实变函数论西南辅导课程十至十四学习教案

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1、会计学1实变函数论西南实变函数论西南(xnn)辅导课程十至十四辅导课程十至十四第一页，共101页。例例1 1 设设 为可测集，试证为可测集，试证 21,EE212121mEmEEEmEEm证明证明(zhngmng) (zhngmng) 若若 或或 ， 则结论显然则结论显然1mE2mE若 且 ，则由 可测，取1mE2mE1E21EET12112112121CEEmmECEEEmEEEmEEm第1页/共100页第二页，共101页。12112112121CEEmmECEEEmEEEmEEm12122CEEmEEmmE212121mEmEEEmEEm第2页/共100页第三页，共101页。例例2 2 考

2、察康脱闭集考察康脱闭集 与相应的开集与相应的开集 由上面由上面(shng min)(shng min)定义知，定义知， =1- =0 =1- =0P0G1.21322313232310nnmGmP0mG注意：这里我们得到了一个测度为注意：这里我们得到了一个测度为0 0 的不可的不可(bk)(bk)数集的例子数集的例子第3页/共100页第四页，共101页。第三节第三节 可可 测测 集（续）集（续）定理定理1 1 （1 1） 凡外测度凡外测度(c du)(c du)为零的集合是为零的集合是可测集，可测集， 我们称为零测集。我们称为零测集。（2 2） 零测集之任何子集仍为零测集。零测集之任何子集仍为

3、零测集。（3 3） 有限个或可数个零测集之并仍为有限个或可数个零测集之并仍为 零测集。零测集。证明证明(zhngmng)(zhngmng)：设：设 ，则对任何集合，则对任何集合 ，有，有0*EmT TmCETmCETmETmCETETmTm*第4页/共100页第五页，共101页。定理定理(dngl) 2 (dngl) 2 区间都是可测集，且区间都是可测集，且 定理定理(dngl) 3 (dngl) 3 开集、闭集都是可测开集、闭集都是可测集。集。I| ImI 证明证明 因为任何非空开集可表示为可数多因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间个互不相交的左开右闭区间(q jin)(q

4、 jin)之之并，而区间并，而区间(q jin)(q jin)是可测的，故开集是可测的，故开集可测。闭集作为开集之余集也是可测的可测。闭集作为开集之余集也是可测的 。第5页/共100页第六页，共101页。 我们指出重要的一类集，它从开集我们指出重要的一类集，它从开集出发，通过取余集，作至多可列次或出发，通过取余集，作至多可列次或并或交的运算，所得到并或交的运算，所得到(d do)(d do)的集的集统称为波雷尔集。这样，一切波雷尔统称为波雷尔集。这样，一切波雷尔集是可测的。特别，波雷尔集中有这集是可测的。特别，波雷尔集中有这样的集值得注意，一种是可表为可列样的集值得注意，一种是可表为可列个开集

5、的交，称为个开集的交，称为 集；另一种是可集；另一种是可表为可列个闭集的并，称为表为可列个闭集的并，称为 集。它集。它们可用来构造任意可测集的测度。们可用来构造任意可测集的测度。GF定理定理(dngl) 5 (dngl) 5 凡波雷尔集都是凡波雷尔集都是可测集。可测集。 第6页/共100页第七页，共101页。定理定理(dngl)6 (dngl)6 设设E E是可测集，则存在是可测集，则存在 型集型集 使使 且且 GGEG 0 EGm证明证明(zhngmng) (zhngmng) （1 1）先证）先证 任意给的任意给的 ， 存 在 开 集存 在 开 集 G , G , 使使 ， 且， 且 。0E

6、G EGm为此为此(wi c)，先设，先设 ，则由测度的定义，则由测度的定义，有一列开区间有一列开区间 使使mE , 2 , 1,iIimEIEIiiii|,11且第7页/共100页第八页，共101页。令令 ，则，则 为开集，为开集， ， 1iiIGGEG mEImImGmEiiii|11, mEmG EGm第8页/共100页第九页，共101页。其次其次(qc)(qc)，设，设 ，这时，这时 必为无界集必为无界集，但它总可表示成可数多个互但它总可表示成可数多个互不相交不相交 的有界可测集的并的有界可测集的并 mEE1nnEEnmEnnEG nnnEGm21nnGG则则 为开集，且为开集，且GE

