中考数学辅助线

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1、-几何辅助线图作法探讨一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，假设通过适当的变换，即添加适当的辅助线图，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经历。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两

2、中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个切圆，角平分线

3、梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。外相切的两圆，经过切点公切线。假设是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假设图形较分散，对称旋转去实验。根本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。在几何题的证明或求解时，需要构成一些根本图形来求证解时往往要通过添加辅助线图来形成，添加辅助线图，构成的根本图形是结果，构造的手段是方法。笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线图作法归纳为结果1构造根本图形；2构造等腰边三角形：3构造

4、直角三角形；4构造全等三角形；5构造相似三角形；6构造特殊四边形；7构造圆的特殊图形；方法8根本辅助线；9截取和延长变换；10对称变换；11平移变换；12旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、构造根本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做根本图形，添辅助线往往是具有根本图形的性质而根本图形不完整时补完整根本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是根本图形，但我们后面把它们单独表述。典型例题：例1.2012江3分如图，【 】A. B. C. D.例2

5、.2012宿迁3分点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，假设ACBD，且ACBD，则四边形EFGH的形状是 .填梯形矩形菱形 【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】如图，连接AC，BD。 E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，根据三角形中位线定理，HEABGF，HGACEF。又ACBD，EHG=HGF=GFE=FEH=900。四边形EFGH是矩形。且ACBD，四边形EFGH邻边不相等。四边形EFGH不可能是菱形。例3.2012天门、仙桃、潜江、江汉油田3分如图，线段AC=n+1其中n为正整数，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正

6、方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记为Sn当n2时，SnSn1= 【答案】。【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。【分析】连接BE，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，BEAM。AME与AMB同底等高。AME的面积=AMB的面积。当AB=n时，AME的面积为，当AB=n1时，AME的面积为。当n2时，。例4.20126分如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长

7、交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF=ADF。1求证：ADEBFE；2连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。【答案】解：1证明：ADBC，ADE=BFE两直线平行，错角相等。 E是AB的中点，AE=BE。 又AED=BEF，ADEBFEAAS。 2EG与DF的位置关系是EGDF。理由如下：ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE等量代换。GD=GF等角对等边。 又ADEBFE，DE=EF全等三角形对应边相等。EGDF等腰三角形三线合一。例5.2012*10分如图，矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于

8、点G，F，AE与FG交于点O1如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；2如图2，当AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；3如图2，在2的条件下，求折痕FG的长【答案】解：1由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形AGEF是平行四边形EFAG，EF=AG。又AG=GE，四边形AGEF是菱形。2连接ON，AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，AED的外接圆与BC相切于点N，ONBC。点O是AE的中点，ON是梯形ABCE的中位线。点N是线段BC的中点。3OE、ON均是AED的外接圆

9、的半径，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在RtADE中，AD=2，AE=4，AED=30。在RtOEF中，OE=2，AED=30，。FG=。二、构造等腰边三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰边三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰边三角形。通过构造等腰边三角形，应用等腰边三角形的性质得到一些边角相等关系，到达求证解的目的。典型例题：例1. 2012、4分如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC50BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则CEF的度数是 【答案】50。连接BO，ABAC，AO是BAC的平分线，AO

10、是BC的中垂线。BOCO。BAC50，BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，OABOAC25。等腰ABC中，ABAC，BAC50，ABCACB65。OBC652540。OBCOCB40。点C沿EF折叠后与点O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO18002400250。例2.201210分如图，ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60，DC=EF1求证：四边形EFCD是平行四边形；2假设BF=EF，求证：AE=AD【答案】证明：1ABC是等边三角形，ABC=60。EFB=60，ABC=EFB。EFDC错角相等，两直线平行。DC=EF，四边形EFCD是平行四边形。2连

11、接BE。BF=EF，EFB=60，EFB是等边三角形。EB=EF，EBF=60。DC=EF，EB=DC。ABC是等边三角形，ACB=60，AB=AC。EBF=ACB。AEBADCSAS。AE=AD。例3.201112分如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，过点D作DEBC，垂足为E，并延长DE至F，使EFDE联结BF、CD、AC1求证：四边形ABFC是平行四边形； 2如果DE2BECE，求证四边形ABFC是矩形 【答案】解：1证明：连接BD。梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC。AC=BF，ACB=CBF。AC

