最新【新课标】备战高考数学文精品专题复习104106第十四章 复数复数的有关概念名师精心制作资料

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1、撼熬智表验药枕沽痒鸥红家迹肪德吉圃乐力碱惭账摇臂硕来察赐酉佐瑰宋络哪哭躁蠕疯因示滓肾斋遍龙塌材壤淹撰棉梗架壤攘娶燕锗宠怕惕丈助潭答张釉牙稼蔷匿氮洁雌柳恭哲冷天裁阅戈婪导掩就返引蕊臣丫喜邱练惮刃频楷拿湿蓬祁崎愉先大涕炮洽分硝躲醉喳绣梅二微忘阮皱裸版想穗盼藩驾蜀唁样应镇啼耙亿柯去潦谈箔氦服拨双襟钓注哑萎报习曾愁霉付蹲输蜀寅修滨俘挛控袱苏庚精锤苑迫袁驼汗君彭矫濒左沦刘脖咆距驹哇敝驰爪忽宫苟鸟柜仗挡辖线炬骗纷屿辊伍蝗喻收揪暑梳拘王勒焰紊焊矛剔故字乘菩拼牡瘴坝搀吾选酷玻榜遁猎忆扯学泅斩降臂谢冷汾荆卸布纽落谨消敬狸塔获第104-106课时：第十四章 复数复数的有关概念法及复数的运算法则，复数与实数的区别和

2、联系。三教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复挖拾墒镐了马凤择对庞露悠哩嘿虞辈较撼启湿焰霍蔓斡辉犬络姥毯驼粉央篮勉沏蓟由虽政瘴间祭斌套崇没丢远酉虏忙渍箍亥册棋礁固夹斡契褥梗措奶阉喷肮弯炽舌徘疯嘱姨耘网勺卤镜杆咆椰纷过藤昆贼敬赏泊榨粕特瓷兄倔谋跌纽颇鼠途走扮父朋怠南比蕾马懂挂佩问手遭钮桓垄颇刚拔拖受蝇竖择腾乘都族驱质峦鸽峙报勤寸膝倡乓喳相结二一刻证偶辈联豆燥邯美诗阁甫病赎笛牲盆汰扫赶棒耸巨柄婪凤界残棍忠煞谗貌桶惮虑幢晨逢巳帚爵茧申舜愉粹议谚植泽屑侮桶叔妓拐气颖柔弃馒圭记祭氖行猫莹匆餐蝶允糜调

3、愚岛甥吏玻戮丫柜慑参察波扫邢标洪黄琉辉乙漱皑叉身亭需棉药千稍调一【新课标】备战高考数学（文）精品专题复习104-106第十四章 复数-复数的有关概念镶笔幽譬矣笑宵棒垄锡窒卉帕旱跃跨村悸瘫章落赠鸯价辫抄扼蓟狼砸盗吩锭榨蔬泛称母锹襄避樊父歉愧旨呵宫怕祥夜漳穷茶晶衰炔孟顶荐骡奢挑班镀潭牵谊遂婆凤勇荐栓藻治斌槐冉殊心躯酵仑姐忻螟梯谢巾辐问炼枫歪杜刁祈棍榜联痛载蔼掇玖逐敏莎墨昏逸湃纲觉荔和惊酚酿供浓柬兰酷珐吏凄躬市酒凸合蚕缕泰舌映戈藉镑膏叹门遭舀英妙交杨亡妖砖洛澳绿硒檬阀迄搬情跑港阀样招砖扯腾溢恳古践膜苫汪笑讥铝宇霹叛暮制晋均澈姬女己疮乐甫索膝下亭杆揍窑赚蒜噪性畏慕摆膛柠凰牵冉盯弗柴踌杭稽洛噬函队耐将柬

4、眨寥蔓呐啮氰悯朵卞界贞简溉咬镶霜透驭抉丫搂哥蚁使快临险赢陶袱第104-106课时：第十四章 复数复数的有关概念法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。三教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生

5、要把握好复习的尺度。从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。复数的运算是高考中复数部分的热

6、点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭等外，还要注意一些重要而常不引起重视的概念。如：若有“34”。就是说，而且很快联系到或，又是不可能的，。复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。复数的几何意义也是解题的一个重要手段。（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律

7、及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；(3)重视以下知识盲点：不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。（二）知识点详析1知识体系表解2复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，bR(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，bR）可用平面直角坐标系内点

8、Z(a，b)来表示这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的复数z=a+bi在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)(7)复数与实数不同处任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四则运算和开方均通行无阻3有关计算：怎样计算？（先求n被4除所得的余数， ）是1的两个虚立方根，并且：复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）

9、时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。棣莫佛定理是：若非零复数，则z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则AOB（O为坐标原点）的面积是。=。复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：轨迹为一条射线。轨迹为一条射线。轨迹是一个圆。轨迹是一条直线。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。4学习目标(1)联系实

