固体物理总结课件

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1、格波、光学支格波、声学支格波、简谐近似、格波、光学支格波、声学支格波、简谐近似、色散关系（晶格振动谱）、色散关系（晶格振动谱）、BK边界条件边界条件方程、试探解、求色散关系及画曲线、波矢取值及范围方程、试探解、求色散关系及画曲线、波矢取值及范围声子、格波支数、振动模式数、频率数、波矢数、声子种数声子、格波支数、振动模式数、频率数、波矢数、声子种数黄昆方程、铁电软模（光学软模）、极化声子、电磁声子黄昆方程、铁电软模（光学软模）、极化声子、电磁声子能量守恒和准动量守恒能量守恒和准动量守恒模式密度（频率分布函数）、爱因斯坦模型、德拜模型模式密度（频率分布函数）、爱因斯坦模型、德拜模型非简谐近似、正常

2、过程、反常过程、非简谐近似、正常过程、反常过程、第三章晶格振动第三章晶格振动v三维晶格振动三维晶格振动v确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法v晶体比热晶体比热v晶体的非简谐效应晶体的非简谐效应v长波近似长波近似v一维晶格振动一维晶格振动 振动很微弱时，势能展式中只保留到振动很微弱时，势能展式中只保留到 2 2项项, ,3次方次方以上的高次项均忽略掉的近似为以上的高次项均忽略掉的近似为简谐近似简谐近似( (忽略掉作忽略掉作用力中非线性项的近似用力中非线性项的近似) )。nknknkrnkxxruf 022dd022ddrnkru 格波格波：晶体中的原子在其平衡位置附近作微振动，：晶体

3、中的原子在其平衡位置附近作微振动，由于原子间的相互作用，原子振动在晶体中传播，形由于原子间的相互作用，原子振动在晶体中传播，形成波。由于晶体中原子排列的周期性，相邻原子间存成波。由于晶体中原子排列的周期性，相邻原子间存在着固定的位相关系，这种波称为格波。在着固定的位相关系，这种波称为格波。一维晶格振动在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。线性叠加。模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a， 晶格振动波矢的数晶格振动波矢的数目目=晶体的原胞数晶体的原胞数B-K条件

4、条件波矢波矢q取值取值 11. nnnnxxxxnmx naqtinAex 2sin2aqm aqa Nnnxx n- -2nn+ +1n+ +2n- -1ammoa a m 2一维双原子链振动一维双原子链振动2n- -22n2n+ +12n+ +22n- -1Mma aqntinAex1212 nxM2. nnnxxx212122 12. nxm 122222 nnnxxx naqtinBex22 2cos2)(222aqmMMmMmmM ,)(22Nnnxx aqa22 o qa2 a2O A 3nN种声子种声子3N种声学声子种声学声子， ( (3n- -3) )N种光学声子种光学声子。3

5、nN个振动模式个振动模式晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，独立的振动模式数独立的振动模式数= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn。N是晶体的原胞个数，是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，是原胞内原子个数，m是维数是维数。声子声子：晶格振动的能量量子。能量为：晶格振动的能量量子。能量为, 准动量为准动量为 。q三维晶格振动、声子确定晶格振动谱的实验方法中子的非弹性散射、光子散射、中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射射线散射。1.方法：2.原理(中子的非弹性散射)3.仪器： 三轴中

6、子谱仪。三轴中子谱仪。)q(MPMPnn 2222hKqPP 由能量守恒和准动量守恒得：由能量守恒和准动量守恒得：“+”表示吸收一个声子表示吸收一个声子“-”“-”表示发射一个声子表示发射一个声子晶 体 比 热1.固体比热的实验规律 低温低温高温高温0T33BvNkC )d(1ee202 TkkCBTkTkBVmBBTECV 23121ee TkkBiNiTkTkBBiBi NiiEE31 NiNiiTkiBi3131211e 2.频率分布函数定义：定义： nlim0)( nsqcqsV313d2 计算：计算：3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型(1)(1)晶体中原子的振动相互独立；晶体中原子