7、G 第9页/共100页第十页，共101页。 EG1nnG1nnE)(1nnnEG 1nnnEGmEGm第10页/共100页第十一页，共101页。（2）依次取 ， 由证明(zhngmng)中的（1）存在开集 ，使 ，nn1, 2 , 1nEGnnEGmn11nnGG则 为 型集且 GGEG , 2 , 1,1nnEGmEGmn0 EGm第11页/共100页第十二页，共101页。定理定理(dngl)7 (dngl)7 设设E E是可测集，则存在是可测集，则存在 型型集集 使使 且且 FFFE 0 FEm证明证明 因因 可测，由定理可测，由定理(dngl)6(dngl)6存在存在 型集型集 G G使

8、使 ， 。令。令 ，则，则 为为 型集且型集且CEGCEG 0CEGmCGF FFEF FEm0CEGm第12页/共100页第十三页，共101页。注意注意1 1 定理定理 6 6和定理和定理7 7表明表明(biomng)(biomng)，可测集，可测集E E是与某个是与某个 集或某个集或某个 集仅相集仅相差一个零测集。由于其逆也成立，这样我差一个零测集。由于其逆也成立，这样我们就获得了一切可测集的构造。们就获得了一切可测集的构造。注意注意2 2 不可测集是存在的。不可测集是存在的。 GF第13页/共100页第十四页，共101页。辅导课程辅导课程(kchng)十一十一第14页/共100页第十五页

9、，共101页。 本章引进一个新的函数类本章引进一个新的函数类可测函数类，并讨论可测函数类，并讨论(toln)(toln)它的性质，为下一章的勒贝格它的性质，为下一章的勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等是相当方便的，所得结果仍是可测函数。算，如代数运算、取极限运算等是相当方便的，所得结果仍是可测函数。 第15页/共100页第十六页，共101页。概念是一个很重要的概念第16页/共100页第十七页，共101页。 设设E E是是 一

10、个一个(y )(y )可测子集（有界或无可测子集（有界或无界），界）， 是定义在是定义在E E上的实上的实函数（其值可以为无穷大）。函数（其值可以为无穷大）。 xf关于包含关于包含 在内的实数运算在内的实数运算(yn sun)(yn sun)作如下作如下规定：规定： 是全体有限是全体有限(yuxin)(yuxin)实数的上实数的上确界，确界， 是全体有限是全体有限(yuxin)(yuxin)实数的下实数的下确界：确界： 为任何有限实数aa上（下）方无界的递增（减）数列上（下）方无界的递增（减）数列 .limnnaa 总有第17页/共100页第十八页，共101页。对于任何有限对于任何有限(yux

11、in)(yuxin)实数实数 , aaaaa , 0,a00 a.aaa00 第18页/共100页第十九页，共101页。 ,0,0,a无意义无意义(yy)设设 是任一实数是任一实数(shsh)，记，记a afE xfaExx,:=第19页/共100页第二十页，共101页。定义定义1 1 设设 是定义在可测是定义在可测 集集 E E上的实函数上的实函数( h n s h )( h n s h ) 。 如 果 对 每 一 个 实 数。 如 果 对 每 一 个 实 数 集集 恒可测（勒贝格可测恒可测（勒贝格可测），则称），则称 是定义在是定义在 E E上的（勒贝格）可测函上的（勒贝格）可测函数数(h

12、nsh)(hnsh)。faafEf第20页/共100页第二十一页，共101页。 定理定理1 1 设设 是定义在可测是定义在可测 集集 E E上的实函数，上的实函数，下列任一个条件都是下列任一个条件都是 在在 E E上（勒贝格）可上（勒贝格）可测的充要条件：测的充要条件：（1 1） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都可测；都可测；（2 2） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都可测；都可测；（3 3） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都可测；都可测；（4 4） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都都可测可测ffaafEaafEaafEbaba,bfaE |xf但充分性要假定第21页/共100

