函数及数列的极限的强化练习题答案

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1、第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1下面函数与为同一函数的是（ ） 解：，且定义域， 选D2已知是的反函数，则的反函数是（ ） 解:令反解出：互换，位置得反函数，选A3设在有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）解：的定义域且选C4下列函数在内无界的是（ ） 解: 排除法：A 有界，B有界，C 故选D5数列有界是存在的（ ）A 必要条件 B 充分条件C 充分必要条件 D 无关条件解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛， 选A6当时，与为等价无穷小，则= （ ） A B 1 C 2 D -2解：， 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7设，则的定义域为 解：

2、 定义域为8设则 解：（1）令 （2）9函数的反函数是 解：（1），反解出：（2）互换位置，得反函数10 解：原式 11若则 解：左式= 故12= 解：当时， 原式= 三、计算题（每小题8分，共64分）13求函数的定义域解： 函数的定义域为14设 求解： 故15设，的反函数，求解: （1） 求 反解出：互换位置得 (2)16判别的奇偶性。解法（1）：的定义域，关于原点对称为奇函数解法（2）： 故为奇函数17已知为偶函数，为奇函数，且，求及解： 已知 即有得故 得故18设，求的值。解： 故19求解：（1）拆项，（2）原式=20设求解： 原式=四、综合题（每小题10分，共20分）21设=，求=并讨

3、论的奇偶性与有界性。解：（1）求（2）讨论的奇偶性为奇函数（3）讨论的有界性 有界 22从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积V=故（2）函数的定义域 故五、证明题（每小题9分，共18分）23设为定义在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1) (2)令为偶函数(3)令为奇函数（4）综上所述：偶函数+奇函数24 设满足函数方程2+=，证明为奇函数。证：（1） 令 函数与自变量的记号无关（2）消去，求出 （3）的定义域又 为奇函数选做

4、题1已知，求解: 且由夹逼定理知，原式 2 若对于任意的，函数满足：，证明为奇函数。解 (1)求：令 (2)令为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1 下列极限正确的（ ）A B 不存在C D 解： 选C注：2 下列极限正确的是（ ）A B C D 解： 选A注：(洛必达法则)3 若，则下列正确的是 （ ）A B C D 解： 选D4若，则 （ ）A3 B C2 D解：选B5设且存在，则= （ ）A-1 B0 C1 D2解：选C 6当时，是比高阶无穷小，则 （ ）A B C为任意实数 D 解：故选A二 、填空题（每小题4分，共24分）7 解

5、：原式8 解：原式9 解：原式10已知存在，则= 解：11 解：又 因为洛必达法则可得极限为1 故 原式=112若且,则正整数= 解： 故三、计算题（每小题8分，共64分）13求解： 原式=原式14求解：原式15求解：令，当时，原式16求解：原式注:原式17求 解： 原式18设且存在，求的值。解：19解： 原式20求解： 原式 四、证明题（共18分）21当时且,证明证：证毕22当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）（2）（3） （4）证：当时，当时，当时，当时，五、综合题（每小题10分，共20分）23求解： 原式24 已知，求常数的值。解：（1）原极限存在且（2） 答选做题求解：原式令原

6、式第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24 分）1若为是连续函数，且，则( )A -1 B0 C1 D 不存在解： 原式，选B2 要使在点处连续，应给补充定义的数值是( )A B C D 解： 选A3若，则下列正确的是 （ ）A B C D 解： 选B4设且在处可导，,则是的 ( )A 可去间断点 B 跳跃间断点C 无穷间断点 D 连续点 解： ，故是的第一类可去间断点。选A5在处 ()A 极限不存在 B极限存在但不连续C 连续但不可导 D可导但不连续解：，且在连续，又不存在，在不可导 选C6设在可导，则为 （ ）A B C D 解：（1）在连续

