函数项级数和幂级数习题

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1、第十章 函数项级数习题课一、 主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、 函数列一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：（4）估计方法：（5）Dini-定理：条件1）闭区间；2）连续性；3）关于的单调性注、除Cauchy收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常

2、处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x，作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N，当nN时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x无关的，即当nN时，对所有任意固定的x，关于n单调，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）

3、确界法：存在，使得不收敛于0（4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：在c点左连续，发散，则在内非一致收敛 注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）转化为函数列（部分和）（4）余项方法：一致收敛于0（5）几个判别法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-法 注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，

4、对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。 注、方法（3）和方法（4）处理问题的思想是一致的，只是途径不同。非一致收敛性的判断（1）、定义（2）、Cauchy准则（3）、部分和方法，转化为函数列判断（4）、和函数连续定理（5）、端点发散性判别法（6）、必要条件：通项函数列不一致收敛于0 （7）、逐项求积法：与和函数连续性定理类似，利用一致收敛的和函数的分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断。注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。3、和函数性质定性分析：连续性，可微性的判断定量分析：

5、求导，求积，求极限注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的局部性，将给定区间（通常是开区间）上的性质研究转化为内闭区间上的性质研究，因此，解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。4、幂级数（1）收敛半径，收敛域（2）各种收敛性的关系：点收敛、绝对收敛、一致收敛（3）幂级数的展开（4）和函数的性质：求和，求导，求积，求极限 注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。二、 典型题目1、判断函数列在的一致收敛性，其中（1）、， （2）、。解：（1）计算得， ，因而， ，故，在一致收敛。（2）计算得，记，则，故，在处达到最大值，因而，故，在非一致收敛。注

6、、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。验证Dini定理的条件：显然，对任意的n，；当或，因而关于单调；当时，考察关于的单调性，为此，将离散变量连续化，记，考查对应函数关于的单调性。显然，故，当时，因而关于单减。对应得到当时，关于单减，故由Dini-定理，在中一致收敛。分析 显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件是确定的，有限区间也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的，是的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，

7、因而的单调性也放宽为时，是的单调数列，本例中，在验证单调条件时，实际证明了：，当时，关于单调，显然，（），因此，的单调性关于x并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：Dini-定理 在有限闭区间上，设，且点收敛于，又，使得对任意固定的，关于单调，则。注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察充分大，即时所满足的性质即可，要注意与关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W-定理：W-定理 设，使得时，且收敛，则在上一致收敛。定理中的条件也是关于一致成立的，因此，条件不能改为“

8、对任意的x，存在N(x)，使得nN(x)时，”。例2、证明：若在有连续导数，则在内闭一致收敛于。分析 从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察，因此，利用一致连续性可以完成证明。证明：任取，则在一致连续，因此，使得且时，利用微分中值定理，存在，使得 ，故，时， ，因而 ，故，。 3、讨论一致收敛性（1） ； （2）。解：（1）法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函数列来处理。由于，故，。因而， ，对任意的n，记，则 因而，g（x）在处达到最大值，因而 ，因此，故，在一致收敛。法二、也可利用最大值法，或W-判别法。 记，则 故，在处达到最大值，因而 由W-定理可

9、得，在一致收敛。（2）法一、记，则 ，故在处达到最大值，因而，故，在一致收敛。法二、利用用Taylor展开得， 因而， ，x0故，在一致收敛。4、设在上点收敛，的部分和函数列在上一致有界，证明：在上一致收敛。分析 这是一个抽象的函数项级数，从所给的条件看，W定理、Abel判别法、Dirichlet判别法、Dini定理都缺乏相应的条件，因此，考虑用Cauchy收敛准则，为此，必须建立通项函数与其导函数的关系，建立其关系的方法有微分法（利用微分中值定理）和积分法（利用微积分关系式），其本质基本上都是插项法，如利用积分法估计Cauchy片段，相当于插入点，利用一致有界条件，则 ，要通过右端控制Cau

10、chy片段任意小，从右端形式和剩下的条件看，右端的第二项要用点收敛性来估计，而第一项需用小区间的长度来控制，由于点x是动态的、任意的，因此，关键的问题是利用什么技术将动态点的控制转化为有限个定点控制，通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的。证明：对任意的，对a,b作等分割：，使得，又，点收敛，因而，存在N，使得nN时， ， ，假设，当nN时，对任意的，存在，使得，故 ， 因而，在上一致收敛。注、总结证明过程，步骤为：1、任给，分割区间，确定有限个分点；2、在分点处利用Cauchy收敛准则；3、利用插项技术验证一致收敛性。注意相互间的逻辑关系。注、类似的结论可以推广到函数列的情形：