13、页第二十二页，共101页。证明证明(zhngmng) (zhngmng) 与与 对 于对 于 E E 是 互 余 的 ， 同 样是 互 余 的 ， 同 样 与与 对于对于E E也是互余的。故在前三个条件中，也是互余的。故在前三个条件中，只须证明只须证明(zhngmng)(zhngmng)（1 1）的充要性。）的充要性。事实上，易知事实上，易知afEafEafEafEafE11nnafE=afE11nnafE=第22页/共100页第二十三页，共101页。关于关于(guny)(guny)（4 4）的充要性）的充要性，只需注意表示式，只需注意表示式 = = 时时 = = bfaE afEbfE xf

14、afE1nnafaE第23页/共100页第二十四页，共101页。推 论推 论 1 1 设设 在在 E E 上 可 测 ， 则上 可 测 ， 则 总 可 测 ， 不 论总 可 测 ， 不 论 是有限实数或是有限实数或 ， 。 xfafEa 证证 只需注意只需注意afEafEafE-=fE=1nnfEfE=1nnfE第24页/共100页第二十五页，共101页。 例例1 1 定义在零测集上的任意实函定义在零测集上的任意实函数均数均 为可测函数。为可测函数。事实上，零测集的子集总是可测集。事实上，零测集的子集总是可测集。每一个实数每一个实数 ，集，集 恒可测恒可测 aafE 例例2 2 区间区间 上的

15、连续函数及上的连续函数及 单调函数都是可测函数。单调函数都是可测函数。 ba,第25页/共100页第二十六页，共101页。例例1 1 设设 = = ，在，在 上定义狄里克上定义狄里克雷雷 函数如下：函数如下： = =E1 , 0E xD为无理数为有理数xx01由于对任意实数由于对任意实数 ，集，集 为为 （当（当 ），）， 中有理点集中有理点集 空集空集 。 它们都是可测集。它们都是可测集。故故 是是E E上的可测函数。上的可测函数。aafEE0aE10当a1a当 xD第26页/共100页第二十七页，共101页。定义定义2 2 定义在定义在 的实函数的实函数 称为称为在在 连续，如果连续，如果

16、 有限，而且有限，而且对于对于 的任邻域的任邻域 ，存在，存在 的某邻的某邻域域 ，使得，使得 ，即只要，即只要 且且 时，便有时，便有 。如果如果 在在E E中每一点都连续，则称中每一点都连续，则称 在在E E上连续。上连续。nEE xf0 xE00 xfy 0y0yV0 x0 xUEUfVExx0 xU xf0yV xf xf第27页/共100页第二十八页，共101页。定义定义 3 3 设设 的定义域的定义域E E可分为有限个可分为有限个互 不 相 交 的 可 测 集互 不 相 交 的 可 测 集 ， = = ，使使 在每个在每个 上都等于某个常数上都等于某个常数 则称则称 为简单函数。为

17、简单函数。 xfnEEE,21EniiE1 xfiEic xf第28页/共100页第二十九页，共101页。例例4 4 可测集可测集E E上的连续函数上的连续函数(hnsh)(hnsh)是可测函数是可测函数(hnsh)(hnsh)。 事实上，设事实上，设 ，则由连续性假设，则由连续性假设，存在，存在(cnzi)x(cnzi)x的某邻域的某邻域 ，使，使xafE xU ExUafE令 = G fExxUafE GafEafEGE=第29页/共100页第三十页，共101页。定理定理2 2 （1 1）设）设 是可测集是可测集E E上的可测上的可测函数，而函数，而 为可测子集，则为可测子集，则 看看作定

18、义在作定义在 上的函数时，它是上的函数时，它是 上的上的可测函数；可测函数； xf1EE xf1E1E（2 2） 设设 是定义在有限可测集是定义在有限可测集 的并集的并集 上，上，且在每个且在每个 上上 都可测，则都可测，则 在在E E上上也可测。也可测。 xfiEni, 2 , 1niiEE1 xfiE xf第30页/共100页第三十一页，共101页。aafE11EafE（2 2） E E是可测集而且对于是可测集而且对于(duy)(duy)任何有限数任何有限数 ，有，有 = =aafEafEnii1由假设由假设(jish)等式右边是可测等式右边是可测集。集。第31页/共100页第三十二页，共

