上下极限的等价性定义及应用

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1、上下极限的等价性定义及应用 导读：就爱阅读网友为您分享以下“上下极限的等价性定义及应用”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持! 上、下极限的等价性定义及其应用 摘 要数列上、下极限的概念，是数学分析中的两个重要概念在不同版本的数学分析教材中，往往以不同形式给出其定义关于数列上、下极限的概念，常用的表示方法有三种（文中的定义1、2、3）除此之外，本文又给出了两种定义方式（文中的定义4、5）接着利用实数完备性和极限理论知识，如：聚点定理，闭区间套定理，数列极限的定义以及收敛数列的性质等，严格论证了这五种定义的等价性在此基础上又探讨了数列上、下极限的一些性质，并给出了其证明过程其次，借助上、下极限

2、的定义及性质，给出了有关上、下极限的若干命题最后，举例说明了上、下极限在极限运算及数列与级数论中的应用 关键词：上极限，下极限，聚点，上确界 About the Equivalence of the Definitions of Superior Limit and Inferior Limit and Its applications Yu Li(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractThe concept of the superior and inferior

3、limit on sequence is two important concepts in mathematical analysisIn different versions of textbooks of mathematical analysis ，often give different forms of its definitionOn the sequence of the superior and inferior limit of the concept ，there are three commonly used methods (the definition of pap

4、er 1、2、3 )In addition，this article gives two definitions (the definition of article 4、5) By using of knowledge of completeness of real and limit theory，such as ：theorem of the point of accumulation，theorem of nested interval，definitions of sequence limit and the properties of convergence sequence，th

5、is article strictly proofs the equivalence of the five definitionsOn these bases，we discuss some properties of the superior and inferior limit，and give the proofSecondly ，using the definitions and properties of the superior and inferior limit ，we give some propositions about the superior and inferio

6、r limit Finally ，this paper gives examples to illustrate the application of the operation of limit and the theory of series of the superior and inferior limit Keywords: superior limit，inferior limit，accumulation ，least upper bound 目 录 引言 1一、上、下极限的定义 1（一）上、下极限的5种定义1（二）上、下极限定义的等价性证明“2二、上、下极限的相关应用 5（一）

7、上、下极限的性质5（二）有关上、下极限的若干命题8（三）上、下极限在极限教学中的作用 121上、下极限在极限运算中的作用122上、下极限在数列与级数论中的作用13 结论“14 参考文献14 致谢15 引言 一个有界数列x n 不一定有极限，但它却有上极限和下极限. 数列的上、下极限是极限概念的自然推广，它是本科教学和学生学习的难点问题. 由于目前普遍受教学计划总时数的限制，现行一般本科教材中关于数列上、下极限部分的教学内容大多是不做具体要求，有的即使写进数分教材里也是作为选学内容，况且，大多数教材对上、下极限也讨论的不细致、不深入，这样无疑更加淡化了上、下极限的教学. 事实上，上、下极限的概念

8、在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用，例如：实变函数论，概率论，测度论等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念，所以对上、下极限有个清楚的认识是必要的. 本文将从上、下极限的定义、性质、定理、应用四个方面作深入细致的探讨，期望对数学分析的教学有所帮助. 关于上、下极限的概念，我们常常在不同的教材看到其定义各不相同，为了深刻认识其内涵，本文给出了上、下极限的五种定义方式，并证明了五种定义的等价性. 一、上、下极限的定义 （一）上、下极限的5种定义则lim x n =a (lim x n =b ). n n 定义1（用“数列的聚点”来定义） 若a (b ) 表示数列x n 的最大（小）聚

9、点， 定义2（用“数列的收敛子列”来定义） 设x n 是有界数列，若a (b ) 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者，则lim x n =a （lim x n =b ）. n n 定义3（用“数列的确界”来定义） lim sup x k =a 称为数列x n 的上极限，n k nlim inf x k =b 称为数列x n 的下极限. n k n定义4 inf sup x k 称为数列x n 的上极限，sup inf x k 称为数列x n 的下极限. n 1k n n 1k n定义5 （1）若对0,有无穷多个n 使得x n a -, 同时至多有有限个n 使得x n a +, 数a

