专题-抛物线与圆综合探究题(含答案)

《专题-抛物线与圆综合探究题(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题-抛物线与圆综合探究题(含答案)（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、可编辑版专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题,综合性强,难度较大,通常都作为压轴题,解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能,求解时注意运用有关性质,进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线交轴于、两点,交轴于点,已知抛物线的对称轴为, 1求二次函数的解析式；2在抛物线对称轴上是否存在一点,使点到、两点距离之差最大？若存在,求出点坐标；若不存在,请说明理由；3平行于轴的一条直线交抛物线于两点,若以为直径的圆恰好与轴相切,求此圆的半径解：1将代入,得将,代入,得是对称轴,因此,可得,二次函数得解析式是2与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点点的坐标为,点的坐标为,直

2、线的解析式是,又对称轴为,点的坐标3设、,所求圆的半径为r,则 ,对称轴为,。 由得：。 将代入解析式,得。整理得：由于圆与x轴相切,即有 r=y。 当时,解得,舍去；当时,解得,舍去所以圆的半径是或例2、已知：在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A,抛物线经过O、A两点。 1试用含a的代数式表示b； 2设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在D内,它所在的圆恰与OD相切,求D半径的长及抛物线的解析式； 3设点B是满足2中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得？

3、若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由。1解法一： 一次函数的图象与x轴交于点A,点A的坐标为4,0。 又抛物线经过O、A两点,解法二：一次函数的图象与x轴交于点A,点A的坐标为4,0。又抛物线经过O、A两点,抛物线的对称轴为直线, b = 4a 。2解：由抛物线的对称性可知,DODA,点O在D上,且DOADAO。又由1知抛物线的解析式为点D的坐标为当时,如图1,设D被x轴分得的劣弧为,它沿x轴翻折后所得劣弧为,显然所在的圆与D关于x轴对称,设它的圆心为D。点D与点D也关于x轴对称, 点O在D上,且OD与D相切,点O为切点,DOOD DOADOA45ADO为等腰直角三角形点D的纵坐标为抛

4、物线的解析式为；当时,同理可得：,抛物线的解析式为；综上,D半径的长为,抛物线的解析式为或。3解：抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得。设点P的坐标为x,y,且y0。当点P在抛物线上时如图2,点B是D的优弧上的一点过点P作PEx轴于点E 由解得：舍去点P的坐标为；当点P在抛物线上时如图3 同理可得,。由解得：舍去点P的坐标为；综上,存在满足条件的点P,点P的坐标为或。注意：动点B的变化不影响OBA的大小。例3、如图,在直角坐标系中,C过原点O,交x轴于点A2,0,交y轴于点B0,。 1求圆心的坐标； 2抛物线yax2bxc过O、A两点,且顶点在正比例函数yx的图象上,求抛物线的解析式； 3过

5、圆心C作平行于x轴的直线DE,交C于D、E两点,试判断D、E两点是否在2中的抛物线上； 4若2中的抛物线上存在点Px0,y0,满足APB为钝角,求x0的取值范围。解：1C经过原点O, AB为C的直径。 C为AB的中点。ABCDEFOHxy过点C作CH垂直x轴于点H,则有CHOB,OHOA1。圆心C的坐标为1,。2抛物线过O、A两点,抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线yx上, 顶点坐标为1,把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc,得解得抛物线的解析式为。 3OA2,OB2,.即C的半径r2。D3,E1,代入检验,知点D、E均在抛物线上。4AB为直径,当抛物线上的点P在C的内部时,满足

6、APB为钝角。1x00或2x03。例4、如图,已知抛物线的顶点坐标为M,且经过点N,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C。 1求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； 2若直线y=kx+t经过C、M两点,且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形； 3点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索：在x轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由。解：1由抛物线的顶点是M1,4,设解析式为 ,又抛物线经过点N2,3,所以 解得a1。 所以所求抛物线的解析式为y令y0,得解得：得A1,0, B3,0；令x0,得y3,

