中点模型的构造、等积模型

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1、可编辑版几何综合题型一：中点模型的构造中点模型中线点：倍长类中线两中点：中位线等腰三角形底边中点：三线合一直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出,此时需要挖掘题目中隐含的中点条件,并适时添加辅助线典题精练【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,点M为边AD的中点,过点C作AB的垂线交AB于点E,若EMD = 3MEA求证：BC=2AB解析证法一：如右图a,延长EM交CD的长线于点,连结CMABCD,MED =MEA 又AM = DM ,AME =DMEAFMEM =ABCD,CEAB,ECCDCM是Rt斜边的中线,=MC,EMC=

2、2=2AEM EMD=3MEA,CMD=DCM,MD=CD AD = 2DM,AB=CD ,AD=BC,BC=2AB 证法二：如右图,过点M作交BC于,过点作交AB的延长线于点,连接点是的中点,点是RtEBC斜边BC的中点,EMD = 3MEA,BC = 2AB【例2】 如图所示,分别以ABC的边AB、AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点, 求证：AMEG ； 求证：EG=2AM解析 如图所示,延长AM到N,使MN= AM,延长MA交EG于点P,连接BN、NCBM = CM,四边形ABNC是平行四边形BN = AC = AGEAG +BAC = ,ABN +

3、BAC = ,EAG =ABNAE = AB,EAGABNAEG =BAN又EAB = ,EAP +BAN = AEP +EAP = MAEG 证明：EAGABN,EG = AN = 2AM题型二：平移及等积变换典题精练【例3】 已知：如图,正方形ABCD中,E是AB上一点,FGDE于点H 求证：FG = DE 求证：FD + BG解析延长GC到点P,使得GP = DF,连接EP,DPDFGP,GP = DF四边形DFGP为平行四边形FG = DP,FGDP又FGDE,DPDEADE =CDP在ADE和CDP中ADECDPDE = DP = FG 由知道DEP为等腰直角三角形在EGP中,EG

4、+ DF = EG + GPPE = FG当EGFD时,取到等号【例4】 如下图,过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH,若PBD的面积为8平方分米,求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？解析根据差不变原理,要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差,相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差如右图,连接CP、AP可得：所以而,所以题型三：旋转典题精练【例5】 已知ABC和ADE都是等腰直角三角形,ABC=ADE=90,点M是CE的中点,连接BM.如图,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与B

5、M的数量关系为如图,点D不在AB上,中的结论还成立吗？如果成立,请证明；如果不成立,说明理由 解析BD = 结论成立,证明：连接DM,过点C作CFED,与DM的延长线交于点F,连接BF,可证得MDEMFC,DM = FM,DE = FC,AD = ED = FC,作ANEC于点N,由已知ADE =90,ABC=90,可证得1 =2,3 =4,CFED,1 =FCM,BCF=4 +FCM = 3 +1=3 +2 =BAD.BCFBAD,BF = BD,5 =6,DBF =5 +ABF=6 +ABF =ABC = 90,DBF是等腰三角形,点M是DF的中点,则BMD是等腰三角形,BD=【例6】 已

6、知正方形,在边上取一点,作交的外角平分线于,求证：【解析】 法一：如图,连接,过作,交于,又为等腰直角三角形,又,故法二：如图,过作,交的延长线于,连接,则,而,又,有,法三：在AB上截取BN=BE,证明即可；思维拓展训练训练1. 如图所示 ,等腰梯形ABCD中,ABCD,AD = BC,AC与BD交于点O,AOB=,P、Q、R分别是OA、OB、OC的中点,求证：PQR是正三角形解析证明：如右图,连接BP、CR四边形ABCD是等腰梯形,AD = BC,OA = OB,OC = ODAOB = 60,AOB、COD都是正三角形P是OA的中点,R是OD的中点,BPOA,CRODPR是ODA的中位线

7、,PR = PR = PQ = QRPQR是正三角形训练2. 如图,四边形中,若,则必然等于请运用结论证明下述问题：如图,在平行四边形中取一点,使得,求证：分析此题为信息题,难点在于如何理解已知条件,经观察我们发现,若和,位置为时可得出和相等本质为四点共圆图中,与关系并不像条件所示,因此,需要改变角位置,而这点可以通过构造平行四边形来解决而构造平行四边形,恰可以达到改变角位置作用,为使与成形,我们可有如下四种方法解析分别过点、作,交于点,连接,四边形为平行四边形 在四边形中, 5不动移6 5,6不移动 5,6不移动训练3. 已知：在ABC中,BC = a,AC = b,以AB为边作等边三角形A

8、BD探究下列问题： 如图,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a = b = 3,且ACB =60,则CD = _； 如图,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a = b = 6,且ACB =90,则CD = _； 如图,当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的ACB的度数解析； 如图d,以点D为中心,将DBC逆时针旋转60,则点B落在点A,点C落在点E,连接AE、CE、DECD = ED,CDE = 60CDE为等边三角形CE = CD当点E、A、C不在一条直线上时,有CD = CE AE + AC = a + b；如图,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD = CE = a + b；此时CED =BCD =ECD =60,ACB =120因此当ACB =120时,CD有最大值是a + b5 / 5