数列通项公式的求法课件学习教案

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1、数列数列(shli)通项公式的求法课件通项公式的求法课件第一页，共41页。等差数列等差数列(dn ch (dn ch sh li)sh li)的通项公式：的通项公式： 等比数列等比数列(dn b sh (dn b sh li)li)的通项公式：的通项公式： 1(1)naand11nnqaa第1页/共40页第二页，共41页。 1 1、观察法、观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数结构，纵向看各项与项数n n的内在联系。适用于一的内在联系。适用于一些较简单些较简单(jindn)(jindn)、特殊的数列。、特殊的数列。 第2页

2、/共40页第三页，共41页。例例1 1 写出下列写出下列(xili)(xili)数列的一个通项公式数列的一个通项公式（1 1） -1 -1，4 4，-9-9，1616，-25-25，3636， ；解：解： （如果（如果(rgu)(rgu)数列是正负相间数列是正负相间的，把相应的关于的，把相应的关于 的式子乘以的式子乘以 或或 就可以了）就可以了） （2 2） 2 2， 3 3， 5 5， 9 9， 17 17， 33 33， ；解：解：na121nna21nannn111nn第3页/共40页第四页，共41页。1 1、累加法、累加法 若数列若数列 , ,满足满足其中其中 是可求和数列，那么可用逐

3、项作差后累加是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求的方法求 ，适用，适用(shyng)(shyng)于差为特殊数列的数列。于差为特殊数列的数列。 na)(1Nnnfaann)(nfna第4页/共40页第五页，共41页。 例例1 1 已知数列已知数列(shli) ,(shli) ,满足满足 ，求数列，求数列(shli) (shli) 的通项公式。的通项公式。121naann11anana121naann211223211133212)()(nnnaaaaaaaaaannnnn）（）（解：由解：由 得得则则 121naann所以数列所以数列(shli) 的通项公式的通项公式na2nan第5页

4、/共40页第六页，共41页。2 2、累乘法、累乘法(chngf)(chngf) 若数列若数列 , ,满足满足(mnz)(mnz)其中数列其中数列 前前n n项积可求，则通项项积可求，则通项 可用可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。 )(1Nnnfaannna)(nfna第6页/共40页第七页，共41页。例例2 2、已知、已知 ， , ,求通项公式求通项公式(gngsh) (gngsh) 31annnaa21na解：解：112nnnaannnaa211122aa2232aa ， ， ，即即2)1()1(321122nnnnaa2)1(2

5、3nnna3342aa13213423122222nnnaaaaaaaa第7页/共40页第八页，共41页。3 3、 利用数列前利用数列前 项和项和 求通项公式求通项公式(gngsh)(gngsh)：数列前数列前 项和项和 与与 之间有如下关系：之间有如下关系： n.,) 2(111nnnnnaSnSSaSa求由此即可由nnSnSnna第8页/共40页第九页，共41页。)(1(31*NnaSnnna2a1a例例 4 4、设数列、设数列 的前项的前项(qin xin)(qin xin)的和的和（1 1）、求）、求 ；（2 2）、求证数列）、求证数列 为等比数列。为等比数列。 na) 1(31) 1

6、(311) 2(11nnnnnaaSSan时，、当) 1(31nnaS解解(1)(1)、由由 ，得，得 ) 1(3111aa41),1(31) 1(31212221221aaaaaSa得，即，又211nnaa得的等比数列，公比为是首项所以2121na第9页/共40页第十页，共41页。例例3 3 已知数列已知数列 的前的前 项和项和 求证：求证： 为等比数列为等比数列(dn b sh li)(dn b sh li)并并求通项公式。求通项公式。nan12nnaSna1121111aaSa解：11221nnna1212111nnnnnaaSSannaa21即的等比数列，公比为为首项即21na第10页

7、/共40页第十一页，共41页。4 4、构造、构造(guzo)(guzo)等差、等比数列法等差、等比数列法 对于一些递推关系较复杂对于一些递推关系较复杂(fz)(fz)的数列，可通过的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。种情形来处理。（1 1）构造）构造(guzo)(guzo)等差列法等差列法 pqaaqappaannnnn1111则若第11页/共40页第十二页，共41页。例例5 5、已知数列、已知数列 中，中， ，（1 1