11、设逐点收敛的函数列是a,b上的可微函数列，且在a,b上一致有界，则在a,b一致收敛。 注、上述证明的思想是通过有限分割将任意动态点的估计转化为有限个点的静态估计，像这种思想在证明一致收敛性时比较有用，看下面的例子。6、给定函数列，设对每个固定的n，都是a,b上的单调函数，又设在a,b上收敛于S(x)，且，证明在a,b上一致收敛于S(x)。分析 由于题目中给出了极限函数且函数列是抽象的，因此，可以考虑用定义法处理。关键是如何利用点收敛和极限函数的连续性实现对的动态估计，假设插入的点为某个固定的点，则必然涉及到的估计，要得到与x无关的估计，从所给的极限函数的条件看，必须利用连续性来实现相应的估计，

12、但是，仅仅用连续性还不够，因为连续性是局部性质，因此，这就使我们考虑更高级的整体性质一致连续性，由此，借助一致连续性实现对区间的分割，将动态估计转化为分点处的静态估计。但是，问题并没有全部解决，因为直接插项，产生的项无法解决，注意到还有一个单调性条件，因此，必须借助这个条件将中的由动态点过渡到静态的点，这种技巧并不陌生，在Dini定理的证明中曾借助关于n的单调性将变动的下标n转化为固定的下标，这里我们利用同样的技术解决相应的问题。证明：对任意的，由于，因而一致连续，故存在，当且时， ，对作等分割：，使得 ，利用点收敛性，存在N，使得nN时， ， 。因此，当nN时，对任意点，存在，使得，利用的单

13、调性，则 ，事实上，当关于x单调递增时，或者 ，或者 ，因而，总有 。这样，关于由动态的点转化为固定的点，对右端进行插项，进一步将由动态的点转化为固定的点。因而， ，故，在a,b上一致收敛于S(x)。 注、利用各种技术将动态点处的估计转化为静态点处的估计是证明抽象函数列和函数项级数一致收敛性时常用的技巧，要掌握其处理问题的思想，特别是单调性在这个过程中的应用。 7、设，定义函数列，n1，2，证明：在内闭一致收敛。分析 从函数列的结构可以计算出和函数为，因此，可以利用形式统一法证明结论。证明：对任意的x，则 。对任意的，则，因而，一致连续，故，对任意的，存在，当且时， 。取N：，当时， 故，在内

14、闭一致收敛。8、设，证明：在一致收敛于零。证明：由于，故，使得，因而，归纳可以证明：故，。 9、在0,1上定义函数列 ，计算其极限函数并讨论其一致收敛性。解、法一、显然，对任意固定的，则当时，总有，因此，故，其极限函数为。取，则 ，因此，在0,1上非一致收敛。法二、用一致收敛性的性质证明。极限函数仍为，计算得， 因而， ，故，在0,1上非一致收敛。注、这里，我们利用逐项求积定理，将这种将定性分析的证明转化为定量的验证，这是非常有效的处理问题的思想方法。10、给定函数列，n2，3，证：当时，函数列在上一致收敛。证明：容易计算 ，因而， ，对任意固定的n， ，因而， 故，当时， ，在上一致收敛。

15、下面讨论一致收敛性的应用。11、设，（）计算。分析 题目的本质实际是两种运算的可换序性，只需验证相应的条件。解：由于，故在一致收敛，因而，又，故。 12、设，求。解：考虑在的一致收敛性。由于，故，在一致收敛，因而 。 注、关键选择一个合适的区间：即保证一致收敛性，也要保证极限点落在此区间内部。13、计算。分析 两种运算的换序性问题，只需验证一致收敛性条件。证明：先证的一致收敛性。显然，对任意的， ，利用微分中值定理，存在，使得 ，因而， 在0,1上一致收敛于1（也可以用Dini定理证明）。其次，证明的一致收敛性。对任意的，单调递增收敛于，由Dini定理，在0,1上一致收敛于。由此，得 ，故，在

16、0,1上一致收敛于，因此， 。14、证明：在连续。解：，考察在上的一致收敛性。由于，而收敛，故在一致收敛性，因而，由的任意性，。注、注意总结这类题目证明的步骤和技巧。15、证明：在（0，1）内非一致收敛。分析 由于函数项级数在区间端点都收敛，通项也是一致收敛的函数列，又不知其和函数，因此，只有用Cauchy收敛准则证明。为此，需要研究其Cauchy片段，找出一个具有正下界的片段，注意到以前处理的类似问题：用Cauchy收敛准则证明的发散性，可以设想，相应的方法是否能处理本题，由此，需要考察：能否存在，使得片段中的每一项的对应因子，kn1，2n有正下界，只需，只需，因此，只需取。证明：取，则，对