7、的振动相互独立；(3)(3)设晶体由设晶体由N个原子组成个原子组成, ,共共有有3N个频率为个频率为 的振动的振动。(2)(2)有一支纵波两支横波；有一支纵波两支横波；(3)(3)晶格振动频率在晶格振动频率在 之间之间( ( D为德拜频率为德拜频率) )。D0 DB0d211e )(ETk 211e3BTkNE爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型 23D9 N (2)所有原子具有同一频率所有原子具有同一频率 ；(1)(1)晶体视为连续介质晶体视为连续介质, ,格波视格波视为弹性波（）；为弹性波（）；vq 22EE1eeEE TTTTf TfNkCVEEB3 TfNkCVDB3 xxTTfT

8、xxd1ee34023DDD 高温时与实验相吻合，低温高温时与实验相吻合，低温时以比时以比T3 3更快的速度趋于零。更快的速度趋于零。高低温时均与实验相吻合，且高低温时均与实验相吻合，且温度越低，与实验吻合的越好。温度越低，与实验吻合的越好。爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型 EBkBEk BDDk 局限性局限性1.非简谐效应：3.晶体的热膨胀现象：4.晶体的热传导现象：vCV 31 3T T1 高温时高温时: :低温时低温时: : dedeBBTkuTkuTkcgB243 33322200003121 RRRU!RU!)R(U)R(U 32 gc 2.声子与声子相互作用： hKqqq3

9、21321 晶体的非简谐效应0 hK正常过程正常过程0 hK反常过程反常过程长 波 近 似长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波Wb11 (1) (1)式代表振动方程，右边第一项式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第为准弹性恢复力，第二项表示电场二项表示电场 附加了恢复力。附加了恢复力。E (2) (2)式代表极化方程，式代表极化方程， 表示离子位移引起的极化，第表示离子位移引起的极化，第二项表示电场二项表示电场 附加了极化。附加了极化。 Wb21E)2( )1( 22211211EbWbPEbWbW -黄昆方程黄昆方程1.黄昆方程sLT

10、 2020-著名的著名的LST关系关系光频介电光频介电常量常量静电介电常量静电介电常量ToLos ,) 1 ( , 0TO S 0 2/1 (2)(2)铁电软模铁电软模( (光学软模光学软模) )3.极化声子和电磁声子 因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子极化声子。 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子电磁声子。2.LST关系1.已知模式密度已知模式密度 求求:)( (1) +d 间隔内的振动模式数

11、间隔内的振动模式数;(2) +d 间隔内的声子数及晶体中总的声子数间隔内的声子数及晶体中总的声子数;(3) +d 间隔内的谐振子的能量及晶体的能量间隔内的谐振子的能量及晶体的能量;解解:(1) d)(2) deTkB)(11 dBdeTk 0)(11(3) deTkB)(2111 DBdeTk 0)(21112.应用德拜模型计算一维、二维和三维情况下晶格振应用德拜模型计算一维、二维和三维情况下晶格振动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、平均动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、平均晶格能、晶格比热及其高低温极限。晶格能、晶格比热及其高低温极限。解： （1）模式密度：）模式密度：322,

12、2,2 LLL波矢空间波矢密度：波矢空间波矢密度：qqqd 中的波矢数目：中的波矢数目：qL,qL,qLdq42qd22d2232 d 中的振动模式数目：中的振动模式数目： d2d2dv223222vV,vS,Lccc一维有一支纵波，二维有一支纵波一支横波，三维有一维有一支纵波，二维有一支纵波一支横波，三维有一支纵波两支横波，纵波与横波速度相等一支纵波两支横波，纵波与横波速度相等 d2,d2,dv223222vVvSLccc : 322223,v1vVvSLccc （2）德拜频率）德拜频率NvV,NvS,NLDDDccc3d232ddv10322020 vVN,vSN,LNv:CCcD3122

13、164 （3）德拜温度）德拜温度BDDk （4）零点能）零点能 d210 D（5）平均晶格能）平均晶格能 d21110 DBTkeE（6）晶体比热）晶体比热TECV TxxDBTxxDBTxxDBVDDDxeexTNkxeexTNkxeexTNkC 02430232022d19d14d1高温时高温时BNk BNk3 BNk2 低温时低温时T 3T 2T 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为设晶格中每个振子的零点振动能为h21，试用德拜模型，试用德拜模型求晶体的零点振动能。求晶体的零点振动能。解：解： d9Nd23D d h21E000 429Nhd29Nh4D3D033D0 DBDNk89

