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1、.2018年普通高等学校招生第一次统一模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案DACACBCDABDB二. 填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13. 2或3 ; 14. ; 15. ; 16. .三 . 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。一必考题：共60分。 17本小题满分12分 在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,b=1,且 求角B的大小； 求ABC外接圆的圆心到AC边的距离解：由,结合余弦定理得：,则,. -6分 设ABC外接圆
2、的半径为R,由正弦定理知,故,则ABC外接圆的圆心到AC边的距离.-12分18本小题满分12分微信已成为人们常用的社交软件,微信运动是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人男、女各20人,记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下表：步数性别02000200150005001800080011000010000男12476女03962若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型,否则评定为懈怠型,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有90%
3、的把握认为评定类型与性别有关？积极型懈怠型总计男女总计如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人,设抽取的女性有人,求的分布列及数学期望附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：根据题意完成下面的列联表如下：积极型懈怠型总计男13720女81220总计211940,没有90%的把握认为评定类型与性别有关. -6分 由知,从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人,女性2人, 现从中抽取3人,抽取的女性人数服从超几何分布,的所有可能取值为0,1,2, , , 的分布列如下：012 -1
4、2分19本小题满分12分 在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,.证明：若是的中点,且与平面所成的角的正切值为,求二面角的余弦值.证明：底面ABCD是菱形,. 又,且是中点,. ,. 又,. -5分 由可知,是在面上的射影,是与面所成的角. 在RtBOE中,tanOEB = ,. 在RtPEO中,.,又,. 又,. 方法一： 过做于, 由知, ,是二面角的平面角. 在PAC中,即. ,得, ,二面角的余弦值为. -12分方法二：如图,以建立空间直角坐标系,. 设面的法向量为,则, 即,得方程的一组解为,即. 又面的一个法向量为, ,二面角的余弦值为. -12分 20本小题满分12分如图,在平面直角
5、坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为2求椭圆的方程；记斜率为的直线交椭圆于两点,椭圆上存在点满足,求四边形的面积第20题图,椭圆的方程是：. -5分设,直线由联立,消去,可得故且由,可得, 且点在椭圆上.所以其中,代入可得. ,. 所以四边形的面积 -12分21本小题满分12分已知函数讨论函数的单调性；当时,记函数的最小值为,求证：解：I. 1当时,因为,由得,解得；由得,解得. 所以函数在上单调递增,在上单调递减. 2当时,因为,由得,解得；由得,解得. 所以函数在上单调递减,在上单调递增. -5分II由I知,当时,函数的最小值为, 且., 令,得.当变化时,的变化情况如下表：0极大值是在上的唯
6、一极值点,且是极大值点,从而也是的最大值点. 所以. 所以,当时,成立. -12分二选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4-4 ：坐标系与参数方程本小题满分10分在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 写出曲线的直角坐标方程； 已知点的直角坐标为,直线与曲线相交于不同的两点,求的取值范围解：曲线的直角坐标方程为： -5分因为点在椭圆的内部,故与恒有两个交点, 即,将直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程联立, 得,整理得, 则. -10分23 . 选修4-5 ：不等式选讲 本小题满分10分 已知函数 求不等式的解集； 若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围解：原不等式等价于或解得：.即不等式的解集为-5分不等式 等价于, 因为, 所以的最小值为4, 于是即 所以a . -10分.
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