8、）、求证）、求证 是等差数列是等差数列(dn ch sh (dn ch sh li)li)（2 2）、求）、求 的通项公式的通项公式221nnnaaanana11a1na解：解：22)1 (1nnnaaa、21111nnaannnnaaaa22111221nnaa首项首项(shu xin)(shu xin)为为1 1，公差为，公差为 的等差数列的等差数列1na212121)1(11)2(nnan、12nan即第12页/共40页第十三页，共41页。变式题：变式题： 已知数列已知数列(shli)an(shli)an中，中，a1=1,a1=1, an+1+3an+1an-an=0, an+1+3an

9、+1an-an=0, 求数列求数列(shli)an(shli)an的通项的通项公式公式. .111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：1113naa 是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1)31(1)332nnaann 132nan 第13页/共40页第十四页，共41页。（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列anan为等差数列为等差数列; ;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列anan为等比数列为等比数列; ;（3 3）若）若c1c1且且d0d0时，数列时，数列anan为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来

10、求其通项可通过构造辅助数列来求. .方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设an+1+m=c( an+m),an+1+m=c( an+m),得得an+1=c an+(c-1)m, an+1=c an+(c-1)m, 与题设与题设an+1=c an+d,an+1=c an+d,比较系数得比较系数得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此数列因此数列 构成构成(guchng)(guchng)以以 为首项，以为首项，以c c为公比为公比的等比数列，的等比数列，这种方法类似这种方法类似(li s)(li s)于换元法于换元法, , 主

11、要用于形如主要用于形如an+1=c an+1=c an+d(c0,a1=a)an+d(c0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：（构造（构造(guzo)法或待定系数法）法或待定系数法）6.6.辅助数列法辅助数列法第14页/共40页第十五页，共41页。方法2： 方法2： 1,nnacad 当当2 2时时1,nnnacad 两式相减，得：两式相减，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2数数列列是是以以为为首首项项，以以

12、为为公公比比的的等等比比数数列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a = =（1211)1nca ac 第15页/共40页第十六页，共41页。方法四：归纳、猜想方法四：归纳、猜想(cixing)(cixing)、证明、证明. . 先计算出先计算出a1,a2,a3;a1,a2,a3; 再猜想再猜想(cixing)(cixing)出通项出通项an;an; 最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacadc ca

13、ddc ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法方法(fngf)(fngf)三：迭代法三：迭代法 由由 递推式递推式直接直接(zhji)(zhji)迭代得迭代得第16页/共40页第十七页，共41页。例例6:6:已知数列已知数列(shli)an(shli)an中，中，a1=3,an+1=2an+3,a1=3,an+1=2an+3,求数列求数列(shli)(shli)的通的通项公式项公式解法解法1 1：由：由an+1=2an+3an+1=2an+3得得 an+1+3=2 an+1+3=2（an+3an+3）所以所以

14、an+3an+3是以是以a1+3a1+3为首项，以为首项，以2 2为公比为公比(n b)(n b)的等比数列，所以的等比数列，所以:an+3=:an+3=（ a1+3 a1+3） 2n-1 2n-1故故an=6an=62n-1-32n-1-3解法解法2 2：因为：因为(yn wi)an+1=2an+3(yn wi)an+1=2an+3，所以，所以n1n1时，时，an=2an-1+3an=2an-1+3，两式相减，得：，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1).an+1 - an=2(an-an-1).故故an-an-1an-an-1是以是以a2-a1=6a2-a1=6为首项，以为

15、首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . an-an-1=(a2-a1)2n-1=6an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1,2n-1,an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1) =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)第17页/共40页第十八页，共41页。2*110(),6263.23nnna xaxnNa 变变式式题题：设设二二次次方方程程有有两两根根满满足足求求证证：是是等等比比数数列列。n+1+ =1n

16、naaa 证证：依依题题意意，由由韦韦达达定定理理可可知知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa 又又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa 是是以以 为为公公比比的的等等比比数数列列第18页/共40页第十九页，共41页。例例7.7.已知已知，111,1nnanana 求数列求数列(shli)an(shli)an的通项公式的通项公式. .解解：11,nnanan 11,nnanan （1）（1）11(1),nnan a 又又11a 即即110a 10na 由由得得：，11(1)1nnana 故故由由累累乘乘法法，得得：13211221111

17、11(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa 1(1)! (1)1nana 1(1) (2) (3)2 1 (1)nnna 第19页/共40页第二十页，共41页。7.7.逐差法逐差法 形如形如an+1+an=f(n)an+1+an=f(n)的数列的数列. .（1 1）若）若an+1+an=d an+1+an=d （d d为常数），则数列为常数），则数列 an an为为“等和数列等和数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2 2，其通，其通项分奇数项和偶数项分奇数项和偶数(u sh)(u sh)项来讨论项来讨论; ;（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数（非常数）