10、 称为数列x n 的上极限，记作lim x n =a . n （2）若对0,有无穷多个n 使得x n b +，同时至多有有限个n 使得x n b -，数b 称为数列x n 的下极限，记作x n =b .n 1 （二）上、下极限定义的等价性证明为了方便起见，仅就上极限的情形予以证明，下极限的情形依此即可.证明 12 因为a 是数列x n 的聚点的充要条件是：存在子列x n 收敛于a ，由此可见x n 的最大聚点，便是x n 的收敛子列极限的最大值.23 令h n =sup x k ，由2必存在子列x n k 收敛于a .k n因为x n k h n k ，于是有a =lim x n lim h

11、n ，k kk k我们说后面的不等式只能取等号. 如若不然，设lim h n k =a a ，k 那么由h n k a ，必n k 1使a -1h n k a +1. 依h n k 的定义，必n k 1n k 1, 使1a -1x n a +1. 由h n k a ，又必n k 2n k 1, 使a -k111h n k a +. 依h n k 的定2222义，必n k 2n k 2, 使a -如此类推，一般地11x n k a +.222由h n k a ，必n k i n k i -1, 使11a -h n k a +.ii i依h n k 的定义，必n k i n k i , 使i11a

12、 -x n k a +.ii i令i +可见a 也是x n 的收敛子列的极限，这就与已知a 是最大的子列极限矛盾，于是只有a =lim h n k .k 又因为h n 递减且有下界，h n 必收敛，从而h n 必与其子列h n k 同极限， 所以a =lim h n =lim sup x k .n n k n34 因为x n 非空且有下界，从而h n 也非空且有下界. 因而h n 的下确2 界存在，记为a =inf h n . 于是有a h n 且0，必N 使h N a +. 又因为h n 递n 1减，故当n N 时，必有h n h N ，从而a -a h n h N a +.可见h n a

13、，但由3已知h n a ，故a =a ， 既是lim h n =inf h n ， n n 1亦即lim sup x k =inf sup x k . n k n n 1k n45 已知a =inf h n =inf sup x k ，由此先证0,必有无穷多个n , 使得 n 1n 1k nx n a -，如若不然，则0,必N ，对n N 有x n a -，取=1，则a -1便是从第n 项起以后的项的上界，于是有h n =sup x k a -1，及inf h n a -1. n 1k n再由已知得a a -1矛盾.今再证至多有有限个n , 使得x n a +. 因为已知a =inf h n

14、，由下确界定义并注n 1意到h n 递减，0,必N ，对n N 有h n a +.而h n =sup x n , x n +1, ，于是当n N 时，对一切自然数都有x n +k h n a +，这意味着大于a +的x n 就至多有有限项.51 由5可知，0,必有无穷多个n , 使x n (a -, a +) ，这意味着a 便是x n 的聚点.今证x n 再无大于a 的聚点，否则，设a 是大于a 的又一聚点. 取a -a , 2 3 即 a +a -， 由所设a 是聚点，必有无穷多个n , 使得x n a -a +,这与已知至多有有限个n 使得x n a +矛盾.至此已证完了一个圈，因此本文所

15、给出的数列上下极限的5种定义是等价的. 既然等价，任取其一作为上极限的定义（记作lim x n =a ）也就未尝不可，而由于n 其优点各异（1、2容易想象，3、4便于运用，5介乎其间），不同的教材侧重于不同的优点，自然就会出现不同形式的定义了.这里只证了一个圈，我们还可证其它的圈，还可写出并证明相应的下极限的等价命题. 同时我们还可以尝试用其它的方法来描述上、下极限的概念. 这样做，不仅可以加深对上、下极限概念的理解，而且对训练自己的发散思维和创造思维能力等都有一定的帮助.对于一般的数列，在此约定1、如果x n 是无上界数列，其上极限为+. 记为lim x n =+n 2、如果x n 是无下界