12、BF。四边形ABFC是平行四边形；2DE2BECE，。DEB=DEC=90，BDEDEC。CDE=DBE，BFC=BDC=BDECDE=BDEDBE=90。四边形ABFC是矩形。三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数，到达求证解的目的。典型例题：例1.2012*3分：在ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 即cosC=，则AC边上的中线长是 【答案】或a。【分析】分两种情况：ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。作ABC的高AD，过点E作EFBC于点F。在RtA

13、CD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45，BD=AD=a。BC=BD+CD=a。点E是AC的中点，EFAD，EF是ACD的中位线。FC=DC=a，EF=AD=a。BF=a。在RtBEF中，由勾股定理，得。ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。作ABC的高AD。在RtACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45，BD=AD=a。BC= BD=a。点E是AC的中点，BE是ACD的中位线。BE=AD=a。综上所述，AC边上的中线长是或a。例2. 2012*3分如图，在矩形ABCD中，ADAB，将矩形ABCD折叠，使

14、点C与点A重合，折痕为MN，连结假设CDN的面积与CMN的面积比为14，则 的值为【 】A2B4 CD【答案】D。 过点N作NGBC于G，四边形ABCD是矩形，四边形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四边形AM是平行四边形。AM=CM，四边形AM是菱形。CDN的面积与CMN的面积比为1：4，DN：CM=1：4。设DN=*，则AN=AM=CM=4*，AD=BC=5*，CG=*。BM=*，GM=3*。在RtCGN中，在RtMNG中，。应选D。例3.2012市5分如图，在四边形ABC

15、D中，对角线AC，BD交于点E，BAC=900，CED=450，DCE=900，DE=，BE=2求CD的长和四边形ABCD的面积【答案】解：过点D作DHAC，CED=45，DHEC，DE=，EH=DH=1。又DCE=30，DC=2，HC=。AEB=45，BAC=90，BE=2，AB=AE=2。AC=2+1+ =3+。 。【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，到达求证解的目的。典型例题：例1. 20125分如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将ABE沿AE折叠，使点B落在A

16、C上的点B处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在EB与AD的交点C处则BC：AB的值为 。例2. 20123分如图，ABCD，E，F分别为AC，BD的中点，假设AB=5，CD=3，则EF的长是【 】A4B3C2D1【答案】D。【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接DE并延长交AB于H，CDAB，C=A，CDE=AHE。E是AC中点，DE=EH。DCEHAEAAS。DE=HE，DC=AH。F是BD中点，EF是DHB的中位线。EF=BH。BH=ABAH=ABDC=2。EF=1。应选D。例3.201212分如下图，现有一边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点不

17、与点A、点D重合将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH1求证：APB=BPH；2当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；3设AP为*，四边形EFGP的面积为S，求出S与*的函数关系式，试问S是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由【答案】解：1如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。2PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过B作BQPH，垂足为Q。由1知APB=BPH，又A=BQP

18、=90，BP=BP，ABPQBPAAS。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQHHL。CH=QH。PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。3如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB。又EF为折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPAASA。EM=AP=*在RtAPE中，4BE2+*2=BE2，即。又四边形PEFG与四边形BEFC全等，。，当*=2时，S有最小值6。例4. 2011*3分如图，在ABC中，ACB90，A15，A

19、B8，则ACBC的值为【 】A14 B16 C4 D16【答案】D。【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】延长BC到点D，使CDCB，连接AD，过点D作DEAB，垂足为点E。则知ACDACB，从而由得CADA15，ADAB。因此，在RtADE中，AD8，BAD30，DEADsin304。从而SADEABDE16，又SADEBDAC2BCACACBC，即ACBC16。例5. 20113分如图，在ABC中，ACB90，ACBC，分别以AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设AEF、BND、CGM的面积分别为S1、S2、S3，则以

