电磁感应中的双金属棒运动分析

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1、.电磁感应中的双金属棒运动分析一、两棒都只在安培力作用下运动的双金属棒问题。1、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒a和b,构成矩形回路,如图1所示两根导体棒的质量皆为m,电阻皆为R,回路中其余部分的电阻可不计在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行开始时,棒b静止,棒a有指向棒b的初速度v0若两导体棒在运动中始终不接触,求：1在运动中产生的焦耳热最多是多少2当a棒的速度变为初速度的3/4时,b棒的加速度是多少？分析：1a、b两棒产生电动势和受力情况如图2所示。a、b两棒分别在安培力作用下做变

2、减速运动和变加速运动,最终达到共同速度,开始匀速运动。由于安培力是变化的,故不能用功能关系求焦耳热；由于电流是变化的,故也不能用焦耳定律求解。在从初始至两棒达到速度相同的过程中,由于两棒所受安培力等大反向,故总动量守恒,有根据能量守恒,整个过程中产生的总热量2设a棒的速度变为初速度的3/4时,b棒的速度为v1,则由动量守恒可知由于两棒产生的感应电动势方向相同,所以回路中的感应电动势,感应电流为此时棒所受的安培力,所以b棒的加速度为图13-4-8由以上各式,可得2、如图13-4-8所示,光滑弧形轨道在MN、PQ与光滑水平平行金属导轨相切,两轨道在结合处光滑且极易分离,平行金属导轨在MN左侧、PQ

3、右侧足够长。金属杆a和b在离地h=20cm高处同时从静止开始沿相同的光滑弧型轨道下滑,金属杆a和b进入水平轨道的同时,在整个水平平行金属导轨上加上竖直向上的匀强磁场,而后两弧形轨道立即撤离。已知kg,kg,两金属杆的电阻分别为,；B=2T,导轨宽度为L=10cm,导轨MN、PQ之间水平部分足够长a和b不相撞,试求：1a和b的最终速度分别是多大？2整个过程中回路释放的电能是多少？3若导轨电阻不计,整个过程中a和b上产生的热量分别是多少？解析：a和b下滑过程由机械能守恒a和b在安培力作用下达到共同速度过程中,选向左为正方向,根据动量守恒有代入数据解得m/s根据能量守恒有带入数据解得a和b构成串联电

4、路,电流相等,a和b上产生的热量跟它们的电阻成正比。则带入数据解得J J二、两棒除受安培力外,还受拉力F作用的双金属棒问题。1、如图3所示,两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直,导轨电阻忽略不计,导轨间的距离L=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂直,每根金属杆的为电阻R=0.50,在t=0时刻,两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行,大小为0.20N的力F作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动。1分析说明金属杆最终的运动状态？2已知当经过t=5.0s时,金属杆甲的加速度a=1

5、.37m/s,求此时两金属杆的速度各为多少？分析：1甲、乙产生电动势和受力情况如图4所示。由于开始甲速度大于乙的速度,所以甲杆产生的电动势大,电流沿逆时针方向。随着电流增大,安培力增大,甲的加速度减小,乙的加速度增大,当二者加速度相同时,两棒的速度差不在改变,电流恒定,这样甲、乙最终以相同的加速度做匀加速运动,而例1中两棒最终做匀速运动。2由以上分析知,回路中产生电动势为回路中的电流对甲杆,由牛顿第二定律得注意与例1不同,由于甲杆受到拉力F作用,所以系统动量不守恒。因为作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等,方向相反,所以两杆的动量变化等于拉力F的冲量,即联立以上各式解得三、两棒分别在在不同宽度

6、的导轨上运动的双金属棒问题。1、如图5所示,足够长的光滑平行导轨水平放置,电阻不计,MN部分的宽度为2L,PQ部分的宽度为L,金属棒a和b的质量分别为2m和m,a和b分别垂直放置在MN和PQ上且相距足够远,整个装置处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度为B。开始时a棒向右运动,速度为v0,b棒静止,两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动,b总在PQ上运动。求a、b最终的速度。分析：a、b棒产生电动势和受力情况如图6所示。由于两棒长度不同,所以所受安培力大小不等,系统动量不守恒,这是与例1的重要区别,解题时要引起特别注意。两棒运动情况与例1相同,最终速度相同,做匀速运动。所以最终时电流为0,两棒

