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1、7.翻折问题1.在中，为延长线上一点，为内部一点，且（1）若，如图1，直接写出间的数量关系：_；（2）若，如图2，求证：；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段沿翻折，翻折后的点落在点处，且，连接，交的延长线于，若，求的长解析：（1）提示：作于，交延长线于，（2）作于，交延长线于，（3）作于，于则，由题意，由（2）知，2.如图，在中，翻折，使点落在斜边上某一点处，折痕为（点分别在边上）（1）若与相似当时，求的长；当时，求的长；（2）当点是的中点时，与相似吗？请说明理由解析：（1）若与相似当时，为等腰直角三角形，如答图1所示此时为边中点，当时，有两种情况：（I）若，如答图2所示，由折叠性质可知，
2、即此时为边上的高在中，；（II）若，如答图3所示，由折叠性质可知，又，同理可得：，此时综上所述，当时，的长为或（2）当点是的中点时，与相似理由如下：如答图3所示，连接，与交于点是的中线，由折叠性质可知，又，3.在矩形中，点分别在边上，且点为边上的一个动点，连接，把沿直线翻折得到（1）如图1，当时，填空：_度；若，求的度数，并求此时的最小值；（2）如图3，连接，交边于点，且，为垂足，求的值解析：（1）分两种情况：第一种情况（如图1），由折叠可知：又，即，此时，当与重合时，的值最小，最小值是第二种情况（如图2），即由折叠可知：，此时，当与重合时，的值最小设，则在中，（2）过点作交于，则在矩形中，四
3、边形为矩形，设，则由折叠可知：在中，在中，由折叠可知：，.4.如图，为等边三角形，为内一点，且，把沿翻折，点落在点处，连接（1）求证：；（2）连接，若，求的长解析：（1）将绕点逆时针旋转得，连接、则是等边三角形，三点在同一直线上，由题意，是等边三角形三点在同一直线上（2）过作于是等边三角形，设，则，在中，解得的长为或5.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处（1）如图1，已知折痕与边交于点，连结求证：；若与的面积比为，求边的长；（2）若图1中的点恰好是边的中点，求的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连结动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连结
4、交于点，作于点试问当点在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度解析：（1）四边形是矩形，是由沿折叠，的面积比为，设，则在中，即边的长为（2）折叠后与重合，是的中点，又，（3）线段的长度不变作交于点，由（1）得：，6.如图1，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，且连接（1）求证：四边形是矩形；（2）在图1中，若点是上一点，沿折叠，使点恰好落在线段上的点处（如图2），求的长解析：（1）四边形是平行四边形，是的中点，四边形是平行四边形，四边形是矩形（2）四边形是矩形，是由折叠得到的在中，设，则在中，即，解得.7.在直角梯形中，点在射线上，将
5、沿翻折，点落到点处，射线与射线交于点（1）如图1，当点在边上时，求证：.（2）如图2，当点在边的延长线上时，线段的数量关系是：_；（3）在（2）的条件下，过点作，垂足为点，设直线与直线交于点，若求的长解析：（1）过作，交的延长线于，连接，又，（2）提示：过作于，连接同（1）可证：，（3）连接，作于，于，设，则，解得，又，8.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合，将此三角板绕点旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边于点，连结（1）猜想三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点作于点，请直接写出和的数量关系；（3）如图2，将沿斜边翻折得到，分别是边上的
6、点，连接，过点作于点试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想答案：见解析解析：（1）猜想：证明：延长到，使，连接四边形是正方形，又即（2）（3）猜想：证明：延长到，使，连接沿斜边翻折得到，又，9.（1）如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点求证：；（2）若矩形纸片中，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交线段（不含端点）于点，线段交直线于点图2是该矩形折叠后的一种情况请探究并解决以下问题：当为直角三角形时，求的长；当时，求的取值范围解析：（1）由题意，（2）不与端点重合当为直角三角形时，只能连接，即，解得或当为直角三角形时，的长为或，10.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶
