chapt分离变量法学时实用实用教案

《chapt分离变量法学时实用实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《chapt分离变量法学时实用实用教案（52页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2022-5-14 前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制本章介绍的分离(fnl)变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法 其基本思想是把偏微分方程分解为几个(j )常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题 第1页/共51页第一页，共52页。2022-5-148.1 分离变量(binling)理论 8.1.1 偏微分方程(wi fn fn chn)变量分离及条件 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么(shn me)条件？假设 （8.1.2）的解有下列分离的形式 第2页/共51页第二页，共52页。2022-5-141. 1. 常系数

2、常系数(xsh)(xsh)偏微分方程偏微分方程若（8.1.4）的系数均为常数，并分别(fnbi)用小写的 代表 ，将方程两边同除以XY, 则第3页/共51页第三页，共52页。2022-5-14要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也也不依赖于不依赖于y的常数，记为的常数，记为 ，从而，从而(cng r)得到两得到两个常微分方程个常微分方程第4页/共51页第四页，共52页。2022-5-14对于变系数函数 111( , ),( , ),( , ),A x y C x y D x y ，假设存在某一个函数 ( , )0P x y ，使得方程除以( ,

3、)P x y后变为可分离的形式第5页/共51页第五页，共52页。2022-5-14上式要恒成立上式要恒成立(chngl)，只有它们均等于同一个常数，记为，只有它们均等于同一个常数，记为 112233( )( )( )( )( )( )0a x X Yb y XYa x X Yb y XYa xb y XY，从而得到两个第6页/共51页第六页，共52页。2022-5-14由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施程，总是能实施(shsh)变量分离变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 2中适当的中适

4、当的 函数才能实施变量函数才能实施变量(binling)(binling)分离分离 但对于(duy)变系数的二阶偏微分齐次方程 第7页/共51页第七页，共52页。2022-5-14第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件 8.1.2 边界条件可实施变量分离(fnl)的条件第8页/共51页第八页，共52页。2022-5-14假设假设(jish)具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：条件为齐次的： 第9页/共51页第九页，共52页。2022-5-14可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行(jnxng)分离变量

5、时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系须第10页/共51页第十页，共52页。2022-5-148.28.2直角坐标系中的分离直角坐标系中的分离(fnl)(fnl)变量法变量法 8.2.1 8.2.1 分离分离(fnl)(fnl)变量法介绍变量法介绍例8.2.1：具体考虑长为l，两端固定的均匀弦的自由振动泛定方程(fngchng) 初始条件 02xxttuau(0, 0)xlt（8.2.）00,0 xx luu(0)t （8.2.）00( ),( )tttux ux)0(lx （8.2.） 第11页/共51页第十一页，共52页。2022-5-14 【解】 第一步：分离(fnl)

6、变量用分离(fnl)变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：变量分离(fnl)形式的试探解 代入（8.2.）和（8.2.）:写为第12页/共51页第十二页，共52页。2022-5-14偏微分方程(wi fn fn chn)分离成两个常微分方程(wi fn fn chn):(8.2.4)(8.2.5)(8.2.6)0)0(X0)(lX（8.2.7） 第13页/共51页第十三页，共52页。2022-5-14第二步：求解本征值（或称为(chn wi)固有值）问题上面推导(tudo)的方程0 XX （8.2.5） (0)0,X0)(lX（8.2.7）三种可能(knng)逐一加以分析000（8.2.5）

7、，将本征值 不能任意取，只能根据边界条件（8.2.7）取某些特定值。第14页/共51页第十四页，共52页。2022-5-14（8.2.58.2.5）的解为）的解为 （）和由（8.2.）确定(qudng)，即有由此解出被排除(pich) 第15页/共51页第十五页，共52页。2022-5-14（）方程(fngchng)（8.2.5）的解是解出1C2C和由（8.2.7）确定，即 0, 021CC0)(xX0也被排除(pich) 第16页/共51页第十六页，共52页。2022-5-14（8.2.5）的解如 0sinl，则仍然解出 0, 021CC1C2C和第17页/共51页第十七页，共52页。202

