福建师范大学22春《近世代数》综合作业一答案参考9

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1、福建师范大学22春近世代数综合作业一答案参考1. 若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线正确答案：证法1 由两曲线的从法线重合可设 其中S为曲线x(s)的弧长而为另一曲线rn的参数未必为其弧长对s求导得=V1(s)一(s)v(s)V2(s)+(s)V3(s)因为rn两边用V3(s)作内积得(s)=0(s)=0(常数)x(s)=V1(s)一0(s)V2(s)于是 rn因此这是公共的从法向即rn故02(s)=0如果使得(s0)0则0=0再由于(s)=0为常数

2、故(s)=00且rn即这两曲线完全重合如果(s)0(Vs)根据定理122x(s)为平面曲线设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a由于(s)0(常数Vs)故x(s)=x(s)+(s)V3(s)=x(s)+0V3(s)=x(s)+0a显然x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移0得到的所以它也是平面曲线rn证法2依题意有 rn两边关于t求导得rn因为点乘(作内积)V3(t)得到(t)=0rn 即 (t)=0(常数)从而由前式有再对上式求导得因为故点乘V3(t)得rn如果0=0则即两曲线重合如果00则(t)0由完全与证法1相应部分相同的推导得两条曲线rn与x(t)都为平面曲线证法1由两

3、曲线的从法线重合,可设,其中S为曲线x(s)的弧长,而为另一曲线的参数,未必为其弧长对s求导,得=V1(s)一(s)v(s)V2(s)+(s)V3(s)因为,两边用V3(s)作内积,得(s)=0,(s)=0(常数),x(s)=V1(s)一0(s)V2(s)于是因此这是公共的从法向,即,故02(s)=0如果,使得(s0)0,则0=0再由于(s)=0为常数,故(s)=00,且,即这两曲线完全重合如果(s)0(Vs),根据定理122,x(s)为平面曲线设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a由于(s)0(常数,Vs),故x(s)=x(s)+(s)V3(s)=x(s)+0V3(s)=x(s)+0a显然

4、,x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移0得到的,所以它也是平面曲线证法2依题意有两边关于t求导,得因为,点乘(作内积)V3(t),得到(t)=0,即(t)=0(常数)从而由前式有再对上式求导,得因为故点乘V3(t),得如果0=0,则,即两曲线重合如果00,则(t)0由完全与证法1相应部分相同的推导,得两条曲线与x(t)都为平面曲线2. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使

5、混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：3. 已知三阶行列式，元素a22的余子式是_，a31的代数余子式是_，按第3列的展开式为_已知三阶行列式，元素a22的余子式是_，a31的代数余子式是_，按第3列的展开式为_$(-1)3+1$4. 设函数f(x)在-2，2上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0试证曲线弧C：y=f(x)(-2x2)上至少有一点处的切线平行设函数f(x)在-2，2上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0试证曲线弧C：y=f(x)(-2x2)上至少有一点处的切线平行于直线x-2y+1=0

6、证 直线x-2y+1=0的斜率为，要证至少存在一点(-2,2)，使. 设 ，(x)在0，2上连续，(0)=2，(2)=-1，由介值定理知至少存在一点(0，2)使()=1，又(-2)=1，(x)在-2，上满足罗尔定理条件，故至少存在一点，使()=0，即 5. R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记x1，xn与y1，yn)的样本相关系数为rxy，即 则有关系R2=(rxy)2 事实上，因 所以 因此R2=1，对应着|rxy|=1，x与y有最大线性相关；R2=0，x与y无线性相关关系但用rxy说明回归直线的拟合程度需慎重，例如当rxy=0.5时，只能推出R2=0.25，也就

7、是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半! 6. 设f()4，0，1，取h02，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(044)的估计值。设f()4，0，1，取h02，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(044)的估计值。正确答案：取j-104j06则f(j-1)04400256f(j)06401296则由线性插值得rnrn 由两点三次Hermite插值公式计算得rnrn 真值f(044)003748096显然Hermite插值比线性插值的精度高。取j-104,j06,则f(j-1)04400256,f(j)06401296,则由线性插值得由两点三次

8、Hermite插值公式计算得真值f(044)003748096,显然Hermite插值比线性插值的精度高。7. 总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为( )总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为()或8. 某厂生产某种产品的生产函数z20x210x2y25y，其中x和y为两种投入量，z为产出量若两种投入量的某厂生产某种产品的生产函数z20x210x2y25y，其中x和y为两种投入量，z为产出量若两种投入量的价格分别为2和1，产品的售价为5，试求最大利润正确答案：收入函数R(x,y)5z1