7、点落在边上的点处 （1）如图1，已知折痕与边交于点，连结图中_若与的面积比为，求边的长为_；（2）若图1中的点恰好是边的中点，求的度数为_度；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连结动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点试问当点在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度解析：（1）如图1，四边形是矩形，由折叠可得：与的面积比为，设，则在中，解得：边的长为（2）如图1，是边的中点，的度数为（3）作，交于点，如图2，在和中，由（1）中的结论可得：在（1）的条件下，当点在移动过程中，线段的长度不变，长度为11.问题解
8、决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值为_ 方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图（1）中，若则的值等于_；（注：若答案不是整数，请化为小数）；若则的值等于_；若（为整数），则的值等于_（用含的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于_（用含的式子表示）解析：方法一：如图（1-1），连接由题设，得四边形和四边形关于直线对称垂直平分四边形是正方形，设,则在中，解得，即在和在中，设则解得即方法二：同方法一，如图（12），过点做交于点，连接四边形是平行四边形同
9、理，四边形也是平行四边形在与中类比归纳（或）；联系拓广12.中，为延长线上一点，为内部一点，且（1）若，如图1，直接写出间的数量关系：_；（2）若，如图2，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，将线段沿翻折，翻折后的点落在点处，且，连接，交的延长线于，若，求的长为_解析：（1）提示：作于交延长线于ACBE（2）作于交延长线于（3）作于于则由题意，由（2）知，, 13.如图1，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，然后沿直线折叠，使点落在上，对应点为（1）求的度数为_度；（2）如图2，在图1的基础上，连接，试判断与的大小关系，并说明理由；（3）如图3，按
10、以下步骤进行操作：第一步：先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，然后继续对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平，设和相交于点；第二步：沿直线折叠，使点落在上，对应点为；再沿直线折叠，使点落在上，对应点为；第三步：设分别与相交于点，连接，试判断四边形的形状为_，并证明你的结论 解析：（1）如图1，由对折可知，四边形为正方形，又由折叠可知，在中，解法二：如图1，连接（2）理由如下：如图2，连接由对折知，垂直平分由折叠知，四边形为正方形，为等边三角形四边形为正方形由（1）知由折叠知，（3）四边形为正方形如图3，连接由（2）知，由折叠知，由对折知，又四边形是正方形，同理可得，由对称性
11、可知，由两次对折可知，四边形为矩形由对折知，于点于点四边形为正方形14.如图，在中，是边上一点，是边上一动点（不与重合），过点作交于点（1）设，求关于的函数关系式；（2）以为半径的与以为半径的能否相切？若能，求的值；若不能，请说明理由；（3）将沿直线翻折，得到，连接，当时，求的长解析：（1）在中，即（2）对于；对于；圆心距当两圆外切时，解得当两圆内切时，解得或（舍去），（3）延长交于，则垂直平分在中，当时，即，解得15.如图，把矩形纸片沿同时折叠，两点恰好落在边的点处，已知（1）求图中矩形的边的长为_；（2）求图中四边形的面积为_； （3）如图，点是直线上的动点，点是直线上的动点，连接，求的最
12、小值为_答案：24；57.6；24解析：（1）由题意，（2）连接同理，作于，则（3）连接由题意，当点都落在线段上时，取得最小值即等于线段的长的最小值为16.如图1，在梯形中，为线段上的一动点，且和不重合，连接，过作交所在直线于设（1）求与的函数关系式（2）若点在线段上运动时，点总在线段上，求的取值范围（3）如图2，若，将沿翻折至位置，求长为_. 解析：（1）在和中，与的函数关系式为（2）当时，点总在线段上，（3）连接，过作于由翻折可知四边形为平行四边形，四边形为矩形在中，解得或17.如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，（1）如图1，是的中点，将沿翻折后得到，的延长线交于，求点的坐标为_.（2）如图2，点分别是线段上的动点，如果以三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（三点不在同一条直线上），求点的坐标为_解析：（1）连接由题意，是的中点，又又，是的中点，（2）设当点为圆心时，则当点为圆心时，则过作于则，解得（舍去），当点为圆心时，则，解得综上所述，点坐标为
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