7、，故（2），代入得，选C二、 填空题（每小题4分，共24分）7设为连续奇函数，则= 解：（1）为奇函数， （2）又在连续 故8若为可导的偶函数，则 解：（1）为偶函数，(2)可导， 故 即9设是曲线的一条切线，则 解： （1）（2）故10 若满足：，且则= 解：11 设在连续，且=4，则 解： 原式=12的间断点个数为解： 令为间断点，故有三个间断点三 、计算题（每小题8分，共64分）13 已知在上连续，求的值 解：在连续 且故14 讨论在连续性解：（1）在处，且在处连续（2）在处，在不连续15 设有连续的导函数，且若在连续，求常数A。解：且， 答16 设在可导，求的值。解：（1）在连续， 故

8、有（2）在可导，答17设在可导，求与 解：（1）在连续，且，故有（2）在可导答：18 讨论在是否可导，其中在连续。解：（1） （2）答： 当时，在连续，当时，在不连续19 求的间断点，并指出间断点类型 解：（1） 间断点：（2） 在处：是的第一类间断点。（3） 在处：为的第二类无穷间断点。20 设指出的间断点，并判断间断点的类型。解：（1）为间断点，可能是间断点。（2）在处：是的第二类无穷间断点（3）在处：是的第一类跳跃间断点四、 综合题（每小题10分，共20分）21 求的间断点，并判别间断点的类型。解： （1）间断点：（2）在处：是的第一类可去间断点（3）在处：是的第一类可去间断点（4）在处

9、：是的第二类无穷间断点22已知，在可导，求之值解：（1）在连续，故（2）在可导故有（3）在连续，即（4）在可导：故有由（3）（4）解得答：五、证明题（每小题9分，共18分）23 证明在区间内至少有两个实根。证：（1）在连续，且由零点定理知，=0在上至少有一个实根。（2）在连续,且由零点定理知，=0在上至少有一个实根（3）综上所述，=0在上至少有两个实根 24 设，证明（1）当时在连续，当时，在可导 解：（1）当时，在连续(2)当时，在可导总之，当时，在连续当时，在可导选做题设对于任意的，函数满足且证明证：（1）令， ，即(2) 证毕第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案一、单项选择题（每

10、小题4分，共24分）1设则( )A 1 B 3 C -1 D -3解：（1）(2) 选C2设 ,则 （ ）A B C D 解： 令选B注：本题用导数定义计算更方便！3设，则= ( )A B C D 解： 选A4设由方程所确定，则曲线在点（0，1）的切线斜率= ( )A 2 B -2 C D - 解：选B5 设为可导偶函数，且，则 （ ） A 0 B 1 C -1 D 2 解：（1）（2）得（3） 选A6设在有连续导数，且,则 ( )A 1 B -1 C 2 D -2解：(2)原式选B二、填空题（每小题4分，共24分）7若，则 解：（1）(2) 8设，则= 解：(1)（2）9 直线与轴平行，且与

11、曲线相切，则切点坐标是 解：故有切点坐标10由方程确定，则 解：当时，得，11设，则 解：12设，则 = 解：三、计算题（每小题8分，共64分）13 设，求。解： (1)（3）14设，求及。解：(1) 15方程确定，求解：(1)=0（2） 当时，（3） ，16设 ，求 解：（1）(2)17 设，确定，求。解：（1）(2)18 设，求 解：（1）变形，（2） 19 设由方程所确定，其中F可导，且，求解：（1）（2）当时，（3） 20已知，求解：（1）四、证明题（本题8分）21证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。证：（1）求切线方程：设切点坐标为，故有切线方程：（2）求截距：令，解得令，解得（3）证明两截距之和为（即）+证毕五、综合题（每小题10分，共30分）22若曲线与在点相切，求常数。解：（1）求两曲线的斜率在上，在上，2）求之值：依题意，两曲线在点相切，又点在曲线上23设单调，且二阶可导，求及解：（1）（2）=24设，求解：（1） 选做题1设可导，且，求解：（1）(2)（3）2设有任意阶导数，且，求解：3设可导且，证明解：（1）当时（2）当时：（3）综上所述：