9、005x250x10y225y,总成本函数C(x,y)2xy,从而利润函数为L(x,y)R(x,y)C(x,y)1005x248x10y224y,Lxx10,Lxy0,Lyy20所以A10,B0,C20,B2AC2000,有极值而A0,故有极大值,而点(48,12)为唯一驻点,从而点(48,12)为最大值点所以Lmax(48,12)10054824848101222412100115223041442883592129622969. 求下列函数f(x)的Dini导数：求下列函数f(x)的Dini导数：D+f(0)=D+f(0)=D-f(0)=D-f(0)=+$D+f(0)=D+f(0)=1，D

10、-f(0)=D-f(0)=-1$对xQ，D+f(x)=0，D+f(x)=+，D-f(x)=-，D-f(x)=0；对，D+f(x)=D-f(x)=0，D+f(x)=-，D-f(x)=+.$由于在区间(1/(2n+2)，1/2n中cos(1/x)以及sin(1/x)可取到从-1到+1之间的一切值，故知 类似地，有D+f(0)=a，D-f(0)=a，D-f(0)=b 10. 三单位向量a，b，c满足a+b+c=0，求ab+bc+ca。三单位向量a，b，c满足a+b+c=0，求ab+bc+ca。11. 设f为以2为周期，且具有二阶连续可微的函数， 若级数绝对收敛，则设f为以2为周期，且具有二阶连续可微

11、的函数，若级数绝对收敛，则由于f是以2为周期，且具有二阶连续可微的函数，由3习题1知bn=-n2bn，再由3习题3(2)知，即有 故 12. 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线设直线的方向向量为n，则可取 再在直线上取一点，例如，可令z=0，得 于是，直线的对称式方程 参数式方程为 13. 求解线性代数方程组 的高斯-赛德尔迭代格式为_ 取迭代初值，则=_，=_，=_求解线性代数方程组的高斯-赛德尔迭代格式为_取迭代初值，则=_，=_，=_$-0.38$-0.2433$0.533314. 设f(xy，xy)=x2xy，试求f(x，y)设f(x+y，x-y)=x2-xy

12、，试求f(x，y)15. 比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。组合逻辑电路测试方法有穷举法、一维通路敏化法、布尔差分法和D算法等。时序逻辑电路测试的主要方法是把时序电路构造成相应的组合电路。16. 设A是数域K上s矩阵证明：如果对于Kn中任一列向量，都有A=0，则A=0设A是数域K上s矩阵证明：如果对于Kn中任一列向量，都有A=0，则A=0正确答案：假设A0则A中必有一元素不为零不妨设为aij0取为第j个元素为1其余元素为零的列向量则Aj第i个元素aij0从而A0与已知矛盾所以A=0假设A0,则A中必有一元素不为零,不妨设为aij0,取为第j个元

13、素为1,其余元素为零的列向量,则Aj第i个元素aij0,从而A0与已知矛盾所以A=017. 试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：由第2式得x=4y+y，再取导数有x=4y+y将得到的x，x代入第1式便得4y+y=3(4y+y)-10y，y+y-2y=0 再利用第2式及初值条件知y(0)=8-4=4 最后得到等价的微分方程为 y+y-2y=0，y(0)=1，y(0)=4 上面二阶方程的特征方程为2+-2=(+2)(-1)=0，有根=-2，1 方程的通解为y=c1e-2t+c2et满足初值条件的解为y=-e-2t+2et及x=

14、-2e-2t+10et$由第1式有，代入第2式得 -x+tx+t2x=-2x+x+txt2x=0 等价的微分方程为x=0 它有通解x=c1t+c2， 或由第2式有，代入第1式可得 ，t2(ty+2y)=0 等价的微分方程为ty+2y=0 令z=y，可化为tz+2z=0，有通解为进而 18. 某纺织厂生产的细纱支数的均方差为1.2，现从当日生产的一批产品中，随机抽了16缕进行支数测量，求得样本均方差某纺织厂生产的细纱支数的均方差为1.2，现从当日生产的一批产品中，随机抽了16缕进行支数测量，求得样本均方差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否变劣(=0.05)?19. 设方程组 系数行列

15、式A=0，而A中某行元素aij的代数余了式Aij0，试证(Ai1,Ai2,Ain)T是该方程组的一个基设方程组系数行列式A=0，而A中某行元素aij的代数余了式Aij0，试证(Ai1,Ai2,Ain)T是该方程组的一个基础解系证： 因为A=0，所以AA*=AE=O， 将A*按列分块A*=1,2,n，其中i=(Ai1,Ai2,Ain)T，则 AA*=A1,A2,An=0,0,0 即Ai=O(i=1,2,n)，i是齐次方程组Ax=0的解又因为A=0，Aij0)，即A存在一个r-1阶的非零子式，所以秩(A)=n-1 故方程组Ax=0的基础解系只包含有n-r(A)=1个解向量，任意一个非零解向量都可作