16、数列，其下极限为-. 记为x n =-n 于是，任一数列的上下极限都存在. 今用部分极限证明如下：1）先证任一数列都有子列极限，因为若x n 无上界，则必有子列以+为极限，若x n 有上界但无下界，则必有子列以-为极限，若x n 上下都有界，并且有无穷多项取同一数值a ，则便是一个常数列的子列极限，若x n 上下有界，但至多只有有限项相同，则由致密性定理知x n 必有收敛的子列存在.2）再证任一数列的子列极限必有一个是最大的，一个是最小的，因为若+是x n 的子列极限，当然它就是最大的，若+不是子列极限，则x n 必有上界. 这时若x n 无有限的子列极限，则由1），所以-x n 必以-为唯一

17、的子列极限，也就是x n 的最大的子列极限（当然也是最小的子列极限）. 若x n 有有限的子列极限，那么这些子列极限的集合A 必有上界，从而有上确界，记为a .今证a A ，若a A ，即a 非子列极限，则0，在a 的领域(a -, a +)中，必只含x n 的有限项.但因a =sup A ，对上述0，必x A ，使a -x a a +，而x A ，表明x 是x n 的子列极限，于是必存在子列x n k 收敛于x ，从而必存在充分大的k 0， 使得k k 0的一切项有x n k (a -, a +)，这就产生矛盾，故只有a A ，这样，a 便是最大的子列极限.同理可证x n 有最小的子列极限.

18、4 3）将2用于2），便得任一数列的上、下极限都存在.二、上、下极限的相关应用 （一）上、下极限的性质性质1 lim x n lim x n ，当且仅当lim x n 存在时取等号.n n n 证明 因为 inf x n sup x n , k n k n从而 liminf limsup x n . n k n n k n此即 lim x n lim x n . n n 下证取等号的条件：当lim x n =lim x n 时，因为n n inf x n x n sup x n , k n k n由迫敛性便知lim x n 存在. n 当lim x n 存在时，设lim x n =a . 若a

19、 +，则0, N , n N 有 n n a -x n a +,从而 a -inf x k sup x n a +. k n k n可见 liminf x k =a =limsup x k . n k n n k n 此即 lim x n =lim x n .n n 若a =+，则M 0, N , n N 有x n M ，从而inf x k M ,sup x k M . k n k n于是 liminf x k =+=limsup x k . n k n n k n 也得 lim x n =lim x n .n n 若a =-，同理可证.总之，当且仅当x n 收敛时，x n =lim x n

20、.n n 性质2 若x n y n (n =1,2, )，则lim x n lim y n ，x n y n . n n n n 5 证明 设lim x n =a ，lim y n =b .n n 假设a b ，取=a -b a -b0，=b +的项有无限多个，则x n 中大于a -=a -22n 由于y n x n (n =1,2, )，故y n 中大于b +的项有无限多个，这与lim y n =b 矛盾. 同理可证lim x n lim y n .n n 性质3（1）若c 0，则lim (cx n )=c lim x n ，lim (cx n )=c x n .n n n n （2）若c

21、0，则(cx n )=c x n ，lim (cx n )=c lim x n .n n n n 证明 仅证c 0的情况. 由确界的定义知inf (cx k )=c sup x k ， sup (cx k )=c inf x kk nk nk nk n令n 即可得证.性质4 lim x n +lim y n (x n +y n )x n +lim y nn n n n n lim (x n +y n )lim x n +lim y n .n n n 式中只要不出现+(-)就成立，并且当x n 与y n 之一收敛时取等号. 证明 仅证明 lim x n +lim y n (x n +y n ).

