数列通项公式的求法全学习教案

《数列通项公式的求法全学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式的求法全学习教案（33页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、会计学1数列数列(shli)通项公式的求法全通项公式的求法全第一页，共33页。类型类型(lixng)一一 观察法：已知前几项，写通项观察法：已知前几项，写通项公式公式一、普通一、普通(ptng)数列：数列：121211 2 - - , - 32532 7 77 777 77773 ba b a（ ） ， ，（） ， ， ，（） ，12( 1)nnan 7(101)9nna ( 1)22nnababa 方法规律总结：方法规律总结：1.正负号用正负号用(-1)n或或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分母间的关系关系和分子间关系的同

2、时还要观察分子与分母间的关系，有时，有时(yush)还要把约分后的分式还原后观察。还要把约分后的分式还原后观察。2.如如0.7，0.77,0.777类的数列，要用类的数列，要用“归九法归九法”3.两个循环的数列是两个循环的数列是0,1,0,1的变形。可以拆成一个常的变形。可以拆成一个常数列数列b,b,b,b与与0,a-b,0,a-b.的和，分别写通项然后相加再化简。的和，分别写通项然后相加再化简。)101-1（97nna第1页/共33页第二页，共33页。类型类型(lixng)二、前二、前n项和项和Sn法法 已知前已知前n项和，求通项和，求通项公式项公式11 (1) (2)nnnSnaSSn 设

3、设an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足Sn=n2+2n-1,求求an n的通项公式的通项公式.例例2：设数列设数列an满足满足a1=1, an=-SnSn-1(n2，nN*）求求an n的通项公式的通项公式.例例3：2 1 21 2nnann 1 1 1 2(1)nnann n 提示提示(tsh)：把：把an代换成代换成Sn-Sn-1等式两边再同（等式两边再同（-SnSn-1）1时，2提示：当nnnSSan1)1( 21)-(n-1)-2nn(22n第2页/共33页第三页，共33页。2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或

4、解得由整理由整理(zhngl)得得2361211nnnaaS且有300) 3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1( 3232nnaaannn的通项为故的等差数列，公差为是首项为故11nnnaSS的关系与可找出nnaa1 的通项公式求，),2)(1(6且1满足项和的前各项均正数的数列)重庆07( ：3例*1nnnnnnaNnaaSSSna第3页/共33页第四页，共33页。例例1：在在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通项求通项an.练：练： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,证,证明明：类型一、类型一、累加法累

5、加法 形如形如 的递推式的递推式11223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得二、递推数列二、递推数列(shli)：条件条件(tiojin)：f（1）+ f（2）+ f（n-1）的和要可以求出才可用）的和要可以求出才可用1( )nnaaf n第4页/共33页第五页，共33页。例例2： 12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通项项练练： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通项项类型二、类型二、累乘法累乘法形

6、如形如 的递推式的递推式123412312342322123211 3, 3, 3, 3 . 3 , 3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3( -1)( -1)2( -1)2 2 3 2 3nn nn nna 条件条件(tiojin)：f（1）f（2） f（n-1）的积要可以求出）的积要可以求出才可用才可用1( )nnaf n a第5页/共33页第六页，共33页。满足与若数列相邻两项一nnaa1)(则可考虑则可考虑(kol)待定系数法设待定系数法设 xapxann1为待定系数，其中x ()-满足qxpx

7、xan是首项为是首项为 xa1qpaann1公比为公比为p的等比数列，求出的等比数列，求出 ,再进一步求通项再进一步求通项 xanna类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式通用通用(tngyng)方法：待定方法：待定系数法系数法1( )nnapaf n1 1、形如、形如qpaann1第6页/共33页第七页，共33页。例例3： 111,21 .nnnnaaaaa 数数列列满满足足, 求, 求分析：构造分析：构造(guzo)等比数列等比数列an+x，若可以观察，若可以观察x值更值更好好第7页/共33页第八页，共33页。2 2、形如、形如类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式分析分析(fnx

8、)：构造等比数列：构造等比数列an+kn+b，1( )nnapaf nBAnpaann1第8页/共33页第九页，共33页。3 3、形如、形如类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式分析分析(fnx)：构造等比数列：构造等比数列an+xn2+yn+z，1( )nnapaf nCBnAnpaann21第9页/共33页第十页，共33页。4 4、形如、形如类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式分析分析(fnx)：构造等比数列：构造等比数列an+xqn+y，1( )nnapaf nBAqpaannn1第10页/共33页第十一页，共33页。类型四：（类型四：（1）形如）形如 的递推式的递推式例例7：