14、Nh89 BDBDDkhk由由所以所以解：解： 1101103 . 1 miq hKqqq321321 11011021092. 021103 . 1 mjimjiq 110102131092. 01022. 2 mjiqqq4.具有简单立方结构的晶体，原子间距为具有简单立方结构的晶体，原子间距为2，由于晶体中非简，由于晶体中非简谐项作用的存在，一个沿谐项作用的存在，一个沿100方向传播的波矢为方向传播的波矢为的声子同另一个波矢大小相等、但沿的声子同另一个波矢大小相等、但沿110方向传播的声子相方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子。试求新形成的第三个声子的波矢。互作用，合并成第三个声子。试

15、求新形成的第三个声子的波矢。 110100103 . 1 mq0A mkamjamia103102101102102102 1101103110110211011011014. 3101014. 3101014. 310mkmkbmjmjbmimib 1101103110110211011011014. 3101014. 3101014. 310mkmkbmjmjbmimib 11010101333101431092010222 mi.j.i.bqKqqh 110101092. 01092. 0 mji合成后的第三个声子的波矢方向处在合成后的第三个声子的波矢方向处在1,1，0，其大小与第，其大

16、小与第一，二个声子波矢大小相等。一，二个声子波矢大小相等。3q 3q1b ij3.17 3.17 对于对于NaClNaCl晶体，恢复力常数晶体，恢复力常数 ，试以一，试以一维双原子链模型分别求出维双原子链模型分别求出NaClNaCl晶体中光学支格波和声学支格波晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率已知的最高频率和最低频率已知ClCl和和NaNa的原子量分别为的原子量分别为35.535.5和和23.023.0）。）。cmdyn4105 . 1 解：因为一维双原子晶体的色散关系为解：因为一维双原子晶体的色散关系为 212222cos2aqMmmMmMMm 21112 MmmaxO gm2

17、41066.10.23 ， gM241066.15.35 21244106615351661023110512 . srad131060. 3 212821106615355122 .MmaxA srad131026. 2 （1）NaCl的恢复力常数；的恢复力常数； （2）长声学波的波速；）长声学波的波速； （3）NaCl的弹性模量。的弹性模量。 已知已知Cl和和Na的原子量分别为的原子量分别为35.5和和23.0。3.18 对对 于于 NaCl 晶晶 体，测体，测 知知 其其 密密 度度 ，正，正 负负 离离子子 的的 平平 衡衡 距距 离离 ，光，光 学学 支支 格格 波波 的的 最最 高

18、高 频频 率为率为 。试以一维双原子链模型计算：。试以一维双原子链模型计算： 318. 2cmg 101081. 2 a srad18max1060. 3 解：解：(1)对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为 21max112 Mm MmmM max221 2621060. 321 5 .350 .235 .350 .23241066. 1 cmdyn4105 .1 (2)(2)对于声学波，在长波极限下，其传播速度为对于声学波，在长波极限下，其传播速度为 212 Mmav 2124481066. 15 .350 .23105 . 121081. 2 s

19、mscm49401094. 45 （3） Kv K是介质的弹性模量，是介质的弹性模量， 为介质密度为介质密度2vK )/(102 . 5)1094. 4(18. 221125cmdyn 由弹性波理论知：由弹性波理论知：3.9 一维单原子链，原子质量为一维单原子链，原子质量为m，原子间距为，原子间距为a。计及所有原。计及所有原子间的长程作用，且最近邻、子间的长程作用，且最近邻、次近邻、次次近邻次近邻、次次近邻原子间原子间恢复力恢复力常数依次为常数依次为,3211）求格波的色散关系；）求格波的色散关系；2）若恢复力常数取）若恢复力常数取 papaqp0sin 式中，式中， oq常常”现象：当现象：