20、下结论正确的选项是【 】AS1S2S3 BS1S2S3CS1S3S2 DS2S3S1【答案】A。【分析】过点D作DQMN交CB的延长线于点P，交MN的延长线于点Q； 过点E作ERGF交CA的延长线于点S，交GF的延长线于点R。 易证CGMCABSAS，即S2SABC； 易证PBDCABAAS，BP=AC，即S3的底为BN=BC，高为BP=AC，S2SABC；易证SEACABAAS，AS=BC，即S1的底为FA=CA，高为AS=BC，S2SABC。S1S2S3SABC。应选A。例6. 20118分如图 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O1求证AD=AE；2连接OA，BC

21、，试判断直线OA，BC的关系并说明理由【答案】解：1证明：在ACD与ABE中，A=A，ADC=AEB=90，AB=AC，ACDABEAAS。AD=AE。 2在RtADO与RtAEO中，OA=OA，AD=AE，ADOAEOHL。DAO=EAO。即OA是BAC的平分线。又AB=AC，OABC。五、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，到达求证解的目的。典型例题：例1.20123分如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF= 【答案】。【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。AC的垂直平分线EF，AE=

22、EC。四边形ABCD是矩形，D=B=90，AB=CD=2，AD=BC=4，ADBC。AOECOF。OA=OC，OE=OF，即EF=2OE。在RtCED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=4CE2+22，解得：CE=。在RtABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，CO=。在RtCEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。EF=2EO=。例2.2012*市10分一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A11，0，点B0，6，点P为BC边上的动点点P不与点B、C重合，经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t如图，当BOP=300时，求点P的坐

23、标；如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，假设AQ=m，试用含有t的式子表示m；在的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标直接写出结果即可【答案】解：根据题意，OBP=90，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即2t2=62+t2，解得：t1=，t2=舍去点P的坐标为 ，6。OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OB

24、PPCQ。由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11t，CQ=6m。0t11。点P的坐标为，6或，6。【分析】首先过点P作PEOA于E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与，即可求得t的值： 过点P作PEOA于E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。将代入，并化简，得。解得：。点P的坐标为，6或，6。例3.20123分如图，ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DFBC，E为BD的

25、中点假设EFAC，BC=6，则四边形DBCF的面积为 【答案】15。【分析】如图，过D点作DGAC，垂足为G，过A点作AHBC，垂足为H，AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，设BE=DE=*，则AD=AF=4*。DGAC，EFAC，DGEF，即，解得。DFBC，ADFABC，即，解得DF=4。又DFBC，DFG=C，RtDFGRtACH，即，解得。在RtABH中，由勾股定理，得。又ADFABC，。例4. 20114分如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tanNPH的值为 【答案】。【考点】正方形的性质，相似三角形的

26、判定和性质，锐角三角函数。【分析】CMDM，HN2NE，CMCD，HNHECD，又PCMPHN，即PH2CH2CD。tanNPH。六、构造特殊四边形：通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它们边、角、对角线、中位线的性质，到达求证解的目的。典型例题：例1. 20123分如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，假设CF=1，FD=2，则BC的长为【 】ABCD【答案】B。【分析】过点E作EMBC于M，交BF于N。四边形ABCD是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四边形ABME是矩形。AE=BM，由折叠的性

27、质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNMAAS。NG=NM。E是AD的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=5。应选B。例2. 2012德阳3分 如图，点D是ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点不与点B重合.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE点P、E在直线AB的同侧，如果，则PBC的面积与ABC面积之比为【 】A. B. C. D.【答案】D。【分析】过点P作PHBC交AB于H，连接CH

28、，PF，PE。APBE，四边形APEB是平行四边形。PEAB。，四边形BDEF是平行四边形，EFBD。EFAB。P，E，F共线。设BD=a，PE=AB=4a。PF=PEEF=3a。PHBC，SHBC=SPBC。PFAB，四边形BFPH是平行四边形。BH=PF=3a。SHBC：SABC=BH：AB=3a：4a=3：4，SPBC：SABC=3：4。应选D。例3.2012省5分如图，P是矩形ABCD的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 假设S3=2 S1

29、，则S4=2 S2 假设S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是 把所有正确结论的序号都填在横线上.【答案】。【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，APD以AD为底边，PBC以BC为底边，此时两三角形的高的和为AB，S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。S2+S4= S1+ S3正确，则S1+S2=S3+S4错误。假设S3=2 S1，只能得出APD与PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论错误。如图，假设S1=S2，则PFAD=PEAB，APD与PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。DAE=PEA=PFA=90，四边形AEPF是矩形

