数列解答题的解法学习教案

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1、数列数列(shli)解答题的解法解答题的解法第一页，共44页。试题试题(sht)特点特点数列数列(shli)(shli)解答题解答题的解法的解法第1页/共44页第二页，共44页。试题试题(sht)特点特点 1.考查数列、等差数列、等比数列、以及数学归纳法等基本知识、基本技能. 2.常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养. 3.常以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识(y sh)和发挥创造能力提供广阔的空间.数列数列(shli)(shli)解答题的解答题的解法解法第2页/共44页第三页，共44

2、页。. .应试应试(yngsh)策略策略数列解答数列解答(jid)(jid)题的题的解法解法第3页/共44页第四页，共44页。2.求通项公式的常见求通项公式的常见(chn jin)类型类型(1)已知已知an与与Sn的关系或的关系或Sn与与n的关系的关系,利用公式利用公式(2)等差数列(shli)、等比数列(shli)求通项或转化为等差(比)数列(shli)求通项.(3)由递推关系式求数列(shli)的通项公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.第4页/共44页第五页，共44页。3.数列求和的常用方法数列求和的常用方法(1)公式法公式法

3、:利用等差数列、等比数列的求和公式利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法错位相减法:适合求数列适合求数列anbn的前的前n项和项和Sn,其中其中an,bn一一个是等差数列个是等差数列,另一个是等比数列另一个是等比数列.(3)裂项相消法裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加通过累加抵消中间若干项的方法抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项先把数列的每一项拆成两项(或多项或多项),再重新组合再重新组合成两个成两个(或多个或多个)简单的数列简单的数列,最后分别求和最后分别求和.(5)并项求和法并项求和

4、法:把数列的两项把数列的两项(或多项或多项)组合在一起组合在一起,重新构成重新构成(guchng)一个数列再求和一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和适用于正负相间排列的数列求和.第5页/共44页第六页，共44页。4.数列单调性的常见题型及方法数列单调性的常见题型及方法(1)求最大求最大(小小)项时项时,可利用可利用:数列的单调性数列的单调性;函数函数(hnsh)的单调的单调性性;导数导数.(2)求参数范围时求参数范围时,可利用可利用:作差法作差法;同号递推法同号递推法;先猜后证法先猜后证法. 4.数列不等式问题的解决方法数列不等式问题的解决方法(1)利用数列利用数列(或函数或函数(hn

5、sh)的单调性的单调性.(2)放缩法放缩法:先求和后放缩先求和后放缩;先放缩后求和先放缩后求和,包括放缩后成等差包括放缩后成等差(或等或等比比)数列再求和数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和或者放缩后裂项相消再求和.第6页/共44页第七页，共44页。等差、等比数列等差、等比数列(dn b sh li)的问题的问题例1已知an是公差为3的等差数列(shli),数列(shli)bn满足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差(gngch)为

6、3的等差数列,通项公式为an=3n-1.第7页/共44页第八页，共44页。解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形(bin xng)、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.第8页/共44页第九页，共44页。例2已知数列(shli)an满足an+1=2an+n-1,且a1=1.(1)求证:数列(shli)an+n为等比数列(shli);(2)求数列(shli)an的前n项和Sn.所以(suy)数列an+n是首项为2,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)得,an+n=22n-1=2n,所以(suy)an=2n-n.第9

7、页/共44页第十页，共44页。解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.(1)定义法:对于n1的任意自然数,验证an+1-an 为同一常数(chngsh).(2)通项公式法:若an=kn+b(nN*),则an为等差数列;若an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若 =an-1an+1(nN*,n2),则an为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.第

8、10页/共44页第十一页，共44页。对点训练对点训练1(2017全国全国,文文17)设设Sn为等比数列为等比数列an的前的前n项和项和,已知已知S2=2,S3=-6.(1)求求an的通项公式的通项公式(gngsh);(2)求求Sn,并判断并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列是否成等差数列.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式(gngsh)为an=(-2)n.故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列(dn ch sh li). 第11页/共44页第十二页，共44页。求数列的通项及错位相减求和求数列的通项及错位相减求和例例2(2017天津天津,文文18)已知已知an为等差数列为等差数列,

9、前前n项和为项和为Sn(nN*),bn是首项为是首项为2的等比数列的等比数列,且公比且公比(n b)大于大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求求an和和bn的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列a2nbn的前的前n项和项和(nN*).解 (1)设等差数列(dn ch sh li)an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可