19、101页。例例1 1任任何简单函数都是可测函数。何简单函数都是可测函数。 事实上，定义事实上，定义(dngy)(dngy)在可测集上的常值在可测集上的常值函数显然是可测函数显然是可测 的，由定理的，由定理2 2便知任何便知任何 简单函简单函数都是可测函数。数都是可测函数。第32页/共100页第三十三页，共101页。定理定理(dngl)3 (dngl)3 设设 是是 上一列（上一列（或有限个）可测函数，则或有限个）可测函数，则 = = 与与 都是可测函数。都是可测函数。证证 由于由于 = = ， = =而得证。而得证。 xfnE x xfnninf x xfnnsupaEnnafEaEnnafE

20、第33页/共100页第三十四页，共101页。定理定理4 4 设设 是是 上一列上一列(y li)(y li)可测可测函数，则函数，则= = ， xfnE xFlimn xfn xGlimn xfn也在也在E E上可测，特别上可测，特别(tbi)(tbi)当当 = = 存在时，它也在存在时，它也在E E上可测。上可测。 xF xfnnlim第34页/共100页第三十五页，共101页。证证 由于由于 = = ， = =重复应用重复应用(yngyng)(yngyng)定理定理3 3即得证。即得证。 xFlimn xfn xfmnmninfsup xGlimn xfn xfmnmnsupinf第35页

21、/共100页第三十六页，共101页。辅导辅导(fdo)课程课程十二十二第36页/共100页第三十七页，共101页。定理定理5 5 设设 是可测集是可测集E E上的可测函数，则上的可测函数，则 总可以表示成一列总可以表示成一列(y li)(y li)简单函数简单函数 的极限函数，而且还可办到的极限函数，而且还可办到 xf xf xn |21xx证证 （1 1） 情形情形(qng (qng xing)xing)。对每个自然数对每个自然数n, n, 定义定义 xf0第37页/共100页第三十八页，共101页。 xn.,. 12, 2 , 1 , 0,212,2nfExnnkkfkExknnnn当当则

22、则 为为E E上的简单函数上的简单函数(hnsh)(hnsh)，且不难证明，且不难证明 xn ，xxnn1, 3 , 2 , 1n我 们我 们 ( w m e n )( w m e n ) 证 明证 明 = = 。limn xn xf第38页/共100页第三十九页，共101页。如果如果(rgu) = + (rgu) = + ，则，则 = + = + 。 0 xf0 xnn n如果如果(rgu) + (rgu) + ，则有自然数，则有自然数N N，使使 从而当从而当 时时 0 xfN0 xfNn 0 xf0 xnn21）（n |0 xn 0|xf第39页/共100页第四十页，共101页。（2 2

23、）一般）一般(ybn)(ybn)情情形形令令 =sup , xf 0 ,xf =sup xf 0 ,xf则则 ， 都是非都是非(shfi)(shfi)负可测负可测函数，函数， xf xf xf xf xf |xf xf xf第40页/共100页第四十一页，共101页。对对 ， 作出相应的简单作出相应的简单(jindn)(jindn)函数列函数列 ， 则则 = - = - ，即为所求。，即为所求。 xf xf xn xn xn xn xn, 3 , 2 , 1n，由此得到由此得到(d do)(d do)：函数：函数 在在 E E上可测上可测 的的充要充要 条件是条件是 总可以表示成一列简单总可以

24、表示成一列简单函数函数 的极限函数，其中的极限函数，其中 xf xf xn |21xx第41页/共100页第四十二页，共101页。定理定理6 6 在可测集在可测集E E上定义上定义(dngy)(dngy)的两个的两个可测函数的和、差、积、商（假定运算有可测函数的和、差、积、商（假定运算有意义）都是可测的。意义）都是可测的。证证 设设 ， 是是E E上可测函数。故存在上可测函数。故存在(cnzi)(cnzi)两个简单函数列两个简单函数列 ， , , 使得使得 xf xg xfn xgn lim , lim = . xfn xf xgn xg第42页/共100页第四十三页，共101页。Lim =

25、xgxfnn xf xg xfn xgnlim xf xg xfn xgn/lim xf xg/显然显然(xinrn)(xinrn)两个简单函数的代数运算两个简单函数的代数运算仍是简仍是简单函数，据定理单函数，据定理5 5知结论成立。知结论成立。第43页/共100页第四十四页，共101页。定义定义 4 4 如果命题如果命题S S在集在集E E上除了某个零测度上除了某个零测度(c (c du)du)子集外处处成立，则说命题子集外处处成立，则说命题S S在集在集E E上几乎处上几乎处处成立，记为处成立，记为S,a.e. S,a.e. 命题命题S S也指某一性质而言也指某一性质而言。 例例1 1，两