22、n n n 设lim x n =a ，y n =b ，(x n +y n )=c .n n n 用反证法，假设c a +b ，则根据下极限的定义知，对0=a +b -c0， 2x n +y n 中有无穷多项小于c +0=n n a +b +c. 2另一方面，由于lim x n =a ，y n =b ， 故x n 中至多只有有限项小于a -02，y n 中至多只有有限项小于b -a +b -c， 202，从而x n +y n 中至多只有有限项小于a +b -0=这与前面所述矛盾.所以c a +b ，即lim x n +lim y n (x n +y n ). 证毕.n n n 性质5 若x n

23、0(n =1,2, )，则lim11. =n x x n nn 6 证明 设lim x n =a (a 0). 则0,至多只有有限项小于a -，而有无穷多n 项小于a +. 因此至多只有有限项满足：111=+1， x n a -a而有无穷多项满足：111=-2， x n a +a其中10，20，且由于可以任意小，因而1, 2也可以任意小. 故有lim 111=. 证毕. n x a x n n n 性质6 若x n 0，y n 0(n =1,2, )，则 x n y n (x n y n )x n lim y n lim (x n y n )lim x n lim y n . n n n n

24、n n n n 式中只要不出现0(+)就成立，并且当x n 与y n 之一收敛时取等号. 证明 先证明 lim x n lim y n (x n y n ) n n n （1） 若lim x n =0，则因y n 存在，故M 0，使得n n 0y n M (n =1,2, ). 当lim x n =0，及x n 0，因此0，有无穷多个n ，使得n 0x n M .从而对于这样的无穷多个n ，有0x n y n x n M ， 故lim (x n y n )=0.n （2） 若lim y n =0，则化归为（1）.n （3） 若lim x n =a 0，y n =b 0，n n 用反证法，假设c

25、 ab . 则根据下极限的定义知， 对于0ab -c ，有无穷多个n , 使得7 x n y n c +2ab -2.又因至多只有有限个n , 使得2b 2a从而至多只有有限个n , 使得x n a -以及y n b -，. x n y n a -b -=ab -+4ab 2b 2a （4） 取如此之小使它同时满足则至多只有有限个n , 使得x n y n ab -n n 24ab1， 22，由此得到矛盾，故c ab ，即lim x n y n (x n y n ).n 性质7若x n 为递增数列，则lim x n =lim x n .n n 证明 若x n 有界，则由单调有界定理，极限lim

26、 x n 存在，从而有lim x n =lim x n .n n n 若x n 无界，则lim x n =+，从而对任给正数M ，x n 中大于M 的项有无限多个，n 设x N M ，由x n 的递增性，当n N 时，有x n x N M ，所以lim x n =+.n （二）有关上、下极限的若干命题定理1 若x n 0(n =1,2, )，则2x x n +1 n +1. l i n x n x nn证明 仅证明后一部分. 假设limx n +1=a . 只须证明0a +.n x n因limx n +1x=a ，所以0，N ，使当i N 有i +1a +.n x x i n, , n -2,

27、 n -将1所得的n -N 个不等式相乘得 任取n N ，令i =N , N +1x N +1x N +2x n -1x n n -N(a +).x N x N +1x n -2x n -18 此即 x n x N (a +)-N(a +)n=M (a +)，其中M =x N (a +)n -N.从而令n 取上极限得 a +).a +)=a +.由的任意性得 a .定理2 若x n 0(n =1,2, )，且lim x n limn 1=1，则x n 收敛. n x n证明 根据性质5知：lim11， =n x x n nn 又因lim x n limn 1=1，所以lim x n =x n

28、. 故x n 收敛. n x n n n1+x n +1定理3 若x n 0(n =1,2, )，则lim n -11.n x n 证明 用反证法. 假设此结论不成立，则N ，使当n N 时，有1+x n +1n -11. 这个不等式等价于 x n x x 1n -n +1. n +1n n +1依次取n 为N , N +1, , N +k -1并把所得结果相加，得x x x 111+ +N N +k N . N +1N +2N +k N N +k N1这与调和级数的发散相矛盾.i =1i为证1不能以更大的数代替，设x n =kn (n =1,2, )，则1+x n +11+k， n -1=k