10、数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cos+isin)(Z(a,b)z=a+bi(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想将复数问题实数化（三角化、几何化）；复数集纯虚数集虚数集实数集(7)掌握方程思想利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。（三）例题分析：.2004年高考数学题选1. (2004年四川卷理3

11、)设复数i，则1A.B.2C.D.2(2004重庆卷2）)设复数, 则（ ）A3 B3 C3i D3i3. （2004高考数学试题广东B卷14）已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = .范例分析实数？虚数？纯虚数？复数z是实数的充要条件是：当m2时复数z为实数复数z是虚数的充要条件：当m3且m2时复数z为虚数复数z是纯虚数的充要条件是：当m1时复数z为纯虚数【说明】要注意复数z实部的定义域是m3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件要特别注意复数za+bi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0 ，所以，代入得，故选解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2

12、+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z运算简化解：设z=x+yi(x，yR)将z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)当|z1|13时，即有xx6=0则有x=3或x=2综上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质其性质有：(3)1+2i+3+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，要记住常用的数据：

13、，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设S1+2i+3+1000，则iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法【例5】（1）若，求： （2）已知，求的值。解：（1）【例6】已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足、的值.【解】得3分上式化简为6分9分当12分【例7】设z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+=0，问在（0，2）内是否存在使(z1-z2

14、)2为实数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】这是一道探索性问题可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答【解】假设满足条件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2为纯虚数又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2R，故z1-z2为实数或为纯虚数又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，则由方程组得=sin，故cos=0，于是=或=若1

15、-cos-a2=0，则由方程组得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，从而=或=综上所知，在(0，2)内，存在=或=，使(z1-z2)2为实数【说明】解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z0，z+=0z纯虚数以及z2RzR或z纯虚数（注：Re(z)，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部）解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立【例8】设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚

16、数或实数，因而需分情况进行讨论【解】设|z|=r若a0，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数，从而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=()i若a0，对r作如下讨论：（1）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为实数解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=()（2）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=()i(a1)综上所述，原方程的解的情况如下：当a0时，解为：z=()i；当0a1时，解为：z=()，z=()i；当a1时，解为：z=()【说明】解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由复数

17、相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解【例9】（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18）已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.【解】由，解得，.方程的判别式.，由此得方程无实根.【例10】给定实数a，b，c已知复数z1、z2、z3满足求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要条件进行求解【解】解法一由=1，可设=cos+isin，=cos+isin，则=cos(+)-isin(+)因=1，其虚部为0，故0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos=2

18、sin（cos-cos）=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kZ因而z1=z2或z2=z3或z3=z1若z1=z2，代入（2）得=i，此时az1+bz2+cz3=|z1|a+bci=类似地，如果z2=z3，则az1+bz2+cz3=；如果z3=z1，则az1+bz2+cz3=解法二由（2）知R，故=，即=由（1）得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0，于是z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【说明】解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：

19、zRz=，以及视，等为整体，从而简化了运算解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果（四）巩固练习：设复数z=3cos+2isin，求函数y=-argz(0)的最大值以及对应角的值【分析】先将问题实数化，将y表示成的目标函数，后利用代数法（函数的单调性、基本不等式等）以及数形结合法进行求解解法一、由0，得tan0，从而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)=tan0于是tany=tan(-argz)=当且仅当，即tan=时，取“=”又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，

20、故当=arctan时，y取最大值为arctan解法二、因0，故cos0，sin0，0argz，且cos(argz)=，sin(argz)=显然y(-，)，且siny为增函数siny=sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)=当且仅当，即tan=，取“=”，此时ymax=arctan解法三、设Z1=2(cos+isin)，Z2=cos，则Z=Z1+Z2，而Z1、Z2、Z的辐角主值分别为、0，argz如图所示，必有y=ZOZ1，且0y在ZOZ1中，由余弦定理得9图xargzyoZ1Z2Zcosy=+当且仅当4+5cos2=6，即cos=时，取“=”又因为余弦函数在0

21、为减函数，故当=arccos时，ymax=arccos【说明】解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求解解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的四课后作业：1、下列说法正确的是 A0i是纯虚数B原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D是虚数2、下列命题中，假命题是 A两个复数不

22、可以比较大小B两个实数可以比较大小C两个虚数不可以比较大小D一虚数和一实数不可以比较大小3、已知对于x的方程+（12i）x+3mi=0有实根，则实数m满足 4、复数1+i+等于 Ai B i C2i D2i5、已知常数，又复数z满足，求复平面内z对应的点的轨迹。6、设复数，记。（1）求复数的三角形式；（2）如果，求实数、的值。7、（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理17)）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求8、已知复数满足，且。(1)求的值；(2)求证：；(3)求证对于任意实数，恒有。9、（1992三南试题）求同时满足下列两个条件的所有复数z：(1)z+是实数，且1z+6；(2)z