26、函数，两函数(hnsh)f(hnsh)f与与g g几乎处处相等指几乎处处相等指的是的是f f与与g g不相等的点集不相等的点集 的测度的测度为零，而在为零，而在 上处处有上处处有gfEE00EE xgxf容易证明，容易证明， 两个几乎处处相等的函数两个几乎处处相等的函数具有相同具有相同(xin tn)(xin tn)的可测性。即改的可测性。即改变函数在一个零测集上的函数值不改变变函数在一个零测集上的函数值不改变其可测性。其可测性。第44页/共100页第四十五页，共101页。例2 几乎处处有限 取值为无穷大的点集为零测集。例3 几乎处处收敛(shulin) 不收敛(shulin)的点集为零测集。

27、例4 几乎处处为正 函数值不是正数的点集为零测集第45页/共100页第四十六页，共101页。第46页/共100页第四十七页，共101页。 在数学分析中知道一致收敛是函数列在数学分析中知道一致收敛是函数列非常重要的性质，它能保证极限过程和一非常重要的性质，它能保证极限过程和一些运算的可交换性。但一般而论，一个收些运算的可交换性。但一般而论，一个收敛的函数列在其收敛域上是不一定一致收敛的函数列在其收敛域上是不一定一致收敛的。敛的。 例如例如 在在 上不一致收敛上不一致收敛。但是只要从。但是只要从 的右端点去掉任意小的右端点去掉任意小的一段成为的一段成为 ，则，则 在其上就一在其上就一致收敛了。其实

28、这一现象在某种意义下是致收敛了。其实这一现象在某种意义下是带有普遍意义的。带有普遍意义的。 xfnnx1 , 01 , 01 , 0 xfn第47页/共100页第四十八页，共101页。 引理引理 设设 ， 是是E E上一列几乎上一列几乎处处有限的可测函数列，处处有限的可测函数列， 是是E E上几乎处处上几乎处处有限的可测函数，有限的可测函数， 在在E E上几乎处处收敛上几乎处处收敛于于 ，则对任意，则对任意 和任意自然数和任意自然数n n，作，作我们有我们有mE xfn xf xfn xf0nkffEnEk,|,0,limnEEmn第48页/共100页第四十九页，共101页。证明证明 首先，首

29、先， 作为可测函数列的极限作为可测函数列的极限 函数是可测的函数是可测的 xfnkffEnEk,|,nkkffE|可测其次，根据关于其次，根据关于 与与 的假设，的假设， xfn xf第49页/共100页第五十页，共101页。|. 0ffnEffEffEEmnnn以外都有除有限个有限但有限11,|limnnknnnnnEffEffE第50页/共100页第五十一页，共101页。,lim1nEnEnn,limlimnmEnEmnnmEnEEmn,lim,limnmEn mE,limnEmn0,limffEEmnEEmnn有限第51页/共100页第五十二页，共101页。推论推论 1 1 设设 ， 是

30、是E E上一列几乎上一列几乎处处有限的可测函数列，处处有限的可测函数列， 是是E E上几乎处上几乎处处有限的可测函数，处有限的可测函数， 在在E E上几乎处处收上几乎处处收敛于敛于 ，则对任意，则对任意 有有mE xfn xf xfn xf00|limffEEmnn证明证明 由于由于 所以所以再由引理即得证再由引理即得证 ,|nEffEn,|nEEffEEn第52页/共100页第五十三页，共101页。定理（叶果洛夫定理）定理（叶果洛夫定理） 设设 ， 是是E E上一列几乎上一列几乎处处有限的可测函数列，处处有限的可测函数列， 是是E E上几乎上几乎处处有限的可测函数，处处有限的可测函数， 在在