7、电动势相等,即从开始到刚匀速运动的过程中,对a、b分别由动量定理得又任意时刻,两棒所受安培力均为2倍关系,所以有解以上方程可得,Fa1b1c1d1x1y1a2b2c2d2y22、图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨,处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直导轨所在的平面向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的,距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的,距离为l2。x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆,质量分别为m1和m2,它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力

8、。已知两杆运动到图示位置时,已匀速向上运动,求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。解析：设杆向上运动的速度为v,因杆的运动,两杆与导轨构成的回路的面积减少,从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势的大小为：回路中的电流电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用,作用于杆的安培力为方向向上,作用于杆的安培力方向向下。当杆作为匀速运动时,根据牛顿第二定律有解以上各式,得作用于两杆的重力的功率的大小电阻上的热功率由、式,可得3、如图所示光滑平行金属轨道abcd,轨道的水平部分bcd处于竖直向上的匀强磁场中,bc部分平行导轨宽度是cd部分的2倍,轨道足够长。将质量

9、相同的金属棒P和Q分别置于轨道的ab段和cd段。P棒位于距水平轨道高为h的地方,放开P棒,使其自由下滑,求P棒和Q棒的最终速度。解析设P,Q棒的质量为m,长度分别为2l和l, P棒进入水平轨道的速度为v0,对于P棒,运用机械能守恒定律得mgh=1/2 mv02； v0=；当P棒进入水平轨道后,切割磁感线产生感应电流。P棒受到安培力作用而减速,Q棒受到安培力而加速,Q棒运动后也将产生感应电动势,与P棒感应电动势反向,因此回路中的电流将减小。最终达到匀速运动时,回路的电流为零,所以EP=EQ,即2BlvP=BlvQ；2vp=vQ再设：磁感强度为B,P棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为t,P

10、,Q受到的平均作用力分别为P和Q；对P、Q分别应用动量定理得：Pt=mvP-v0；Qt=mvQ-0而P=2QvP=；vQ =四、两棒通过细线或杆连接的双金属棒问题。1、如图7所示,两金属杆ab和cd长度均为L电阻均为R,质量分别为M和m,M大于m。用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合电路,并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧。两金属杆都处在水平位置。整个装置处在与回路平面垂直的匀强磁场中,磁感应强度为B。若金属杆ab正好匀速向下运动,求其运动的速度。分析：由于两棒通过细线连接,所以两棒速度大小总是相等,这是连接体的一个特点。即由于两棒向相反方向运动,所以产生的电动势相反,

11、相当于两电源串联如图8所示,这是与以上题目的一个区别。回路产生的电动势为产生感应电流方向沿abdc方向,大小为注意分析两棒受力如图8所示,两安培力大小相等对ab杆有对cd杆有解得2、如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中,有一上、下两层均与水平面平行的U型光滑金属导轨,在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2,开始时两根金属杆位于同一竖直平面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H,导轨宽为L,导轨足够长且电阻不计,金属杆单位长度的电阻为r。现有一质量为m/2的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点,撞击后小球反弹落到下层面上的C点。C点与杆A2初始位置

12、相距为S。求：1回路内感应电流的最大值；2整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；3当杆A2与杆A1的速度比为1：3时,A2受到的安培力大小。解析：1小球撞击杆瞬间系统动量守恒,之后做平抛运动。设小球碰后速度大小为v1,杆获得速度大小为v2,则,A1杆向右做减速运动运动,A2杆向右加速运动,直至速度相等,然后做匀速运动,故其最大电动势是小球和杆碰后瞬间,则,最大电流,则2两金属棒在磁场中运动始终满足动量守恒定律,两杆最终速度相同,设为v,据动量守恒定律有：,又据能量守恒定律有：联立以上各式可得：3设杆A2、A1的速度大小分别为v和3v,由于两杆组成的系统动量始终守恒,则有：此时回路中产生的感

13、应电动势为：,则,安培力,联立可得：3如图所示,两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53固定放置,导轨间连接一阻值为4的电阻R,导轨电阻忽略不计。在两平行虚线L1、L2间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场区域的宽度为d=0.5m。导体棒a的质量为ma=0.6kg,电阻Ra=4；导体棒b的质量为mb=0.2kg,电阻Rb=12；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好。现从图中的M、N处同时将它们由静止开始释放,运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域,当b刚穿出磁场时,a正好进入磁场g取10ms2,sin53=0.8,且不计a、b之间电流的相互作用。求：1在整个过程中,a、b

