天，一开始有6.6克磷-32的半衰期约为14天，故磷-32的残余量的函数是 $由解得 x38.1， 即大约

27、38天后只剩下1克磷-32了 45. 设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证(如图所示)因为 ， 以上各式相加得 由于2，所以 46. 设A为n阶正交矩阵，Rn，求证设A为n阶正交矩阵，Rn，求证47. 函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等。( )A.错误B.正确参考答案：B48. 函数y=6x-5-sin(ex)的一个原函数是6x-cos(ex)。( )A.正确B.错误参考答案：B49. 长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，求它们之间引力

28、的大小长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小建立如图所示的坐标系， 取x为积分变量，x-l，l，任取一微元x，x+dx，小段与质点的距离为，质点对小段的引力为 铅垂方向的分力元素为， 由对称性知在水平方向的分力为Fx=0 50. 设S2是来自正态总体XN(，2)的随机样本(X1，X2，Xn)的方差，2是未知参数，试问a，b(0ab)满足什么条件，才设S2是来自正态总体XN(，2)的随机样本(X1，X2，Xn)的方差，2是未知参数，试问a，b(0ab)满足什么条件，才能使2的95%的置信区间的长度最短?，其概率密度为 记u的分布函数

29、为F(x)，则 而2的置信区间的长度为 (2) 而式(1)右端可见a，b之间存在隐函数关系，不妨设b是a的函数，从而由式(2)，L是a 的函数，为使L达到最小值，必须 即 b2=a2b (3) 式(1)两边关于a求导，并注意F(x)=F(x)0(x0)得F(b)b-F(a)=0，即 f(b)b-f(a)=0， 所以 (4) 将式(4)代入式(3)得 51. 下列函数中是同一函数的原函数的是 ( )Algx3，lg3xBarccosx，arcsinxCsin2x，sin2xDcos2x下列函数中是同一函数的原函数的是 ( )Algx3，lg3xBarccosx，arcsinxCsin2x，sin

30、2xDcos2x，2cos2x正确答案：D同一个函数的原函数只相差一个常数，所以选D.52. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x。( )A.错误B.正确参考答案：A53. 设数项级数收敛，则( )必收敛。 A B C D设数项级数收敛，则()必收敛。ABCDB54. 设f(x，y)可微；l是R2上的一个确定向量倘若处处有fl(x，y)=0，试问此函数f有何特征?设f(x，y)可微；l是R2上的一个确定向量倘若处处有fl(x，y)=0，试问此函数f有何特征?设l(cos，cos)，由于 fl(x，y)fx(x，y)cos+fy(x，y)cos0， 所以gradf(x，y)l 55. 证明

31、：无向简单图中一定存在度数相同的两个结点证明：无向简单图中一定存在度数相同的两个结点因为在n个结点的简单图的度序列(d1，d2，dn)中，d1d2dnn-1，若d1，d2，dn中没有两个相等，则(d1，d2，dn)=(0，1，2，n-1)删去G中的孤立结点v0(deg(v0)=0)，余下的子图G有n-1个结点且存在度为n-1的结点，故G不是简单图这与前提矛盾，故d1，d2，dn中至少存在两个相等的度数，即存在两个等度结点56. 已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职

32、多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?用A表示求职n次至少有一次获得一个就业机会，则表示求职n次没有获得任何就业机会，依题意，即1-(1-0.4)n0.9，解之得n4.5所以至少要求职5次，才能有90%的把握获得一个就业机会57. 设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值证 由假设，f(x)在a，+)上取得正值，故有x0a，+)，f(x0)0.由于，故对=f(x0)0，当xX时，有 显然x0a，X.由于f(x)在a，X上连续，故f(x)在a，X上必取得最大值M，且Mf(x0)而当xX时，f(x)f(x0)M.因此M=maxf(x)|xa，+)这就证明了f(x)在a，+)上必取得最大值 类似地，可以证明f(x)在a，+)上必取得最小值. 58. f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是( )A./4B./2C.D.2参考答案：B59. 若函数f(x)在(a，b)内存在原函数，则原函数有( )。A.一个B.两个C.无穷多个D.其他选项都选参考答案：C60. ( )是函数f(x)=1/2x的原函数。A.F(x)=ln2xB.F(x)=-1/x2C.F(x)=ln(2+x)D.F(x)=lnx/2参考答案：D