29、 x n 1+x n +1此式对于大的k 可任意靠近1，或者若设x n =n ln n ，则有lim n -1=1.n x n 9 x 1+x n +12定理4 若x n 0(n =1,2, )，则lim e . n x n n证明 不妨设x 1=1. 用反证法. 假设此结论不成立，则N 2，使当n N 时，1+x n +1有 e ，即x n n (1+x n +1).x n n依次取n 为N , N +1, , N +k -1得：x N N (1+x N +1), x N +1(N +1)(1+x N +2), x N +k -1(N +k -1)(1+x N +k ). 因此有22x N

30、N 1+N +11+x N N 1+x ()()()N +2N +21+(N +2)(1+x N +3)N 3(1+x N +3)N k (1+x N +k )N k .注意到k 为任意正整数，N 2，这与x N 是有限数相矛盾. 证毕.定理5 设满足条件：0x n +m x n +x m ，证明lim 证明 因为0x n x n -1+x 1 nx 1，可见0上、下极限必都是有限数. 下证它们相等即可.为此固定m ，并定义x 0=0，当n 充分大时，由已知有x n存在. n nx n x x 1，即n 有界，从而其n n x n =x q +q x m +(x 0r r ), m m r即

31、0x n x m qm x r=+. n m qm +r qm +rx x x r qm+从而 0s u k m .m qm +r qm +r k n k令n ，这时q ，于是得0limx n x m. n n m再让m 并对右端取下极限得 x x m x n=m l i n .n n n m n n 10 所以lim x n 存在. n nn 定理62 若数列x n 有界且lim(x n +1-x n ) =0. 则此数列的聚点之集合是区间l , L ，其中l =lim x n ，L =lim x n .n n 证明 因为数列x n 有界，故由聚点定理知，此数列至少有一个聚点. 设l 为最小

32、聚点，L 为最大聚点.若l =L ，则此命题不证自明，故设l L ，a (l , L ) . 由于lim(x n +1-x n ) =0，n 故0，N ，使当n N 时，有|x n +1-x n |2，即当n 充分大时，数列x n 之相邻两项的距离小于2. 由于lim x n =l ，故必存在n 1N ，使x n 1落在l 的邻域内. n 又因lim x n =L ，故必存在n 2N ，使x n 2落在L 的邻域内. 不妨设n 1n 2，且 n x n 1a -a +x n 2.所要证明的就是存在n 3(n 1n 3n 2) ，使a -x n 3a +.今若x n 1+1, x n 1+2,

33、, x n 2-1无一落在a 的邻域内，则因x n 1a -，而x n 2a +， 不妨设x n 1+1, x n 1+2, , x n 2中第一个大于a +的为x n 1+p ， 即 x n 1+p -1a -a +x n 1+p . 从而 |x n 1+p -x n 1+p -1|2， 由此得出矛盾. 故x n 3落在a 的邻域内，此即a 为x n 的聚点. 证毕.注 若数列x n 无下界，则x n =-；n 若数列x n 无上界，则lim x n =+. n 定理7 证明柯西收敛准则（充分性）证明 由已知，0，N ，n , m N ，有|x n -x m |. 固定m 得x m -x n

34、 x m +.11 x 从而有 x m -i n f x k x n s u p k k n k n x +m .x k -i n x k f . 2因而 s u pk n k n令n 得 l i m x n l i x m 2n +. n n 为进一步理解上极限的含意，特作如下对比：lim x n =a ，即是0,N ，n N ，有a -x n a +. n lim x n =a ，即是0,N ，n N ，有x n a +, N , n N , 使n x n a -.可见后者不同之处是：x n 不必满足a 的双侧邻域(a -, a +)，它从第N +1项起可以而且只可以溢出(a -, a +