31、E E上几乎上几乎处处收敛于处处收敛于 ，则对任意，则对任意 ，存，存在子集，在子集， 使在使在 上上 一致收敛，且一致收敛，且 。mE xfn xf xfn xf0EE xfnE EEm第53页/共100页第五十四页，共101页。证明证明 任选一列自然数任选一列自然数 ，与此相应，与此相应 作作 的子集的子集 inE inE11,iiinE则则 必在必在 上一致收敛于上一致收敛于 xfn inE xf事实上，对任给事实上，对任给 ， 0选选 使使 0i01i则当则当 时，对一切时，对一切 ，都有都有 0inn 01,0inEnExii |xfxfn01i第54页/共100页第五十五页，共10

32、1页。所以当给定了任一个所以当给定了任一个 之后，之后， 0如果能适当的选取如果能适当的选取 ，使，使 in inEEm则则 令令 ，它就满足定理的要求。，它就满足定理的要求。 inEE但由引理，对于但由引理，对于 , 3 , 2 , 1,1ii分别存在充分大的分别存在充分大的 ，使，使 in.21,iiinEEm第55页/共100页第五十六页，共101页。故只要选取满足这条件的故只要选取满足这条件的 ，就有，就有 in 111121,1,1,iiiiiiiiiinEEminEEminEEmnEEm第56页/共100页第五十七页，共101页。 这个定理告诉我们，凡是满足定理假设这个定理告诉我们

33、，凡是满足定理假设(jish)的几乎处处收敛的可测函数列，即使不的几乎处处收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是一致收敛，也是“基本上基本上”（指去掉一个测度可（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛，因此在许多场任意小的某点集外）一致收敛，因此在许多场合它提供了处理极限交换问题的有力工具。合它提供了处理极限交换问题的有力工具。第57页/共100页第五十八页，共101页。注意注意1 1：当：当 时，定理不成立时，定理不成立 mE例：设 则), 0EmE令 nxnxxfn, 0, 0, 1则 可测，且 xfn nxfn0但对 ，结论不成立0210第58页/共100页第五十九页，共101页。注

34、意注意 2 逆定理当逆定理当 和和 时都成立时都成立mEmE证明 对 ，存在01kkEekkeEmk1在 上， 一致收敛于ke xfn xf1kkee第59页/共100页第六十页，共101页。keEeEkeEmeEmk1)()(0)(eEm另一方面，当 时，存在某使ex 0kkex 0由于在 上， 一致收敛于故ke xfn xf 0 xfn 0 xf一致收敛于第60页/共100页第六十一页，共101页。辅导(fdo)课程十三第61页/共100页第六十二页，共101页。第第 三三 节节 可测函数可测函数(hnsh)(hnsh)的构造的构造 前面我们已经知道，可测集上的连续函数一定是可测函数。反之

35、(fnzh)，一般的可测函数可以说是“基本上连续”的函数。这就是下面的定理：第62页/共100页第六十三页，共101页。定理(dngl) 1 （鲁津定理(dngl)）设 xf 是是E0EE 使使 xf在在E上是连续函数，且上是连续函数，且 EEmE简言之，简言之， 上几乎上几乎(jh)(jh)处处，存在，存在(cnzi)闭子集闭子集上几乎处处有限的可测函数，则对上几乎处处有限的可测函数，则对任意任意 处有限的可测函数是处有限的可测函数是“基本上基本上连续连续”的函数。的函数。第63页/共100页第六十四页，共101页。证明 我们从特殊(tsh)到一般分三种情形来讨论。简单函数(hnsh)情形。

36、niiEE1iE可测互不相交可测互不相交(xingjio)(xingjio)，且，且 xf=ic，当当niExi, 2 , 1, 第64页/共100页第六十五页，共101页。第65页/共100页第六十六页，共101页。第66页/共100页第六十七页，共101页。第67页/共100页第六十八页，共101页。由（由（1 1）知，存在）知，存在(cnzi)(cnzi)闭集闭集 。使。使 在在 上是连续的，且上是连续的，且 ., 2 , 1,0iEEi xniE102)(iiEEm令令 ，显然，显然(xinrn) 且且 在闭集在闭集 上是上是 一致收敛于一致收敛于 的连续函数列，从而的连续函数列，从而