10、得an=3n-2.所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.第12页/共44页第十三页，共44页。(2)设数列(shli)a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以(suy),数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.第13页/共44页第十四页，共44页。解题心得求数列通项的基本(j

11、bn)方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.第14页/共44页第十五页，共44页。对点训练对点训练(xnlin)3(2017山西太原二模山西太原二模,文文17)已知数列已知数列an的前的前n项项和和Sn= ,数列数列bn满足满足bn=an+an+1(nN*).(1)求数列求数列bn的通项公式的通项公式;当n=1时也成立(chngl),an=n.bn=an+an+1=n+n+1=2n+1.第15页/共44页第十六页，共44页。数列(shli)cn的前n项和Tn=22+2

12、23+324+n2n+1.2Tn=23+224+(n-1)2n+1+n2n+2,Tn=(n-1)2n+2+4. 第16页/共44页第十七页，共44页。求数列求数列(shli)的通项及裂项求和的通项及裂项求和例3(2017全国(qun u),文17)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;解 (1)因为(yn wi)a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.第17页/共44页第十八页，共44页。解题心得对于已知等式(dngsh)中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两

13、种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.第18页/共44页第十九页，共44页。对点训练对点训练4(2017陕西渭南二模陕西渭南二模,文文17)已知已知an为公差不为零的等差数为公差不为零的等差数列列(shli),其中其中a1,a2,a5成等比数列成等比数列(shli),a3+a4=12.(1)求数列求数列(shli)an的通项公式的通项公式;解 (1)设等差数列an的公差(gngch)为d,a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=1

14、2,an=2n-1,nN*. 第19页/共44页第二十页，共44页。故所求的n=1 009. 第20页/共44页第二十一页，共44页。涉及奇偶数讨论的数列求和涉及奇偶数讨论的数列求和(qi h)例例4已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且a1=2,S5=30.数列数列bn的的前前n项和为项和为Tn,且且Tn=2n-1.(1)求数列求数列an,bn的通项公式的通项公式;(2)设设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列求数列cn的前的前n项和项和.d=2,an=2n.对数列(shli)bn:当n=1时,b1=T1=21-1=1,当n2时,bn=Tn-Tn-1=2n-

15、2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.bn=2n-1.第21页/共44页第二十二页，共44页。(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,设数列(shli)(-1)nanbn的前n项和为An,数列(shli)(-1)nln Sn的前n项和为Bn,则An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,则-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3

16、+(-2)n-n(-2)n+1第22页/共44页第二十三页，共44页。当n为偶数(u sh)时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);当n为奇数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+1)=-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).第23页/共44页第二十四页，共44页。对点训练对点训练(xnlin)5已知函数已知函数f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),f(an),

17、2n+3(nN*)成成等比数列等比数列.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;解 (1)4,f(a1),f(a2),f(an),2n+3成等比数列(dn b sh li),其公比设为q,2n+3=4qn+2-1,解得q=2.第24页/共44页第二十五页，共44页。当n为偶数(u sh)时,Sn=(c1+c3+c5+cn-1)+(c2+c4+cn) 第25页/共44页第二十六页，共44页。第26页/共44页第二十七页，共44页。zz数列与不等式、函数数列与不等式、函数(hnsh)(hnsh)问问题：题：第27页/共44页第二十八页，共44页。第28页/共44页第二十九页，共44页。z第29

18、页/共44页第三十页，共44页。考题考题(ko t)剖析剖析例例2.（2007莆田四中）已知莆田四中）已知为锐角为锐角(rujio)，且，且tan= 1，函数，函数 f(x)=x2tan2xsin(2 )，数列，数列an的首项的首项a1= ,an1=f(an). （1）求函数）求函数f(x)的表达式；的表达式； （2）求证：）求证：an1an； （3）求证：）求证：2421*), 2(2111111121Nnnaaan 解析(ji x)（1）tan2= =1 又为锐角 sin(2 )=1 f(x)=x2x22) 12(1) 12(2tan1tan24数列解答题的解法数列解答题的解法第30页/共