20、当 qqq20 ，pnx 解：解：1)设第设第n个原子对平衡位置的位移为个原子对平衡位置的位移为 nx，第，第n+p和和n-p个个原子的位移分别记为原子的位移分别记为 pnx 和和 , 3 , 2 , 1 p，则第，则第n+p 为常数，为常数，p遍取所有的整数值，试证明遍取所有的整数值，试证明“科恩科恩(Kohn)反反。和第和第np个原子对第个原子对第n个原子的作用力可写成个原子的作用力可写成 pnnpnpnppxxxxf npnpnpxxx2 链上每个原子与第链上每个原子与第n个原子都有相互作用，故第个原子都有相互作用，故第n个原子的运动个原子的运动方程应为方程应为 002ppnpnpnpp

21、nxxxfxm 设试探解为设试探解为 naqtinAex 代入运动方程可得代入运动方程可得 022pipaqipaqpeem 02cos2pppaq 故格波的色散关系为故格波的色散关系为 02cos12pppaqm 0221sin4pppaqm (1) 2)2)若若 papaqp0sin 代入代入(1)(1)式得式得 020221sinsin4ppaqpapaqm 00221cos21sinsin4ppaqpaqpaqmq 当当 0qq 时，由上式得到时，由上式得到 0022sin20pqpaqmq (2) (2) 因为因为 0sin02 paq，(2)式的求和对无穷原子系列进行，故式的求和对

22、无穷原子系列进行，故必有必有 02qq 2 或或 对对q的关系曲线在的关系曲线在 0qq 处有一条垂直的切线，即处有一条垂直的切线，即曲线在曲线在0q点处扭折，这就是点处扭折，这就是“科恩反常科恩反常”现象。现象。 )(qRtilmlmAeu )(yxmaqlaqtiAe ml, 1 1, mlml, 1 1, mlml,)4(,1,1, 1, 1mlmlmlmlmluuuuu )()()()(1,1, 1, 1 mllmmllmmllmmllmlmuuuuuuuuMu yxaqaqMcoscos222 1.3.对一维简单晶格，按德拜模型，求出晶格比热，并讨论高低对一维简单晶格，按德拜模型，求

23、出晶格比热，并讨论高低温极限。温极限。解： )d(1ee202 TkkCBTkTkBVmBB波矢密度： 22LaN qd中的波矢数目：qLd2 d中的振动模式数目： ddd22qLdn d1vL vL )( 3dx1ee2202 xxxvL )( )d(1ee202 TkkCBTkTkBVmBB d1ee202 TkvLkBTkTkBmBBTkxB dx1ee202xvLkTkmxxBB dx1ee2022BDxvLTkTxx dx1ee2022BDxvLTkCTxxV TkxB 高温时：0B Tkx TTxxxxTxxxxDDD020222202dxdxeeeedx1ee TD TvLTkC

24、VD2B TkvLTkBD2B DBLqk aLk B BNk dx1ee2022BDxvLTkCTxxV TkxB TkxB 低温时： dx1ee2022BxvLTkCxxV 322B vLTk vTkL32B 4设一长度为设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为的一维简单晶格，原子质量为m，间距为间距为a，原子间的互作用势可表示成原子间的互作用势可表示成 aAaU cos)(试由简谐近似求试由简谐近似求（1）色散关系；（）色散关系；（2）模式密度；（）模式密度；（3）晶）晶格热容表达式。格热容表达式。202222ddddaAUrUa 3.17 3.17 对于对于NaClNaCl晶体，已知恢复

25、力常数晶体，已知恢复力常数 ，试分别求出试分别求出NaClNaCl晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率。（已知最低频率。（已知ClCl和和NaNa的原子量分别为的原子量分别为35.535.5和和23.023.0）cmdyn4105 . 1 解：因为一维双原子晶体的色散关系为解：因为一维双原子晶体的色散关系为 212222cos2aqMmmMmMMm 在本题设下，式中在本题设下，式中m、M分别代表分别代表Na、CL原子的质量。当括号原子的质量。当括号内取内取“+”号时代表光学支号时代表光学支 ，取，取“”号时代表声学支号时代表声学支 。从。从上