30、，矩形AEPF矩形ABCD。连接AC。PF：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。APFACD。PAF=CAD。点A、P、C共线。P点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。例4.2012*贵港8分如图，在ABCD中，延长CD到E，使DECD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。1求证：AFDF；2假设BC2AB，DE1，ABC60，求FG的长。【答案】解：1证明：如图1，连接BD、AE， 四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD。DECD，ABDE，ABDE。四边形ABDE是平行四边形。AFDF。2如图2，在BC上截取BNAB1，连接A

31、N， ABC60，ANB是等边三角形。AN1BN，ANBBAN60。BC2AB2，1AN。ACAN6030。BAC90。由勾股定理得：AC。四边形ABCD是平行四边形，ABCD。AGBCGE。，解得AG。在BGA中，由勾股定理得：BG。，GE，BE2。四边形ABDE是平行四边形，BFBE。FG。例5.20127分如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。【答案】证明：连接CE。ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，。 又AO=CO，AEOCFOAAS。AE=CF。四边形AECF是平行四边形。

32、又EFAC，平行四边形AECF是菱形。AE=AF。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。例6.2012省11分如图1，在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.1求证：ANDCBM.2请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？3P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图2所示，假设PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.【答案】1证明：四边形ABCD是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性质，得DAN

33、=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBMASA。2证明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDF=BACEMA=MEC， FNEM。四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF中，FEMEFM。FMEM。四边形MFNE不是菱形。3解：AB=4，BC=3，AC=5。 设DN=*，则由SADC=SANDSNAC得3 *5 *=12，解得*=，即DN=BM=。过点N作NHAB于H，则HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN

34、，DCAB，四边形NMQP是平行四边形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2。【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。七、构造圆的特殊图形：通过构造圆的特殊图形，应用圆周角定理、垂径定理、切线与过切点的半直径的关系、两圆相切公切线的性质、两圆相交公共弦的性质等，到达求证解的目的。典型例题：例3.2012日照4分如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果A=63，则= 【答案】180。【

35、分析】如图，连接CE，DE， 过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D， AE=CE=DE=DB。A=ACE，ECD=CDE，DEB=DBE=。A=63，AEC=18002630=540。 又ECD=CDE=2，AEC=ECDDBE=3，即3=540。=180。例4.20123分如以下图OA=OB=OC且ACB=30，则AOB的大小是【】A.40B.50C.60D.70【答案】C。【考点】圆周角定理。【分析】OA=OB=OC，A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。 作O。 ACB和AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，且ACB=30， 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的

36、性质，得AOB=60。应选C。 例5.2012*市3分如图，正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 【答案】。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】连接AE，BE，DF，CF。以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，AB=AE=BE，AEB是等边三角形。边AB上的高线为：。同理：CD边上的高线为：。延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线。AE=BE，点E在AB的垂直平分线上。同理：点F在DC的垂直平分线上。四边形ABCD是正方形，ABDC。

37、MNAB，MNDC。由正方形的对称性质，知EM=FN。EF2EM=AD=1，EFEM=，解得EF=。例6.2012*、3分如图，矩形OABC接于扇形MON，当=CO时，NMB的度数是 .【答案】30。【分析】连接OB，=CO，OB=ON=2OC。四边形OABC是矩形，BCO=90。BOC=60。NMB=BOC=30。八、根本辅助线：根本辅助线包括连接两点的线段、平行线、垂直线、角平分线等，如连接直角三角形直角顶点与斜边的中点构成斜边上的中线；过三角形一边的中点作另一边的平行线构成三角形的中位线；过三角形一顶点作对边的垂直线构成直角三角形；连接圆上一点和直径的两端点构成直角三角形；等等。典型例题

38、：例2.20126分如图，AB=DC，DB=AC1求证：ABD=DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据2在1的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？【答案】证明：1连接AD，在BAD和CDA中， AB=CD ，DB=AC， AD=AD公共边，BADCDASSS。ABD=DCA全等三角形对应角相等。2作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。【考点】全等三角形的判定和性质。例3.20123分如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，假设F=30，DE=1，则EF的长是【 】A3 B2 CD1【答案】B。【分析】连接AF，DF是AB的垂