14、两导体棒分别克服安培力做的功；2在a穿越磁场的过程中,a、b两导体棒上产生的焦耳热之比；3在穿越磁场的过程中,a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；4M点和N点之间的距离。1,J 2分 同理J 2分2在a穿越磁场的过程中,a是电源,b与R是外电路,1分,1分,2分3设b在磁场中匀速运动的速度大小为vb,则b中的电流电路的总电阻R总1=14由以上两式得：1分同理a棒在磁场中匀速运动时R总2=71分,可得va：vb=3:22分 4由题意得：1分,d=vbt1分因为1分可得M点、N点到L1的距离分别为Sa=9/8m,Sb=1/2mSMN=5/8m1分4如图所示,电阻忽略不计的、两根两平行的光滑金属导

15、轨竖直放置,其上端接一阻值为的定值电阻R。在水平虚线L1、L2间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B,磁场区域的高度为d=05m。导体棒a的质量ma=02kg、电阻Ra=3；导体棒b的质量mb=01kg、电阻Rb=6,它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动,且都能匀速穿过磁场区域,当b 刚穿出磁场时a正好进入磁场 设重力加速度为g=10m/s2。不计a、b之间的作用求：1在整个过程中,a、b两棒克服安培力分别做的功；2M点和N点距L1的高度。解：1 4分 因a、b 在磁场中匀速运动,由能量关系知 Wa=magd =10JWb=mbgd =05J214分b在磁场中匀速运动时：速

16、度为,总电阻R1=75b中的电流 2分由以上各式得： 2分同理,a棒在磁场中匀速运动时：速度为,总电阻R2=5：由以上各式得,2分1分 1分 1分 ha=m hb=m 2分5如图所示,电阻不计的两光滑金属导轨相距L,放在水平绝缘桌面上,半径为R的l/4圆弧部分处在竖直平面内,水平直导轨部分处在磁感应强度为B,方向竖直向下的匀强磁场中,末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab质量为2 m,电阻为r,棒cd的质量为m,电阻为r。重力加速度为g。开始时棒cd静止在水平直导轨上,棒ab从圆弧顶端无初速度释放,进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动,最后两棒

17、都离开导轨落到地面上。棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为1:3。求：1棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；2棒cd在水平导轨上的最大加速度；3两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。1设ab棒进入水平导轨的速度为v1,ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒：2分离开导轨时,设ab棒的速度为棒的速度为棒与棒在水平导轨上运动,动量定恒,2分依题意,两棒离开导轨做平抛运动的时间相等,由平热量运动水平位移可知2分联立解得2分2ab棒刚进入水平导轨时,cd棒受到的安培力最大,此时它的加速度最大,设此时回路的感应电动势为1分1分cd棒受到的安培力为：1分根据牛顿第二定律,cd棒有最大加速度为1分联立解得：

18、2分3根据能量定恒,两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：解得：2分6如图所示,固定于水平桌面上足够长的两平行导轨PO、MN,PQ、MN的电阻不计,间距为d=0.5m.P、M两端接有一只理想电压表,整个装置处于竖直向下的磁感应强度B=0.2T的匀强磁场中.电阻均为r=0.1,质量分别为m1=300g和m2=500g的两金属棒L1、L2平行的搁在光滑导轨上,现固定棒L1,L2在水平恒力F=0.8N的作用下,由静止开始做加速运动,试求:当电压表的读数为U=0.2V时,棒L2的加速度多大？棒L2能达到的最大速度vm.若在棒L2达到最大速度vm时撤去外力F,并同时释放棒L1,求棒L2达到稳定时的速度值.若固定棒L1,当棒L2的速度为v,且离开棒L1距离为S的同时,撤去恒力F,为保持棒L2做匀速运动,可以采用将B从原值逐渐减小的方法,则磁感应强度B应怎样随时间变化？解:L1与L2串联流过L2的电流为: L2所受安培力为:F=BdI=0.2N 当L2所受安培力F安=F时,棒有最大速度vm,此时电路中电流为Im.则：F安=BdImF安=F 撤去F后,棒L2做减速运动,L1做加速运动,当两棒达到共同速度v共时,L2有稳定速度,对此过程有： 要使L2保持匀速运动,回路中磁通量必须保持不变,设撤去恒力F时磁感应强度为B0,t时刻磁感应强度为Bt,则：B0dS=BtdS+vt 10 / 10