7、所以 C0,3。2直线y=kx+t经过C、M两点,所以即k1,t3。 直线解析式为yx3. 令y0,得x3,故D3,0,CD 。 连接AN,过N做x轴的垂线,垂足为F. 设过A、N两点的直线的解析式为ymxn, 则解得m1,n1, 所以过A、N两点的直线的解析式为yx1。所以DCAN. 在RtANF中,AN3,NF3,所以AN 所以DCAN。 因此四边形CDAN是平行四边形。另：也可以证明 CNAD。3假设在x轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,设P1,u 其中u0,则PA是圆的半径,且过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQPA时以P为圆心的圆与直线CD相

8、切。由第2小题易得：MDE为等腰直角三角形,故PQM也是等腰直角三角形, 由P1,u得PEu, PM|4-u|, PQ由得方程：,解得,舍去负值u ,符合题意的u,所以,满足题意的点P存在,其坐标为1,。例5、已知：如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,ACB90, 1求m的值及抛物线顶点坐标； 2过A、B、C的三点的M交y轴于另一点D,连结DM并延长交M于点E,过E点的M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式； 3在条件2下,设P为上的动点P不与C、D重合,连结PA交y轴于点H,问是否存在一个常数k,始终满足AHAPk,如果存在,请写出求解过程；如果不存在,请说明理

9、由.解：1由抛物线可知,点C的坐标为0,m,且m0.设Ax1,0,Bx2,0.则有x1x23m；又OC是RtABC的斜边上的高,AOCCOB,即x1x2m2m23m,解得m0或m3,而m0,故只能取m3。 这时,因此,抛物线的顶点坐标为,4。另外,由ACBC,也可以用AC2BC2 = AB2来求m。2解法一：由已知可得：M,0,A,0,B3,0,C0,3,D0, 3抛物线的对称轴是x,也是M的对称轴,连结CE,DE是M的直径,DCE90,直线x,垂直平分CE,E点的坐标为2,3。,AOCDOM90,ACOMDO30,ACDE；ACCB,CBDE又FGDE,FGCB；由B3,0、C0,3两点的坐

10、标易求直线CB的解析式为：y3可设直线FG的解析式为yn,把2,3代入求得n5故直线FG的解析式为y5解法二：由抛物线解析式可求得：A,0,B,0,D0,3,M,则有E2,3。再由AO、CO、MO、DO的长度可得：AC0 = MDO = 30,结合DE = 4,DEFG可得：DG = 8,G点坐标为0,5。OG = 5,OF = OG = 5,F点的坐标为5,0,再由E、G两点坐标可得直线FG的解析式为y5。自解3解法一：存在常数k12,满足AHAP12连结CP由垂径定理可知,PACH或利用PABCACO又CAHPAC,ACHAPC,即AC2AHAP在RtAOC中,AC2AO2OC223212

11、或利用AC2AOAB412,AHAP12。解法二：存在常数k12,满足AHAP12设AHx,APy由相交弦定理得HDHCAHHP即,化简得：xy12,即AHAP12。例6、抛物线交x轴于点A、B3,0,交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的M恰好过点C.求顶点D的坐标 ；求抛物线的解析式； 抛物线上是否存在点P使PBD为直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由.解：1方法一由题意：设抛物线的解析式为点C0,3a,D1,4a；方法二由题意：,解得下同方法一2方法一过点D作DEy轴于点E,易证DECCOB,又故抛物线的解析式为：方法二过点D作DEy轴于点E,过M作MGy轴于点G,设M

12、交x轴于另一点H,交y轴于另一点F,可先证四边形OHDE为矩形,则OHDE1,再证OFCEa,由OHOBOFOC得：, 下同法一方法三用勾股定理,CD2CB2 = BD2,也可得a2 = 1. 自解3符合条件的点P存在,共3个：若BPD90,P点与C点重合,则P10,3P1表示第一个P点,下同若DBP90,过点P2作P2Rx轴于点R,设点P2,由BP2RDBH得,即,解得或舍去,故若BDP90,设DP3的延长线交y轴于点N,可证EDN HDB,求得EN,N0,求得DN的解析式为求抛物线与直线DN的交点得P3,综上所述：符合条件的点P为0,3、。例7、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于不同