26、式得知，光学支的最大频率是上式得知，光学支的最大频率是 21max112 Mm 由于由于 gm241066. 10 .23 ， gM241066. 15 .35 ，因而得，因而得 21244max1066. 15 .35166. 10 .231105 . 12 srad131060. 3 而光学支的最小频率是而光学支的最小频率是 212821min1066. 10 .235 . 122 m srad131080. 2 声学支的最大频率是声学支的最大频率是 212821max1066. 15 .355 . 122 M srad131026. 2 （1）NaCl的恢复力常数；的恢复力常数； （2）

27、长声学波的波速；）长声学波的波速； （3）NaCl的弹性模量。的弹性模量。已知已知Cl和和Na的原子量分别为的原子量分别为35.5和和23.0。3.18 对对 于于 NaCl 晶晶 体，测体，测 知知 其其 密密 度度 ，正，正 负负 离离子子 的的 平平 衡衡 距距 离离 ，光，光 学学 支支 格格 波波 的的 最最 高高 频频 率为率为 。试以一维双原子晶链模型计算：。试以一维双原子晶链模型计算： 318. 2cmg 101081. 2 a srad18max1060. 3 解：解：(1)对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为 21max112 M

28、m (1) 式中，式中， 为原子间的恢复力常数；为原子间的恢复力常数；m、M分别代表两种原子的质分别代表两种原子的质量。对于量。对于NaCL，已知，已知Na原子质量原子质量 ，CL原原子质量子质量 ，平衡时，平衡时， 和和 的距离为的距离为 ， 。因此，从。因此，从(1)式可得其式可得其恢复力常数恢复力常数 gm241066. 10 .23 g1066. 15 .35M24 Na Clm101081. 2 srad18max1008. 3 MmmM max221 2621060. 321 5 .350 .235 .350 .23241066. 1 cmdyn4105 .1 (2)(2)对于声学

29、波，在长波极限下，其传播速度为对于声学波，在长波极限下，其传播速度为 212 Mma 所以所以 2124481066. 15 .350 .23105 . 121081. 2 smscm49401094. 45 (3)(3)有弹性波理论知道，波速有弹性波理论知道，波速 E 式中，式中，E E是介质的弹性模量；是介质的弹性模量； 为介质密度。为介质密度。 211252102 . 51094. 418. 2cmdynE ， 318. 2cmg 故有故有 已知已知3.19 设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间的相互设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间的相互斥力而达到平衡。离子的质量为斥力而

30、达到平衡。离子的质量为kg27107 . 1 ，平衡时的离子，平衡时的离子 间距为间距为 m10100 . 5 。试求纵向格波的最高频率和最大波速。试求纵向格波的最高频率和最大波速。 解：解： , 3 , 2 , 1 n表示；表示；n1-n1n 2-n2n anx1-nx1nx 2-nx2nx 如图所示，离子的坐标由如图所示，离子的坐标由na由于热由于热运动，运动，nx , 3 , 2 , 1 n。库仑定律，两粒子间的互相斥力为库仑定律，两粒子间的互相斥力为222422rekreekf 式中，式中，k k为静电衡量；为静电衡量；r r为离子间距。为离子间距。 21221244 nnnnnxxa

31、ekxxaekxm 2122122444nnnnxxaexxaeke(1)(1) 因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将(1)(1)式式括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项它们离开平衡位置的位移记为它们离开平衡位置的位移记为根据根据相互作用，运动方程可表述为相互作用，运动方程可表述为如果只考虑相邻离子间的如果只考虑相邻离子间的则有则有 212212211114axxaaxxakexmnnnnn 2121221214aaxxaaxxkennnn nnnxxxake 1

32、1328令试探解为令试探解为 naqtinAex （2 2）式中，式中，A、 、q分别为振幅、角频率和波矢。分别为振幅、角频率和波矢。式得出式得出 aqakeeeakemiaqiaq21sin3228232322 即即 aqaqmake21sin21sin3222max2322 式中式中 max 为格波的最高角频率：为格波的最高角频率： 2122132max2432 makeamake （3）把上式代入把上式代入(2)把下列数据代入：把下列数据代入：mJke 2821030. 2ma10105 kggm2724107 .1107 .1 得到得到 srad142110272810max108 .