8、2-5-14只剩下只剩下(shn xi)一一种可能性：种可能性： （8.2.8）( )sinnn xXxl（8.2.9）正是傅里叶正弦级数(j sh)的基本函数族n对应的函数为 常数(chngsh)的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数第18页/共51页第十八页，共52页。2022-5-14第三步：先求特解，再叠加求出通解第三步：先求特解，再叠加求出通解(tngji) （8.2.10）方程(fngchng)的解：（8.2.11）( )nT tn，由方程（8.2.4）求出相应的 ( , )cossinsinnnnn atn atn xux tABlll),3,2, 1(n（8.2.12）

9、第19页/共51页第十九页，共52页。2022-5-14这就是这就是(jish)(jish)满足满足(8.2.1)(8.2.1)和条件（和条件（8.2.28.2.2）的通解）的通解11( , )( , )cossinsinnnnnnn atn atn xu x tux tABlll（8.2.13）第20页/共51页第二十页，共52页。2022-5-14初始条件(8.2.3)确定叠加系数 ,nnA B11sin( )sin( )nnnnn xAxln an xBxll（8.2.14） (8.2.15)至此，定解问题至此，定解问题(wnt)(wnt)（8.2.18.2.1）-(8.2.3)-(8.

10、2.3)的解已经求出的解已经求出第21页/共51页第二十一页，共52页。2022-5-14(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，不一定是分离变量的乘积形式分离变量法是有条件的，会受到一定的限制注意(zh y)：第22页/共51页第二十二页，共52页。2022-5-148.2.2. 8.2.2. 解的物理解的物理(wl)(wl)意义意义特解 (8.2.12) 改写(gixi)为 (8.2.16)驻波(zh b)叠加第23页/共51页第二十三页，共52页。2022-5-14振幅: sinnn xNl频率: n初位相: n波节: 120,nlllxlnnn2135,2222nllllxnnnn波

11、腹:第24页/共51页第二十四页，共52页。2022-5-14点数为点数为2 2，3 3，4 4的驻波的驻波(zh b)(zh b)形状形状 图8.1第25页/共51页第二十五页，共52页。2022-5-14（成倍增长）、位相不同（成倍增长）、位相不同(b tn)(b tn)、振幅不同、振幅不同(b tn)(b tn)的驻波叠加而成的的驻波叠加而成的 所以所以(suy)(suy)分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相于是(ysh)我们也可以说解是由一系列频率不同的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率 第26页/共5

12、1页第二十六页，共52页。2022-5-14中最小的一个中最小的一个(y ) (y ) 称为(chn wi)基频，称为基波 称为谐频， 相应的称为谐波 基波的作用往往最显著 第27页/共51页第二十七页，共52页。2022-5-14坐标变量和时间(shjin)变量分离 2. 2. 三维形式(xngsh)(xngsh)的直角坐标分离变量三维齐次热传导方程(fngchng)为例:第28页/共51页第二十八页，共52页。2022-5-14在上式中平方形式来表示(biosh)固有值得 亥姆霍兹方程(fngchng)由于上式中函数(hnsh)的每一项都是单一自变量的函数(hnsh) 第29页/共51页第

13、二十九页，共52页。2022-5-14分离(fnl)变数：其中(qzhng) 上面(shng min)三个方程，就是X, Y, Z的分离方程.这些方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合而时间部分的解为:因此，三维形式中热传导问题的完整解为第30页/共51页第三十页，共52页。2022-5-148.2.3直角坐标系分离变量(binling)例题分析 上面我们已经研究的例题8.2.1讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题下面讨论的例题8.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题8.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意(zh y)到本征值和本征函数的区别

14、第31页/共51页第三十一页，共52页。2022-5-14例8.2.2 研究(ynji)定解问题： 第32页/共51页第三十二页，共52页。2022-5-14【解】用分离(fnl)变量法求解. 令则方程(fngchng)的解是非零解即: 第33页/共51页第三十三页，共52页。2022-5-14故得到(d do)本征值:相应(xingyng)的本征函数是1() (0,1,2,)2lnn第34页/共51页第三十四页，共52页。2022-5-14将代入（8.2.24）解得叠加得第35页/共51页第三十五页，共52页。2022-5-14系数(xsh)由定解条件确定傅里叶展开式系数(xsh)可确定为第