13、的两点A和B4,0,与y轴交于点C0,8,其对称轴为x=1. 求此抛物线的解析式； 过A、B、C三点作O与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直垂足为E的直线OE的方程； 设O与抛物线的另一个交点为P,直线OE与直线BC的交点为Q,直线x=m与抛物线的交点为R,直线x=m与直线OE的交点为S。是否存在整数m,使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由。解：由已知,有解得抛物线的解析式是 y=-x2+2x+8. 2令y=0,得方程-x2+2x+80,解得x1=-2,x2=4. 点A的坐标为.在O中,由相交弦定理,得|OA|OB|=|OC

14、|OD|, 即24=8|OD|,|OD|=1. 点D在y轴的负半轴上,点D的坐标为. 在RtAOD中,|OA|=2,|OD|=1,OEAD,由勾股定理,有AD=. 又|OA|OD|=|AD|OE|,|OE|=. |OA|2=|AE|AD|,即22=|AE|,|AE|=.同理,由|OD|2=|DE|AD|,得|DE|=.设点E,且x0,y0. 在RtAOE中,|AE|OE|=|y|OA|, |y|=,y=-. 在RtDOE中,|DE|OE|=|x|OD|,|x|=,x=-.点E的坐标是. 设直线OE的方程为y=kx . 直线OE经过点E,-=-k,k=2. 直线OE的方程为y=2x. 在O中,对

15、称轴x=1垂直平分弦AB,由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O.C,由对称当得点P的坐标为.设直线BC的方程为y=kx+b . 则有 解得直线BC的方程为y=-2x+8. 联立方程组 解得点Q的坐标为. 点P,点Q, PQRS因此,只有一种情况. 设点R的坐标为,点S的坐标的. 要使四边形PQRS为平行四边形,已知PQRS,尚需条件|RS|=|PQ|. 由|-2m|=|8-4|=4, 得|-m2+8|=4,解得m=2,或m=.而m=2, 不合题意,应舍去. 存在整数m=-2,使得以P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形. 例8、如图3,已知抛物线,经过点A和点B3,2 1求抛物线的解析式：

16、2现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,问P在运动过程中,是否存在P与坐标轴相切的情况？若存在,请求出圆心P的坐标：若不存在,请说明理由；3若Q的半径为r,点Q 在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值解：1由题意,得；抛物线的解析式为2当P在运动过程中,存在P与坐标轴相切的情况设点P坐标为,则有：当P与y轴相切时,有|x0|=1,x0=1由,得, 由,得当P与x轴相切时有抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方由,得,解得y0=2,P3. 综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为：3设点Q坐标为,则当Q与两条坐标轴都相切时,有y=由y=x得,解得；由,得,此方程无解；O的半径为。例9

17、、已知：如图,抛物线的图象与轴分别交于两点,与轴交于点,M经过原点及点,点是劣弧上一动点点与不重合1求抛物线的顶点的坐标；2求M的面积；3连交于点,延长至,使,试探究当点运动到何处时,直线与M相切,并请说明理由解：1抛物线,的坐标为。2连；M过,为M的直径可求得A点坐标为3,0,B点坐标为1, 0, AC = 2, 。3当点运动到的中点时,直线与M相切。理由：在中,点是的中点, = ,。在中,为等边三角形。,又为直径, GA与M相切。综上,当为的中点时,是M的切线。3正面推：可得A3, 0,B1, 0,C,0,易得CAO = BCO = 30, BCAC. 又GA与M相切,GAAC,GAC =