33、 1105107 . 11030. 221054 最大波速对应于长波极限下的波速。最大波速对应于长波极限下的波速。 此时此时q q很小，很小，(3)(3)式给出式给出 qamax21 于是，得到最大波速为于是，得到最大波速为maxmaxmax221 aqqaq sm41410105 . 4108 . 12105 3.21 试用一维单原子链模型证明：格林爱森系数试用一维单原子链模型证明：格林爱森系数 是一是一 个常数。个常数。 证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为 aqm21sin422 (1) 式中，式中， 为晶链近邻原子间的恢复力常数；为晶链近邻原

34、子间的恢复力常数；m为晶格原子的质为晶格原子的质 量；量；a是原子间距；是原子间距；q为格波的波矢。为格波的波矢。因而因而aq=S/N是一个与原子间距是一个与原子间距a无关的参量，可以把无关的参量，可以把(1)式写成式写成矢矢q只能取分立值只能取分立值 Nasq ，且，且 22NSN （S为整数），为整数），设晶链包含设晶链包含N个原子，波个原子，波 aqm21sin422(2) 此处此处 aqm21sin42 是一个与是一个与a无关的量，频率无关的量，频率 对原子间距对原子间距a的关系是通过恢复力的关系是通过恢复力 常数常数 相关联的。相关联的。对于一维单原子链，格林爱森常数对于一维单原子链

35、，格林爱森常数 Naddlnln lnln21ln (3) 由由(2)式得式得Na为晶链的长度。把为晶链的长度。把(3)式代入即得式代入即得 dadaaddaNdd 2lnlnlnlnlnln21 (4) 注意到恢复力常数注意到恢复力常数 是晶格原子互作用能是晶格原子互作用能U的二次微商，的二次微商， 即即 UdaUd 22 因而因而 UdaUddad 故故(4)(4)式可写作式可写作UUa 2 因为对于已知晶格，因为对于已知晶格， U 和和 U 是确定的数，因此是确定的数，因此 也是确定也是确定的常数。此外，的常数。此外， 的出现是由于互作用能中的非谐项引起的，的出现是由于互作用能中的非谐项

36、引起的，如果晶体做严格的谐振动，则如果晶体做严格的谐振动，则 0 U，必有，必有 0 。 3.22 3.22 证明：固体的体胀系数证明：固体的体胀系数 ，体积，体积V V和体积弹性模量和体积弹性模量K K间间满足格林爱森关系：满足格林爱森关系：KVCV 。式中，。式中， VC为固体的定容为固体的定容热容量；热容量； 是格林爱森常数。是格林爱森常数。 证明：按定义，晶体的体胀系数证明：按定义，晶体的体胀系数pTVV 1 使用熟知的循环关系式使用熟知的循环关系式 1 TVpVPPTTV上式化为上式化为TVpPVTPVTVV 11 VTVTPKVPTPV 11(1)(1) 式中式中 TVPVK 是体

37、积弹性模量。是体积弹性模量。对于晶体，有格林爱森常数状态方程：对于晶体，有格林爱森常数状态方程： VEdVVdUP (2) 式中，式中，U(V)是是0K时晶体的互作用能，时晶体的互作用能， E为晶体热振动的平均为晶体热振动的平均 总能量；总能量； 是格林爱森常数。是格林爱森常数。代回代回(1)式即得式即得 VCKV 无关，则有无关，则有 VCTEVTPVVV 对对(2)式求微商，由于式求微商，由于U(V)与温度与温度 3.23 由正负离子构成的一维离子链，离子间距为由正负离子构成的一维离子链，离子间距为 ，离子质量，离子质量都为都为 ，电荷交替变化，即第，电荷交替变化，即第 个离子的电荷个离子

38、的电荷 ，原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程作用，力系数为作用，力系数为 ；其二是所有离子间的库仑作用。证明：；其二是所有离子间的库仑作用。证明： amn n1eq （1）库仑力对力常数的贡献为）库仑力对力常数的贡献为 ;ape12332ppn,n （2）色散关系为）色散关系为 ,pcospa112qasin1p3p2202 其中其中;ae,m43220 （3）0.475,qa 时，格波为软模。时，格波为软模。证明：证明：（1）设离子链沿水平方向。）设离子链沿水平方向。 第第 个离子右端的第个离子右端的第 个个 离子