19、44页第三十一页，共44页。考题考题(ko t)剖析剖析nnnnnnnaaaaaaa111)1 (1112111111nnnaaa21111nnaa（3）由（2）知11111nnnaaa1322121111111111111nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa数列数列(shli)(shli)解答题的解答题的解法解法第31页/共44页第三十二页，共44页。又n2时,an1an an1a31 12 21 2考题考题(ko t)剖析剖析143)43(,4321)21(2322aa11nanaaa11111121 点评 在高考题中，数列一般与函数、不等式、三角综合，本题中，表 面 上 有

20、三 角 函 数 ， 但 可 以 通 过 对 三 角 函 数 求值，将三角函数去掉.从而转化(zhunhu)为一个递推数列的问题.数列解答数列解答(jid)(jid)题的题的解法解法第32页/共44页第三十三页，共44页。1222nnSSnS112 n课堂练习课堂练习第33页/共44页第三十四页，共44页。为公差为公差(gngch)(gngch)的等差数列的等差数列. .考题考题(ko t)剖析剖析1222nnSS111nnSS1111SSn是以数列数列(shli)(shli)解答题的解答题的解法解法2n第34页/共44页第三十五页，共44页。考题考题(ko t)剖析剖析nS1.121,1211

21、nSnSnn12)1 ()1)(1 ()(21nSSSnFn设3212)1 ()() 1(1nnSnFnFn则1384484)32)(12(2222nnnnnnn332332,3320maxkk 点评本小题考查等差数列(dn ch sh li)通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题.数列解答题的解法数列解答题的解法第35页/共44页第三十六页，共44页。2.2.（20072007浙江省五校模拟题）浙江省五校模拟题） 已知函数已知函数(hnsh)f(x)=x(hnsh)f(x)=xln(1ln(1x),x),数列数列anan满足满足0a11, an0a11, an1=f(an); 1

22、=f(an); 数列数列bnbn满足满足 , ,nNnN* *. .求证求证: : （）0an0an1an1;1an1; （）anan1 ;1ann!.,bnann!.考题考题(ko t)剖析剖析nnbnbb) 1(21,211122na数列数列(shli)(shli)解答题的解答题的解法解法22第36页/共44页第三十七页，共44页。考题考题(ko t)剖析剖析111xxx 解析 ()先用数学归纳法证明0an1,nN*. （1）当n=1时,由已知得结论(jiln)成立;数列解答题的解法数列解答题的解法第37页/共44页第三十八页，共44页。考题考题(ko t)剖析剖析 ()构造函数g(x)=

23、 0 x0,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在0,1上连续,所以(suy)g(x)g(0)=0.因为0an0,即 .,)1ln(2)(222xxxxfxxx122, 0)(2212nnnnaaafa从而数列解答数列解答(jid)(jid)题的题的解法解法第38页/共44页第三十九页，共44页。考题考题(ko t)剖析剖析,) 1(21,211nnbnb211nbbnn!21112211nbbbbbbbbnnnnnn2:2121nnnnnaaa，aa知,222121123121nnnnaaaaaaaaaaa22212 2222221111121nnnnnnaaaaaaa 点评本题考查(

24、koch)函数、数列、不等式、数学归纳法、导数等知识，考查(koch)综合运用知识、综合解题能力，是一道较难题.数列解答题的解法数列解答题的解法第39页/共44页第四十页，共44页。数列中的存在数列中的存在(cnzi)性问题性问题例例1已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中其中为常数为常数.(1)证明证明:an+2-an=;(2)是否存在是否存在(cnzi),使得使得an为等差数列为等差数列?并说明理由并说明理由.(1)证明(zhngmng) 由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-

25、an)=an+1.因为an+10,所以an+2-an=.第40页/共44页第四十一页，共44页。(2)解 由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得(sh de)数列an为等差数列.解题心得假设推理法:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾

26、,即得到存在的结果.第41页/共44页第四十二页，共44页。对点训练对点训练3(2017云南昆明一中仿真云南昆明一中仿真,文文17)已知数列已知数列an和和bn,a1a2a3an= (nN*),且且a1=2,b3-b2=3,数列数列an为等比数为等比数列列,公比为公比为q.(1)求求a3及数列及数列bn的通项公式的通项公式;(2)令令cn= ,是否存在正整数是否存在正整数m,n(mn),使使c2,cm,cn成等差数列成等差数列(dn ch sh li)?若存在若存在,求出求出m,n的值的值;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.第42页/共44页第四十三页，共44页。所以(suy)存在正整数m=3,n=6,使c2,cm,cn成等差数列. 第43页/共44页第四十四页，共44页。