17、任意的n，取pn，则 ，由Cauchy收敛准则，在（0，1）内非一致收敛。 注、还可以用下述结论证明其非一致收敛性：给定函数项级数，设，若在(a,b)内一致收敛，和都收敛，则在a,b上一致收敛，因而，还成立。 在Fourier级数习题课中，可以证明，正是一个在0,1上的非连续函数的Fourier级数，且其和函数在0,1上也不连续，因而，根据上述结论， 在（0，1）内非一致收敛。16、证明：与具有相同的收敛半径。证明：法一：由于 ，另一方面， ，故，二者有相同的收敛半径。法二、可定义证明。设的收敛半径为，要证的收敛半径也为，只要证时，收敛，时，发散。对：，则，收敛，又，由Abel法，收敛。对任意

18、的：时，若收敛，取使得，因为收敛，因而收敛，故有界记为M，因此， ，其中。由于，因而，收敛，这与的收敛半径为R矛盾，故，发散。 由此得二者的收敛半径相同。 注、例子表明，幂级数求导求积后收敛半径不变，进一步可得。17、设，其收敛半径为，证明：且，。解：由幂级数求导后收敛半径不变性的性质得，且，归纳可以证明： 。 注、 此例说明：任何一个幂级数都是某个函数的M-级数。18、设且，又，证明：。分析 利用幂级数展开论证，证明证明：由于，故，因而，在可展成M-级数。 下证。显然，而，又由Roller-定理，使得且，故，归纳可证：，故 。19、求收敛半径和收敛区间。1）、； 2）、；3）、； 4）、。解

19、：记其为。1）、由于，故，R1。当时，发散；当时，是交错的L-级数，因而收敛，故其收敛域为。2）、由于，故。当时，考虑，记，则；用连续化方法计算其极限，由于 ，故，因而，发散。同样，当时，发散，故其收敛域为。3）、这是一个隔项级数，直接用根式法讨论收敛半径。由于，故，当时，级数收敛，当时，级数发散，因而，收敛半径R1，显然，x1和x1时，级数都收敛，因而，收敛域为。4）、由于极限不存在，用上极限公式计算收敛半径。由于，故，收敛半径。当时，则，由于右端两项前者收敛，后者发散，因而，左端级数发散。同样，当时，级数也发散，故幂级数的收敛域为。20、设的收敛半径为，的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径

20、。 1）、； 2）、。解、1）、当时，不妨设，则当时，绝对收敛；当时，由于，而发散，收敛，故，发散。 当时，利用幂级数收敛的性质，必发散，否则，当时，收敛，故，的收敛半径为。 当RQ时，的收敛半径有可能严格大于R，如取则RQ1，而0，其收敛半径为。2）、由于，故，的收敛半径。有例子表明，存在情形，如取 ，则RQ1，而。21设的收敛于，的收敛于，如果Cauchy乘积收敛，则一定收敛于。解：考虑如下三个幂级数，由条件：是其收敛点，故由幂级数性质：在内三个幂级数都收敛，因而确定三个函数，且，又由绝对收敛级数的Cauchy乘法定理，则，即，令，则由连续性：，即 例5、设，当收敛，则当收敛时成立，证明：

21、由幂级数的逐项求导定理：， 又记，则，故 又，因而也存在且等于 故 注：利用定积分的性质，不管取值如何，上述条件保证存在。例6、利用上题证明解：由于，故，若定义，则上式对成立，因而：，则又时，收敛，故由定理7，则 例7求的Maclaurm级数，并说明它的Maclaurm级数并不表示这个函数。解：由于，收敛。事实上，由于，由比值判别法，收敛。因而，都一致收敛，因而：有任意阶导数，即且进而，因此，在点的Maclaurm级数为：下面证明此级数对都发散，为此，考虑其绝对级数，则 （）故由比值判别法，发散，故其通项不收敛于零，因而也发散，即Maclaurm级数发散，因而不能表示。 例8、证明（1） 满足 （2）满足解：（1），其收敛半径为，故其导级数为在任意区间一一致收敛，因而，类似可证：，且，（2），其收敛半径为，因而，因而例9、利用已知展开式求幂级数展开（1） （2）解：（1）（2）例10、展开为的幂级数并证解： 又，故 令，例11、例12求和（1） （2） （3） （4）解：（1）记，则故又 （2）记，则故显然：时，也收敛，即，（3）记，则 记，则， 故，因而，故，（4）记，故