9、 1113,33,nnnnaaaaa n n数数列列满满足足: :求求通通项项公公式式. .11111 33 133 133 -11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列（） 相除法相除法(chf)两边同除以两边同除以1nA11nnnABAaa第11页/共33页第十二页，共33页。类型四、（类型四、（2）形如）形如 的递推式的递推式相除法相除法(chf)11nnnCBAaa两边同除以两边同除以 或或?1nA?1nC的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24,2111第12页/共33页第十三页，共

10、33页。122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列 2 2121212aannnnnnnnaa242221211221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2 1 22211nnnnnnaaa1124nnnaa第13页/共33页第十四页，共33页。 的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24, 21111124nnnaa1112144nnnnnaa可化为为什么类型呢？，转化同除以14n1112144nnnnnaannnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121

11、432nnna24 上面(shng min)各式相加可得几个(j )式子？第14页/共33页第十五页，共33页。类型五、（类型五、（3）形如）形如 的递推式的递推式例例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）两边两边(lingbin)同除以同除以an+1an相除法相除法(chf)11nnnnapaqa a第15页/共33页第十六页，共33页。例例6： 111,21nnnnnaaaaaa

12、数数 列列满满 足足 : :求求通通 项项 公公 式式取倒法构造取倒法构造(guzo)辅助数列辅助数列类型五、形如类型五、形如 的递推式的递推式111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列1nnnpaaqap111(1)221 21nnnnnaaan 1第16页/共33页第十七页，共33页。类型六、（类型六、（1）形如）形如 的递推式的递推式1rnnapa分析分析(fnx)：取对数后构造等比数：取对数后构造等比数列列第17页/共33页第十八页，共33页。分析：先转化后取对数分析：先转化后取对数(du

13、sh)再构造等比数再构造等比数列列类型六、（类型六、（2）形如）形如 递推式递推式CBaAaannn21第18页/共33页第十九页，共33页。类型类型(lixng)七、特征根法、不动七、特征根法、不动点法点法（一）理论（一）理论(lln)部部分：分：21nnnapaqa第19页/共33页第二十页，共33页。第20页/共33页第二十一页，共33页。类型类型(lixng)七、特征根法、不七、特征根法、不动点法动点法（二）特征（二）特征(tzhng)根法：根法：第21页/共33页第二十二页，共33页。第22页/共33页第二十三页，共33页。类型类型(lixng)七、特征根法、不七、特征根法、不动点法

14、动点法（一）理论（一）理论(lln)部分部分：1nnnpaqarah第23页/共33页第二十四页，共33页。试求斐波那契数列试求斐波那契数列(shli)（兔子数列（兔子数列(shli)）：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 的通项公式的通项公式第24页/共33页第二十五页，共33页。类型类型(lixng)七、特征根法、不七、特征根法、不动点法动点法（三）不动点法：（三）不动点法：第25页/共33页第二十六页，共33页。类型类型(lixng)七、特征根法、七、特征根法、不动点法不动点法（三）不动点法：（三）不动点法：第26页/共33页第二十七页，共33页。不动点法理论纯字母不动

15、点法理论纯字母(zm)推导比较难，看一个具体的例题，帮推导比较难，看一个具体的例题，帮助理解助理解第27页/共33页第二十八页，共33页。特征特征(tzhng)根法对待定系数的妙用：根法对待定系数的妙用：第28页/共33页第二十九页，共33页。类型类型(lixng)八、其他方法八、其他方法（一）开方（一）开方(ki fng)、平方法平方法 求递推数列的通项的主要思路是通过转化求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列构造新的熟知数列,使问题使问题化陌生为熟悉化陌生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段采取不同的变形手段(shudun),从

16、而达到转化的目的从而达到转化的目的. 第29页/共33页第三十页，共33页。类型类型(lixng)八、其他方法八、其他方法（二）裂项叠加法（二）裂项叠加法第30页/共33页第三十一页，共33页。类型类型(lixng)八、其他方法八、其他方法（三）换元法（三）换元法第31页/共33页第三十二页，共33页。类型类型方法方法1、已知前几项、已知前几项观察法观察法2、已知前、已知前n项和项和Sn前前n项和法项和法3、形如、形如 的递推式的递推式累加法累加法4、形如、形如 的递推式的递推式累乘法累乘法5、形如、形如 的递推式的递推式待定系数法待定系数法6、形如、形如 的递推式的递推式取倒法取倒法7、形如、形如 的递推式的递推式相除法相除法8、形如、形如 的递推式的递推式对数法对数法9、形如、形如 的递推式的递推式特征根法特征根法10 形如形如 的递推式的递推式不动点法不动点法1( )nnaaf n1( )nnaf n a1( )nnapaf n1nnnpaaqap1nnnaAaB C11nnnnapaqaa1rnnapa21nnnapaqa1nnnpaqarah数列数列(shli)通项公式的求通项公式的求法法第32页/共33页第三十三页，共33页。