35、)的左端，但又不能全部溢出左端，在(a -, a +)中仍需含有无穷项，这样a 就必是x n 的最大聚点，从而必有子列收敛于a ，使a 为最大子列极限.类似地可以对比函数极限与函数的上极限，从而发现它们的不同之处. 还可将函数的上极限与函数的右极限对比，从而可见所谓“右”不过是对自变量x 而言，所谓“上”不过是对因变量即函数值而言. （三）上下极限在极限教学中的作用 1. 上下极限在极限运算中的作用s +s + +s n =s . 例1 已知lim s n =s ，求证lim 01n n n +1这个题被用作加深学生对极限概念的理解, 常见学生犯以下错误：由于对任一0，存在常数N ，当k N

36、时，有s -s k s +，所以s 0+s 1+ +s N n -N s +s + +s n + (s -) 01n +1n +1n +1s +s + +s N n -N + 01(s +) (1) n +1n +1令n ，得到s 0+s 1+ +s n (s +). (s -)lim n n +1再由的任意性得到 s +s + +s n s . lim 01n n +1s +s + +s n 错误是预先认定了极限lim 01的存在. n n +112 这里如应用上、下极限，就可绕开极限是否存在这个问题.正确的做法是：由（1），令n ，得到s 0+s 1+ +s n s 0+s 1+ +s n

37、 lim s -(s +). ()n n n +1n +1再由的任意性得到s +s + +s n s +s + +s n 01=lim 01=s . n n n +1n +1s +s + +s n =s . 于是推得 lim 01n n +1类似上述过程，不少书中直接写为：“令n ，（1）式的左右两边分别趋于s -和s +. ”由于的任意性可得s +s + +s n lim 01=s . n n +1学生如无上、下极限的知识，就可能误解为前面指出过的错误过程. 2. 上、下极限在数列与级数论中的作用一个数列收敛，说明数列中的项，当n 充分大时有大致相差不多的大小. 一个发散数列是没有这个性质的

38、. 上下极限正好用来补充说明一个发散数列，当n 充分大时，数列中的项大致的变化幅度. 这一点在不少问题中很有用处. 例如，一般分析教科书中均提到当极限 = （8）存在时， n 幂级数a n z n （9）的收敛半径就是.n =0这反映了幂级数的收敛半径是由其系数a n 的绝对值大小来决定的. 而实际上，幂级数的收敛半径只由其绝对值最大的那一部分系数决定，即幂级数（9）式的收敛半径等于R =|a n |-n (10)n 事实上，设（9）式收敛，则当n 充分大时可有|a n Z n |1.亦即 |z |a |n -n .令n ，就得到|z |R ，所以收敛半径不超过R .另一方面，由下极限的定义，

39、对充分大的n , 可有|a n |-n R -.13 亦即 |a n |(R -).于是当幂级数（9）式收敛时，所以（9）式的收敛半径是R .-n结 论目前，一些教科书和数学杂志上面对上、下极限的研究还不深入，需要探究和解决的问题还很多. 为了充分的运用上、下极限的相关知识，这就需要我们多角度、全方位的对其探讨. 总之，在数学分析课程中引入上、下极限的相关知识是非常必要的. 不仅可以提高学生对极限的理解，以及相关的解题能力，而且上、下极限的概念在许多后继课程中也起着很大作用. 例如：实变函数中大家所熟知的，关于Lebesgue 积分有三大收敛定理，其中Faton 引理的表述就用到了下极限的概念

40、，如果学生没有学习过有关下极限的知识，那么，学生在理解这个定理时就会感到困难. 所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的，它所起的作用是不可替代的. 参考文献：1美G. 克莱鲍尔. 数学分析M.上海：科学技术出版社,1983：50-52.2裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社,2001：51-64.3许万银. 数列上、下极限的五种定义及其等价性J.庆阳师专学报,1990,(1)：85-87.4华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第三版）M.北京：高等教育出版社,2001：172-176.5高等师范院校数学分析教学大纲M.北京：人民教育出版社,1980.6.6陈传璋, 等. 数学分析M.北京：高等教育出版社,1983.5.7郑维行, 王声望. 实变函数与泛函分析概要M.北京：高等教育出版社,1989.1.8叶常青. 数列上、下极限的新定义及其应用J.漳州师院学报,1996：48-52. 14 15百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆 33