15、36页/共51页第三十六页，共52页。2022-5-14例:热传导：设物体(wt)表面温度保持零度，初始温度分布为 【解】定解问题(wnt)为：(8.2.36)(8.2.37)(8.2.38)(8.2.39)(8.2.40)第37页/共51页第三十七页，共52页。2022-5-14(1) 时空变量(binling)的分离： (2) 空间变量(binling)的分离 ： 代入方程式，可得： 代入（8.2.41）式及（8.2.37）关于(guny)的常微分方程及边界条件，构成本征值问题：第38页/共51页第三十八页，共52页。2022-5-14同时(tngsh(tngsh)， 满足(mnz)(mn

16、z) （8.2.42）再令 可得另外两个(lin )本征值问题 和 第39页/共51页第三十九页，共52页。2022-5-14(3) 求本征值问题(wnt) 这三个本征值问题(wnt)的本征值与本征函数分别为： 第40页/共51页第四十页，共52页。2022-5-14（8.2.468.2.46）本征值相加:本征函数相乘(xin chn):第41页/共51页第四十一页，共52页。2022-5-14(4) (4) 求解求解(qi (qi ji)ji)关于关于 (5) (5) 解叠加起来解叠加起来(q li):(q li):的常微分方程(wi fn fn chn) ：第42页/共51页第四十二页，共

17、52页。2022-5-14其中(qzhng)21110sin()sin()sin()( , , )pmnk tpmnpmntpmnuAexyzabcux y z第43页/共51页第四十三页，共52页。2022-5-1483 二维极坐标系下拉普拉斯方程(fngchng)分离变量 例 8.3.1 物理(wl)模型： 带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度 E0 是竖直的，方向向下水平架设的输电线处于(chy)这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图8.2所示不过离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为匀强的现在研究导体圆柱

18、怎样改变了匀强静电场,求出柱外的电势分布 第44页/共51页第四十四页，共52页。2022-5-14解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题取圆柱的轴为题取圆柱的轴为Z Z轴如果圆柱轴如果圆柱“无限长无限长”，那么，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与这个静电场的电场强度、电势显然与Z Z坐标无关，我们坐标无关，我们只需在只需在XYXY平面平面(pngmin)(pngmin)上加以研究就行了图上加以研究就行了图8.28.2画出了画出了 XY XY平面平面(pngmin)(pngmin)上的静电场分布，圆柱面上的静电场分布，圆柱面在在 XY X

19、Y平面平面(pngmin)(pngmin)的剖口是圆的剖口是圆 第45页/共51页第四十五页，共52页。2022-5-14柱外的空间中没有电荷柱外的空间中没有电荷(dinh)(dinh)，所以电势，所以电势 （在圆柱（在圆柱(yunzh)(yunzh)外）外）满足(mnz)二维的拉普拉斯方程导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同 又因为电势只具有相对的意义，完全可以把导体的电势当作零，从而写出边界条件 第46页/共51页第四十六页，共52页。2022-5-14因而因而(yn r)(yn r)还有一个非齐次的边界条件还有一个非齐次的边界条件由于(yuy)选取了 轴平行于 ，所以在无限

20、远处， （8.3.3）问题就在于求解定解问题（8.3.1）-（8.3.3）第47页/共51页第四十七页，共52页。2022-5-14【解】以变量(binling)分离形式的试探解（8.3.4） 代入拉普拉斯方程（8.3.1），得1ddddRR 其中R 是 的函数，与无关；右边是的函数， 与无关两边只能取同一个常数第48页/共51页第四十八页，共52页。2022-5-14这就分解为两个(lin )常微分方程（8.3.5） （8.3.6）常微分方程(wi fn fn chn)（8.3.6）隐含着一个附加条件 事实上，一个确定地点的极角可以加减 2的整倍数，而电势 u在确定的地点应具有确定数值， 第

21、49页/共51页第四十九页，共52页。2022-5-14所以(suy) ，即，即 这叫作自然(zrn)的周期条件 常微分方程(wi fn fn chn)（8.3.5）与条件（8.3.7）构成本征值问题 第50页/共51页第五十页，共52页。2022-5-14Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT感谢您的欣赏(xnshng)！第51页/共51页第五十一页，共52页。NoImage内容(nirng)总结2021/11/9。2021/11/9。2021/11/9。其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题(wnt)。偏微分方程分离成两个常微分方程:。本征值 不能任意取，只能根据边界条件（8.2.7）取某些特定值。所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相。坐标变量和时间变量分离。导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同。【解】以变量分离形式的试探解第五十二页，共52页。