18、 90,且GABC,因此,怎么推？例10、如图,在平面直角坐标系中,已知点,以为边在轴下方作正方形,点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点,连结与相交于点1求证：；2设直线是的边的垂直平分线,且与相交于点若是的外心,试求经过三点的抛物线的解析表达式；3在2的条件下,在抛物线上是否存在点,使该点关于直线的对称点在轴上？若存在,求出所有这样的点的坐标；若不存在,请说明理由AEODCBGFxyl解：1在和中,四边形是正方形,又,2由1,有,点是的外心,点在的垂直平分线上又BD是直径,可得BEDO,点也在的垂直平分线上为等腰三角形,而,设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点,把点,点的坐标代

19、入中,得即解得抛物线的解析表达式为3假定在抛物线上存在一点,使点关于直线的对称点在轴上是的平分线,轴上的点关于直线的对称点必在直线上,即点是抛物线与直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为,并设直线与轴交于点,则由是等腰直角三角形把点,点代入中,得直线的解析表达式为设点,则有把代入,得,即解得或当时,；当时,在抛物线上存在点,它们关于直线的对称点都在轴上例11、若抛物线y=x2-x+m+1与x轴交于A、B两点,以OA、OB为直径分别作O1、O2。试证：无论m取何实数,抛物线与x轴总有两个交点；当两圆相等时,求m的值；如果两圆外切,求m的范围；点B能否在原点的左侧？请说明理由；两圆

20、内切时,求m的范围；若两圆内切时,当M点的坐标为,试证：OAOMOB；如果两圆外切,且O1、O2的周长之比为2:1,求m的值；若两圆面积之和为,求m的值；若两圆外切时,外公切线长为3,求m之值。解：设y=x2-x+m+1与x轴交于A、B,显然x1x2。 因为抛物线y=x2-x+m+1与x轴交点的横坐标,即为所对应的一元二次方程x2-x+m+1=0的两根。所以,要证明抛物线与x轴总有两个交点,就是要证明方程x2-x+m+1=0的根的判别式0=-2-4=m2+2m+5=2+40显然,问题可证。由可知,点A、点B是两个不同的点,若两圆相等,则OA=OB,且点A,点B分布在原点的两侧,又因为x1x2

21、,x10,x20则OA=|x1|=-x1 OB=|x2|=x2 ,-x1=x2,即x1+x2=0。所以,m+3=0,m=-3。另：由OA = OB可得抛物线顶点在y轴上,可知- = 0. 以OA、OB为直径的两圆,若外切,则A点和B点必然分布在原点O的两侧。所以有x1x20,即m+10,则m-1. 这是一道开放题。该命题可转化成：要确定点B能否在原点的左侧,就是要确定x2能否取负数？若x2能取负数的话,则下列不等式组必有解集。显然上述不等式组的解集为空集,故x2不可能取负数,即点B不可能在x轴的左侧。 两圆内切时,其切点必为原点O,且点A、点B必在原点的同侧。故要分点A、点B都在原点的左侧或都

22、在原点的右侧两种情况进行讨论。若点A、点B都在原点的左侧,由可知,该种情况不存在。若点A、点B都在原点的右侧,显然有x10,x20,则m-1. 由知,若两圆内切,则点A、点B必在原点O的右侧,x10,x20则有OA=|x1|=x1；OB=|x2|=x2；OM=1.要证明OAOMOB, 即证x11x2；就是要证明：x11且x21；即证：x1-10且x2-10；即证：0；而=x1x2-+1=m+1-+1=-10故本小问可证。因为两圆外切时,CO=OA=|x1|=-x1；CO=OB=|x2|=x2；所以；即x1+2x2=0.则可由方程组求出参数m的值。当两圆面积之和为时,则S；S；则；OA2+OB2=7；即x12+x22=7 .则根据根与系数的关系,此时的m值可求。因为相切两圆的外公切线的长为：2所以 2；即；OAOB=9；-x1x2=9；则-=9；即有；m=-10.12 / 12