18、时，可通过构造转的函数（非常数）时，可通过构造转化为化为an+1-an=f(n) an+1-an=f(n) 型，通过累加来求出通项型，通过累加来求出通项; ;或用逐或用逐差法差法( (两式相减两式相减) )转化为转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1),an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶分奇偶项来分求通项项来分求通项. .第20页/共40页第二十一页，共41页。例例8. 8. 数列数列(shli)an(shli)an满足满足a1=0, a1=0, an+1+an=2n, an+1+an=2n, 求数列求数列(shli)an(shli)an的通项公的通项公式式. .分析1

19、.构造转化为型分析1.构造转化为型1( )nnaaf n 解解法法1 1：令令( 1)nnnba 则则111111( 1)( 1)( 1)() ( 1)2nnnnnnnnnnbbaaaan 时时111222111( 1) 2(1)( 1)2(2)2 ,( 1) 2 10nnnnnnbbnbbnnbbba 1322 ( 1) (1) ( 1) (2)( 1) 2 ( 1) 1nnnbnn 各式相加得：各式相加得：第21页/共40页第二十二页，共41页。当当 为为偶偶数数时时，22 (1)( 1)2nnnbnn 此此时时，nnabn 当当 为为奇奇数数时时，12()12nnnbn 此时，此时，nn

20、ba 1nan 为为奇奇数数故故为为偶偶数数1,.nnnan n 第22页/共40页第二十三页，共41页。解解法法2 2：12nnaan 当当2 2时时1,2(1)nnnaan 两式相减，得：两式相减，得：112nnaa构构成成以以 为为首首项项，以以2 2为为公公差差的的等等差差数数列列1351,a a aa211(1)22kaakdk 22(1)2kaakdk 为为奇奇数数为为偶偶数数1,.nnnan n . 2 24 46 62 2构构成成以以 为为首首项项，以以2 2为为公公差差的的等等差差数数列列,a a aa第23页/共40页第二十四页，共41页。课时课时(ksh)(ksh)小结小

21、结 这节课我们主要这节课我们主要(zhyo)(zhyo)学习了数列的通项公式的求法，学习了数列的通项公式的求法，大家需要注意以下几点大家需要注意以下几点: :1 1、若数列、若数列 满足满足 可用累加法可用累加法来求通项公式；若数列来求通项公式；若数列 满足满足 可用累乘法来求通项公式可用累乘法来求通项公式; ;若数列若数列 满足满足 可用构造等差数列可用构造等差数列(dn ch sh li)(dn ch sh li)来求通项公式；来求通项公式；若数列若数列 满足，满足， 可用构造等比数列来求通项公式；若数列可用构造等比数列来求通项公式；若数列已知前已知前 项项 和和 的关系可用的关系可用)(

22、1Nnnfaannnanana)(1NnnfaannnSnanannnqappaa1qpaann1nan.1,)2(2111要单独讨论时注意求由、用naSnSSaSannnnn)2(111nSSaSannn第24页/共40页第二十五页，共41页。课后作业课后作业(zuy)(zuy)nnnanaaa求，、已知,21) 1 (11式并证明写出这个数列的通项公，中，、已知数列)( ,211)2(*11Nnaaaaannnnnnnnanaaaa求满足、已知数列, 52212121)3(221.,3 , 2 , 1,S311Sn)4(432n11n的通项公式的值及数列求，且项和为的前、数列nnnaaaa

23、naaa第25页/共40页第二十六页，共41页。 111,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasnsanNabaabacc (5)(5)、数数列列中中是是它它的的前前 和和 并并且且满满足足设设求求证证是是等等比比数数列列设设求求证证数数列列是是等等差差数数列列 11(6)3,2(2).nnnnnnnaaansassna 、已已知知数数列列的的首首项项通通项项与与前前 项项和和 之之间间满满足足求求数数列列的的通通项项公公式式第26页/共40页第二十七页，共41页。第27页/共40页第二十八页，共41页。第28页/共40页第二十九页，共41页。第29页/共40页第三十页，共41页。第30页/共40页第三十一页，共41页。第31页/共40页第三十二页，共41页。第32页/共40页第三十三页，共41页。第33页/共40页第三十四页，共41页。第34页/共40页第三十五页，共41页。第35页/共40页第三十六页，共41页。第36页/共40页第三十七页，共41页。第37页/共40页第三十八页，共41页。第38页/共40页第三十九页，共41页。第39页/共40页第四十页，共41页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第40页/共40页第四十一页，共41页。