数学选修空间向量与立体几何法向量求线面角学习教案

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1、会计学1数学选修数学选修(xunxi) 空间向量与立体几空间向量与立体几何何 法向量求线面角法向量求线面角第一页，共21页。 AOBAOB为二面角为二面角 -a- 的的平面角平面角 A B定义要点定义要点(yodin):(yodin):.棱上的一点棱上的一点.两条射线分别在两个平两条射线分别在两个平 面内面内.射线要垂直于棱射线要垂直于棱 a O 1.1.定义定义: : 第2页/共21页第二页，共21页。第3页/共21页第三页，共21页。第4页/共21页第四页，共21页。aaa第5页/共21页第五页，共21页。( (一一) )平面平面(pngmin)(pngmin)的法向的法向量的定义：量的定

2、义：a如果如果a,那么那么向量向量a叫做平叫做平面面 的法向量的法向量平面的法向量平面的法向量有无数个有无数个,它们它们的方向相同的方向相同(xin tn)或相反或相反.第6页/共21页第六页，共21页。如何求平面如何求平面(pngmin)(pngmin)的法向的法向量量? ?ABCDxyA1B1C1D1z1111ABCDABC D1ACD例例1 .在棱长为1的正方体中，(1)求平面(pngmin)的法向量(xingling) 1n(2)求平面ABCD的法向量.2n第7页/共21页第七页，共21页。（二）（二）: :平面平面(pngmin)(pngmin)的法向量的的法向量的求法求法 2、若已

3、知平面内不共线的两个向量，、若已知平面内不共线的两个向量，常设常设 为平面的一个法向量，利为平面的一个法向量，利用用 平面内两个已知向量垂直，得出平面内两个已知向量垂直，得出 之间的关系，进而求出平面的之间的关系，进而求出平面的法向量。法向量。),(zyxn nzyx,1、利用空间、利用空间(kngjin)的线面垂直关系找的线面垂直关系找法向量。法向量。第8页/共21页第八页，共21页。1 1、利用平面、利用平面(pngmin)(pngmin)法向量法向量求直线与平面求直线与平面(pngmin)(pngmin)所成的所成的角：角：直线与平面所成的角等直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的于平

4、面的法向量所在的直线与已知直线的夹角直线与已知直线的夹角(ji jio)的余角。的余角。（三）平面法向量（三）平面法向量(xingling)的应用的应用关键：求平面法向量与直线对应的向量关键：求平面法向量与直线对应的向量的夹角，并取其锐角，最后再求其余角的夹角，并取其锐角，最后再求其余角。AB如图如图1：直线：直线AB与平面所成的角与平面所成的角 = ( = )2 Cn第9页/共21页第九页，共21页。利用利用(lyng)(lyng)平面法向量平面法向量求直线与平面所成的角：求直线与平面所成的角：如图如图2：直线：直线AB与平与平面所成的角面所成的角 = ( = )2 图2ABCn|,cos|

5、sinnBA第10页/共21页第十页，共21页。例例2 2：如图，正方体：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，中，E E，F F，M M，N N分别是分别是A1B1A1B1，BCBC，C1D1C1D1，B1C1B1C1的中点的中点(zhn din)(zhn din)，求求MFMF与面与面ENFENF所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。AD1C1B1A1NMFEDCB第11页/共21页第十一页，共21页。（1 1）如图，在正方体）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，中，M M，N N分别为分别为BCBC、BB1BB1的中点。求的中

6、点。求ABAB与平面与平面(pngmin)AMN(pngmin)AMN所成的角的大小。所成的角的大小。ANMD1C1B1A1DCB答案答案(d n)：/2-arccos(1/3)或或arcsin(1/3)练习(linx)第12页/共21页第十二页，共21页。（2 2）如图，在空间直角坐标系中，）如图，在空间直角坐标系中，BC=2BC=2，原点，原点O O为为BCBC的中点，点的中点，点A A的坐标是（的坐标是（1 1，1 1，0 0）点）点D D在在平面平面(pngmin)yoz(pngmin)yoz上，且上，且BDC=90BDC=90，DCB=30,DCB=30,求与平面求与平面(pngmi

7、n)(pngmin)所所成角的大小。成角的大小。AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30(0,-1/2, 3/2)第13页/共21页第十三页，共21页。第14页/共21页第十四页，共21页。 利用平面法向量利用平面法向量(xingling)(xingling)求二面角的求二面角的大小大小求二面角的大小，先求出两个求二面角的大小，先求出两个(lin )半平面半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小等或互补求出二面角的大小 mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于 -第15页/共21页第十五页，

8、共21页。 利用平面利用平面(pngmin)(pngmin)法向量求二面角的法向量求二面角的大小大小如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于 mn指入、指出平面的法指入、指出平面的法向量向量(xingling)的夹的夹角的大小就是二面角角的大小就是二面角的大小。的大小。第16页/共21页第十六页，共21页。例例3 3：如图，正方体：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，中，E E，F F，M M，N N分别分别(fnbi)(fnbi)是是A1B1A1B1，BCBC，C1D1C1D1，B1C1B1C1的中点，求二面角的中点，求二面角M-EF-NM-EF-N的大小

9、的大小AD1C1B1A1NMFEDCB第17页/共21页第十七页，共21页。（2 2）如图，在空间直角坐标）如图，在空间直角坐标(zubio)(zubio)系中，系中，BC=2BC=2，原点，原点O O为为BCBC的中点，点的中点，点A A的坐标的坐标(zubio)(zubio)是是（1 1，1 1，0 0）点）点D D在平面在平面yozyoz上，且上，且BDC=90BDC=90，DCB=30,DCB=30,求二面角求二面角D-BA-CD-BA-C的大小的大小AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30(0,-1/2, 3/2)第18页/共21页第十八页，共21页。小结小结(xioji)： 本节主要学习了法向量在求线面角本节主要学习了法向量在求线面角和二面角方面的应用和二面角方面的应用(yngyng)(yngyng)，注意，注意所求角与法向量的联系，掌握基本的思所求角与法向量的联系，掌握基本的思想方法。想方法。第19页/共21页第十九页，共21页。第20页/共21页第二十页，共21页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共21页。