39、直平分线，AF=BF。FDAB，AFD=BFD=30，B=FAB=9030=60。ACB=90，BAC=30，FAC=6030=30。DE=1，AE=2DE=2。FAE=AFD=30，EF=AE=2。应选B。例5.20123分如图，在四边形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为ABAD的中点，则AEF与多边形BCDFE的面积之比为【 】ABCD【答案】C。【分析】如图，连接BD，过点F作FGAB交BD于点G，连接EG，CG。 DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为ABAD的中点， 根据三角形中位线定理，得AE=BE=AF=DF=DC=FG。

40、图中的六个三角形面积相等。 AEF与多边形BCDFE的面积之比为。应选C。例6.2012*市3分假设一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为 【答案】。【分析】根据题意画出图形，如图，连接OB，OC，过O作OMBC于M， BOC=360=60。OB=OC，OBC是等边三角形。OBC=60。正六边形ABCDEF的周长为24，BC=246=4。OB=BC=4，BM=OBsinOBC =4。例7.201210分ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PEAC、PFBD，垂足分别为E、F，PEPF1如图，假设PE，EO1，求EPF的度数；2假设点P是AD的中点，点F是D

41、O的中点，BFBC34，求BC的长【答案】解：1连接PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， RtPEORtPFOHL。EPOFPO。在RtPEO中， tanEPO， EPO30。 EPF60。2点P是AD的中点， APDP。又 PEPF， RtPEARtPFDHL。OADODA。 OAOD。 AC2OA2ODBD。ABCD是矩形。 点P是AD的中点，点F是DO的中点， AOPF。 PFBD， ACBD。ABCD是菱形。ABCD是正方形。 BDBC。 BFBD，BC34BC，解得，BC4。例8.2012省2分如图，CD是O的直径，AB是弦不是直径，ABCD于点E，则以下结论正确的选项

42、是【 】AAEBE B CD=AEC DADECBE【答案】D。【考点】垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。【分析】CD是O的直径，AB是弦不是直径，ABCD于点E，根据垂径定理，得AE=BE。应选项A错误。如图，连接AC，则根据同弧所对的圆周角相等的性质，得D=B，BC=AC。根据垂径定理，只有在AB是直径时才有AC=AD，而AB不是直径，ADAC。应选项B错误。如图，连接AO，则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得D=AOC。AEC是AOE的外角，AECAOC。DAEC。应选项C错误。根据同弧所对的圆周角相等的性质，得D=B，DAE=BCE，ADECBE。应

43、选项D正确。例9.2012区6分在O中，直径ABCD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CFAD.求D的度数.【答案】解：连接BD 。ABO是直径，BD AD。又CFAD，BDCF。BDC=C。又BDC=BOC，C=BOC。ABCD，C=30。ADC60。九、截取和延长变换：在一个平面几何图形，延长或截取*一条线段，使条件和问题相对集中 ,到达化隐为现的目的，常常使线段所在的三角形与平面*一三角形成为全等三角形。证明两条线段的和差，80%的情况都要用截长补短法。典型例题：例1.20122分如图，菱形纸片ABCD中，A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A、D处，且AD经过B，EF为折痕，当

44、DFCD时，的值为【 】A. B. C. D. 【答案】A。【分析】延长DC与AD，交于点M，在菱形纸片ABCD中，A=60，DCB=A=60，ABCD。D=180-A=120。根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180-ADF=60。DFCD，DFM=90，M=90-FDM=30。BCM=180-BCD=120，CBM=180-BCM-M=30。CBM=M。BC=CM。设CF=*，DF=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=*+y。FM=CM+CF=2*+y，在RtDFM中，tanM=tan30=，。应选A。例2.20123分如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为

45、边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O则以下结论ABFCAE，AHC=1200，AH+CH=DH，AD 2=ODDH中，正确的选项是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【分析】菱形ABCD中，AB=AC，ABC是等边三角形。B=EAC=600。 又AE=BF，ABFCAESAS。结论正确。ABFCAE，BAF=ACE。AHC=1800ACECAF=1800BAFCAF=1800BAC=1800600=1200。结论正确。如图，在HD上截取HG=AH。菱形ABCD中，AB=AC，ADC是等边三角形。ACD=ADC=CAD=600。又AHC=1200，