37、 是是 上的连续上的连续函数，且函数，且 。实际上。实际上01EEEii,22)(110iiEEm xnE xf xfE EEm2200EEEEmEEm第68页/共100页第六十九页，共101页。（3 3） 情形情形(qng xing)(qng xing)。 令令 为球为球 。 mEESSEiii1iSiS, 01iiEE由（由（2 2）知，）知， 在在 上是基本上连续上是基本上连续(linx)(linx)。即存在闭子集。即存在闭子集 ，使，使 在在 上是连续上是连续(linx)(linx)的且的且 xfiEiEEi xfiE, 3 , 2 , 1,2iEEmiiii第69页/共100页第七十

38、页，共101页。令令 ，由，由 的特殊的特殊(tsh)作法，我作法，我们容们容易证明，易证明， 在在 上是连续且上是连续且 而而 仍为闭集。仍为闭集。1*iiEEiE xf*E,2* EEm*E注注1 1 该定理该定理(dngl)(dngl)的证明方法值得注的证明方法值得注意，先考虑简单函数，再往一般的可测函意，先考虑简单函数，再往一般的可测函数过渡。数过渡。第70页/共100页第七十一页，共101页。注注2 2 该定理使我们对可测函数的结构有该定理使我们对可测函数的结构有了进一步的了解了进一步的了解 ，它揭示了可测函数与，它揭示了可测函数与连续函数的关系。在应用上通过它常常可连续函数的关系。

39、在应用上通过它常常可以把有关以把有关(yugun)(yugun)的可测函数问题归结的可测函数问题归结为连续函数的问题，从而得以简化。为连续函数的问题，从而得以简化。注注3 3 该定理该定理(dngl)(dngl)的逆定理的逆定理(dngl)(dngl)也也是成立的。是成立的。 第71页/共100页第七十二页，共101页。第72页/共100页第七十三页，共101页。第73页/共100页第七十四页，共101页。第74页/共100页第七十五页，共101页。第75页/共100页第七十六页，共101页。第76页/共100页第七十七页，共101页。第77页/共100页第七十八页，共101页。辅导(fdo)

40、课程十四第78页/共100页第七十九页，共101页。第79页/共100页第八十页，共101页。第80页/共100页第八十一页，共101页。第81页/共100页第八十二页，共101页。第82页/共100页第八十三页，共101页。第83页/共100页第八十四页，共101页。第84页/共100页第八十五页，共101页。 在这个序列中是第在这个序列中是第 个函数个函数(hnsh)(hnsh)。可以证明这个序列是度量收敛。可以证明这个序列是度量收敛于零于零 .xfnjjNn22这是因为对任何这是因为对任何(rnh) (rnh) 0 nnjfEm21)|0|(但是函数列在（但是函数列在（0 0，11上的任

41、何上的任何 一点一点(y (y din)din)都不收敛。都不收敛。 第85页/共100页第八十六页，共101页。例例2 2 取取 ，作函数，作函数(hnsh)(hnsh)列列 显然显然(xinrn) (xinrn) ，当，当 。 但是但是(dnsh)当当 时，时，且且,|1|nfEn反过来，一个几乎处处收敛的反过来，一个几乎处处收敛的 函数列也函数列也可以不是依测度收敛的可以不是依测度收敛的 。, 0E , 2, 1,0, 0(1nnxnxxfn 1xfnEx 10,nm这说明这说明 不依测度收敛于不依测度收敛于1 1。 xfn第86页/共100页第八十七页，共101页。第87页/共100页

42、第八十八页，共101页。第88页/共100页第八十九页，共101页。第89页/共100页第九十页，共101页。第90页/共100页第九十一页，共101页。第91页/共100页第九十二页，共101页。第92页/共100页第九十三页，共101页。第93页/共100页第九十四页，共101页。第94页/共100页第九十五页，共101页。第95页/共100页第九十六页，共101页。第96页/共100页第九十七页，共101页。第97页/共100页第九十八页，共101页。第98页/共100页第九十九页，共101页。第99页/共100页第一百页，共101页。NoImage内容(nirng)总结会计学。（2） 零测集之任何子集仍为零测集。且。第一节 可测函数及其基本性质。即改变函数在一个零测集上的函数值不改变其可测性。在数学分析中知道(zh do)一致收敛是函数列非常重要的性质，它能保证极限过程和一些运算的可交换性。定理（叶果洛夫定理）。前面我们已经知道(zh do)，可测集上的连续函数一定是可测函数。在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题，从而得以简化第一百零一页，共101页。