39、与第离子与第 个离子间的库仑力为个离子间的库仑力为nnpn 2npn2npnp,nnuupae11f 上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。考虑到考虑到pa,uunpn 可将上式展成可将上式展成 npnuu 级数，级数，取一级近似得取一级近似得 pauu21pae1fnpn22pp,nn第第 个离子左端的第个离子左端的第 个离子与第个离子与第 个离子间的库仑力为个离子间的库仑力为npn n 2pnn2npnp,nnuupae11f 取一级近似得取一级近似得 pauu21pae1fpnn22pp,nn第第 个离子和第个离子和第 个离子

40、对第个离子对第 个离子间的库仑合力个离子间的库仑合力为为pn pn n npnpn332pp,nn2uuuape12f 可见库仑力对力常数的贡献为可见库仑力对力常数的贡献为 332pape12 （2） 第第 个离子的运动方程为个离子的运动方程为n 1pp,nnn1n1nnf2uuudtdum 1pnpnpn32pn1n1n2uuupae122uuu设格波解设格波解 tqnaintqapnipnAeu,Aeu 则由离子的运动方程得则由离子的运动方程得 ipqaipqa1p32piqaiqa2ee2pae12m1ee2m cospqa1pae12cosqa1m21p32p 1p3p322pcosp

41、qa11aeqa21sinm4令令, ae, m43220 可得可得 1p3p2202pcospqa11qa21sin（3） 当当, qa 有有 .715131121333202 1m1m330m32m1m12112m121 1m3m18721记记 3m11m3 则有则有 4371202 由此知，当由此知，当 0.475374 时，时，.0 由于格波的频率由于格波的频率, 21 因此因此0说明说明此振动模式对应的恢复力系数此振动模式对应的恢复力系数,0 相当于弹簧振子系统相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性。的弹簧丧失了弹性。所以称所以称 的振动模式为软模。的振动模式为软模。0作业中存在的问题作

42、业中存在的问题: dNdD239)( 21若每个振子的零点振动能为若每个振子的零点振动能为 dD)(210 dNdD230921 DN 89 dD)(210 晶体的零点振动能晶体的零点振动能DBNk 89 1.若每个振子的零点振动能为若每个振子的零点振动能为 ,用德拜模型求晶体的用德拜模型求晶体的零点振动能零点振动能. h21 dNdD239)( dhD)(210 2)2()2(923dND dNdD239)( dND239 d)( dhD)(210 DNh 89 DBNk 89 dNhDd230921 例例:在很宽的温度范围内可以把石墨作二维晶体处理在很宽的温度范围内可以把石墨作二维晶体处理

43、,但振动模总但振动模总数仍等于数仍等于3N(N为晶体原子数为晶体原子数).设石墨层是边长为设石墨层是边长为L的正方形的正方形,试求试求:)( (1)德拜频率分布函数德拜频率分布函数 ;(2)德拜截止频率和德拜温度德拜截止频率和德拜温度;(3)低温时的比热表示式低温时的比热表示式.解解: (1) ddn)( 由梯度定义知由梯度定义知: dqqdq dqdlLdnq 222qyqx d dldq dldqLdn222 lqqdlL222 lqqdlL222qyqx d dldq lqqdlL222德拜模型德拜模型vq vqL 2)2(22 222vL 二维情况二维情况,一支纵波一支纵波,一支横波一支横波 )11(2)(222TLvvL BvLvLpp 222212222pvLB (2)Ndd3)(0 NdBd30 NBD3212 BND6 226pvLN NLvp6 DBDk NLkvkBpBDD6 (3) DBdeETk 0)(211 dTkeekCBTkTkBVBBD)(1220 dTkeekCBTkTkBVBBD)(1220 dBTkeekBTkTkBBBD2201 26DNB TxxBBDDdxxeeTkkN 0322216 TxxDBDdxxeeTNk 032216低温时低温时: TeDx , 1 0326dxxeTNkCxDBV 2T