46、AHCADC =1200600=1800。A，H，C，D四点共圆。AHD=ACD =600。AHG是等边三角形。AH=AG，GAH=600。CAH=600CAG=DAG。又AC=AD，CAHDAGSAS。CH=DG。AH+CH= HG+ DG =DH。结论正确。AHD =OAD=600，ADH=ODA，ADHODA。AD 2=ODDH。结论正确。综上所述，正确的选项是。应选D。例3.2012天门、仙桃、潜江、江汉油田3分如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC假设ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】A2 B3 CD【答案】A。【分析】延长BC至F点

47、，使得CF=BD，ED=EC，EDB=ECF。EBDEFCSAS。B=F。ABC是等边三角形，B=ACB。ACB=F。ACEF。AE=CF=2。BD=AE=CF=2。应选A。例4.2012枣庄8分：如图，在四边形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB21求证：ABBC；2当BEAD于E时，试证明：BEAECD【答案】解：1证明：连接AC。ABC90，AB2BC2AC2。CDAD，AD2CD2AC2。AD2CD22AB2，AB2BC22AB2。ABBC。2证明：过C作CFBE于F。BEAD，四边形CDEF是矩形。CDEF。ABEBAE90，ABECBF90，BAECBF。又ABBC

48、，BEACFB，BAECBFAAS。AEBF。BEBFEF AECD。例5.2012市10分：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=21假设CE=1，求BC的长；2求证：AM=DF+ME【答案】解：1四边形ABCD是菱形，ABCD。1=ACD。 1=2，ACD=2。MC=MD。MECD，CD=2CE。CE=1，CD=2。BC=CD=2。2证明：F为边BC的中点，BF=CF=BC。CF=CE。在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD。在CEM和CFM中，CE=CF，ACB=ACD，CM=CM，CEMCFMSAS，ME=MF。延长AB

49、交DF于点G，ABCD，G=2。1=2，1=G。AM=MG。在CDF和BGF中，G=2，BFG=CFD，BF=CF，CDFBGFAAS。GF=DF。由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME。十、平移变换：平移变换是几何变换中的根本变换之一，平移变换是使图形上的点沿同一方向平移同一距离得到新的图形。平移变换前后的图形具有如下性质：1对应线段平行且相等；2对应角的两边平行且方向一致。典型例题：例1. 2012省3分如图，APB=300，圆心在边PB上的O半径为1cm，OP=3cm，假设O沿BP方向移动，当O与PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.【答案】1或5。【考点】直线与圆相切的性质，含

50、300角直角三角形的性质。【分析】如图，设O移动到O1，O2位置时与PA相切。 当O移动到O1时，O1DP=900。 APB=300，O1D=1，PO1=2。 OP=3，OO1=1。当O移动到O2时，O2EP=900。 APB=300，O2D=1，O2PE=300，PO2=2。 OP=3，OO1=5。 综上所述，当O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。例2.20123分如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】Aa户最长Bb户最长Cc户最长D三户一样长【答案】D。【考点】生活中的平移现象，平移的性质。【分析】根据平移的性质，对于电线中横的

51、和竖的线段分别采用割补法将线段向右进展平移，便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。应选D。例3. 2011黄冈、3分如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为 【答案】28。【分析】由勾股定理，得AB=，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，五个小矩形的周长之和=2AB+CD=26+8=28。例4.20129分如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形A

52、BCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停顿移动记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，假设直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为*秒1填空：AHB=；AC=；2假设S2=3S1，求*；3设S2=mS1，求m的变化围【答案】解：190；4。2直线移动有两种情况：0*及*2。当0*时，MNBD，AMNARQ。直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，AMN和ARQ的相似比为1：2。S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。当0*时，不存在*使S2=3S1。当*2时，ABCD，ABHCDH。CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。CH=DH=AC=1，AHBH=41=3。CG=42*，ACBD，SBCD=41=2RQBD，CRQCDB。又，MNBD，AMN