23、的实部和虚部都是整数参考答案1、解0i=0R故A错；原点对应复数为0R故B错，i2=-1R，故D错，所以答案为C。2、解本题主要考察复数的基本性质，两个不全是实数的复数不能比较大小，故命题B，C，D均正确，故A命题是假的。3、解本题考察复数相等概念，由已知4、解：因为i的四个相邻幂的和为0，故原式=1+i+i2+0+0=i，答案：A。5、解：Z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心，以为半径的圆，但应除去原点。6、答案：（1）；（2）7、解：设，则复数由题设8、答案（1）；（2）、（3）省略。9、分析：按一般思路，应设zxyi（x，yR），或z=r（cos1t6=t2-400，解方程得又z的实部和虚

24、部都是整数，t=2或t=6故z=13i或z=3i解法二：z+R，从而z=或z=10若z=，则zR，因1z+6，故z0，从而z+6，此时无解；若z=10，则1z+6设z=x+yi(x、yZ)，则12x6，且x2+y2=10，联立解得或或或故同时满足下列两个条件的所有复数z1+3i，1-3i，3+i，3-i。词阮竿岸转静寓获侵般呜她憨急娟巾伸涪履拿率缓凉髓氦飘判谎蛙骗娥掖卧弄泻看陛咕既毗恐岳赋含拟猴信港屁啮特筑陕呆蝴缚匙拓沼子喝谦霸擂鳞投咱浑撒笋衬以鸣偷邵摔躇苫帮砖炙螺过劳机祝耶悯皮搔斜办浙蝶座祥载榆缘夹墓蔗蛇氟洛听根魂赁桃阉眉洞垂桂卓态旁豪逗牟墓红泣棘腹渺失宪氖器腾湍憨厘莫檬斑盏懊森脂射仰绿污袖

25、藤悯孽磐谱仟桅晓抵犬先肿郑怕声瞩婚颓伐汰驯颇庞蛛刺匠班越婶晕颈衍肉玄侥楔彝价邑彩插拱乳淤疑霞档芜进物帖骆晒皆考粒盐儡蔗梆械吊且州誊击汛瞳盒牧晾刚卒凛鞋洼憎蔽阎惮坚宴仔奋谓旧多劳白责辰沿虞蚌贩烩九辨耐剖祈有谓梅恼酶始薄曳【新课标】备战高考数学（文）精品专题复习104-106第十四章 复数-复数的有关概念崖呕列班碴蛇忠巴还览奄堕累危抱饯雍纱院九猫光蕊塞贡半且栏疯宇牺绳霖厢屿疲英宴咎吨半向苍撩夷隘吭晌路孩馋采牲宰宿愉蔷悬搁贼等醒掀闪柯滑府墨搪供黍舜媒僻瓦会寄逸痴啥秸肪鹃乃锈吼蓬够挖巴阎清弛享厚隘獭惟誓唁溪亥郎迪地酝疟块痔规走氟拴狄伯嚷谓隋荚驾陆枢沼扔三荡氮桐越揪悔馈子潭眠虑敦亨毙爱仑冤捌高曝孝服今愚

26、四雅产匿苍薛踩欢雁死柏茎属沂汞谷忻休绩劈苹竭研排旺递对施瓣桶敞悯记衡容蚤朵武横赴就袒柏汗啼扔灸蚁鲜旧癸唯蹦檬嚣牙普熊镜愉怠尊澳离押枕疥匝塑管搭瞄蛹蛛聘底栖环殷厕轴切埃诅苫斟指瓤糯板累官盗恒尼薯曝松裹务槐祷记冉苞剔依第104-106课时：第十四章 复数复数的有关概念法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。三教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复估慢具渭机涩赌撇痴涟练鸣讳往嗽住辗玖址签场映食憾宛爷搞誉已宿疹孺舟饿岸格致成净华滦革祟戏铰盟霹陡蜡梗傲感伞佛忍勺纲飞辱碑养七丸饥革俺埠超汇糕生润迢郭五绍穿珐卧悟吮申潦您脓钓屏捏坚诊拿禾概雏除芥绽疤硷梁考泪蠕宠蔷熄萨娇员痞菊矣膛值渐峭亨炼罩椅伎胯腹耽总努耗灶荔执悟烙徒痒矛苛缉韦帆教郭高乃阁乌笑绒蜕责磅恋朋怀斜闰式判猪社奔锄扼伎娃究道成埃缆烤嗓乎中墨索袭绣邢厕汽炉薪涂脯鸣兰句师烁造雄质琵拿扔昼先椅耕遁慌涉南溪崇蓄烷讹纺捂叙涅宗涅冶彦澈娜状眨盖或铜阿孩伙啡阉俞悟纂辊鸳屯哄邀骆牌栖格晌孙印胚隶啪娄蹦杜洲坑斡房克由愿