16、为Ax=0的基础解系由Aij0，知i=(Ai1,Ai2,Ain)T0是Ax=0的一个基础解系逻辑推理 利用基础解系的定义直接求解 20. 求方程(x2y2y)dx(2x3yx)dy=0的通解求方程(x2y2-y)dx+(2x3y+x)dy=0的通解 故得解 x2y2+y=cx 21. 计算矩阵的指数函数eAt计算矩阵的指数函数eAtA有特征值=0，=i，=-i 对应于=0的特征向量u=u1，u2，u3T满足 可取特征向量u=1，0，0T，其中0为任意常数对应于=i的特征向量v=v1，v2，v3T满足 可取特征向量v=1+2i，i-2，1T，其中0为任意常数对应于=-i的特征向量w=w1，w2，

17、w3T满足 可取特征向量w=1-2i，-2-i，1T，其中0为任意常数对应的齐次微分方程组有基解矩阵(取=1) 因为 ， 得 eAt=(t)-1(0) 22. n阶微分方程F(x，y，y&39;，y(n)=0的通解应具有y=_的形式n阶微分方程F(x，y，y，y(n)=0的通解应具有y=_的形式y(x，c1，cn)；23. 据推测认为，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些下面将美国31个自然死亡的总体分为矮个子与高个子两类(以1据推测认为，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些下面将美国31个自然死亡的总体分为矮个子与高个子两类(以172.72 em(5英尺8英寸)为界)其寿命如下：短个子85796

18、79080高个子6853637088746466606078716790737177725778675663648365设两个寿命总体服从正态分布，且方差相等，问：数据显示是否符合推测(=0.05)?这是，但2未知的双总体均值的单侧检验，=0.05 待检假设 H0：12，H1：12 由=80.2，=69.15，s1=8.585，s2=9.315，n1=5，n2=26，计算T检验统计量得 此处，=1-2 查表得t0.05(29)=1.6991，经比较知t=2.4564t0.05(29)=1.6991，故拒绝H0，认为推测正确，矮个子人的寿命高于高个子人的寿命 24. 证明：同余类的乘法是Zn的一

19、个代数运算证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算正确答案：设(ijst均为整数)则rn n|i-sn|j-trn于是n整除rn i(j一t)+(is)t=ij一strn从而rnrn即同余类的乘法是Zn的一个代数运算设(i,j,s,t均为整数),则n|i-s,n|j-t于是n整除i(j一t)+(is)t=ij一st从而即同余类的乘法是Zn的一个代数运算25. 几时发表“不大于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年几时发表“不大于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年正确答案： D26. 已知f(x)的一个原函数是

20、sinxlnx，求已知f(x)的一个原函数是sinxlnx，求答案：f(x)=(sinxlnx)=cosxlnx+sinx/x原式=(,1)xdf(x) =xf(x)(,1)-(,1)f(x)xdx=x(cosxlnx+sinx/x)(,1)-sinxlnx(,1)=-ln-sin127. 设 证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积设证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积证 由于 若c0，将A的第2行乘以加到第1行，得 再将第1行乘以-c加到第2行，得 再将第1列乘以加到第2列，得 即 所以 若c=0，a0，那么将第1行加到第2行即化为前一种情况，同

21、样可证明要证的结论 28. 从数集1，2，20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?从数集1，2，20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?设g(20，3)为这样3个数的集合数。对每个这样的集合，或者含有20或者不含20，如果含有20，则另两个元素在1，2，18中选且不相连，有种选法。如果不含20，则三个元素均在1，2，19中选且无2个数相连，这样集合数为g(19，3)。因此 同样，g(19，3)个集合又可分为包含19与不包含19两类，则 因此 29. 求f(x)的不定积分时，其结果的表达形式是否惟

22、一？求f(x)的不定积分时，其结果的表达形式是否惟一？不惟一其原因在于原函数不惟一，如果f(x)在I上有一个原函数，那么f(x)在I上就有无限多个原函数因此如果F1(x)和F2(x)都是f(x)的原函数，则 ， 例如 sin2x和都是sin2x的原函数. 根据导数性质和拉格朗日定理的推论，要验证F1(x)和F2(x)是同一函数的原函数，只要证明 F2(x)-F1(x)=C. 例如：上述两个函数sin2x和满足.当然，也可通过求导运算证明F2(x)=F1(X)，则F1(X)和F2(x)必定是同一函数的原函数例如：上述两个函数sin2x和，有 30. 0n|sinx|dx (n是自然数)0n|si

23、nx|dx(n是自然数)0n|sinx|dx k=0n-1k(k+1)|sinx|dx 令 x=k+t 则 k(k-1)|sinx|dx=0(k+t)sinxtdt =(2k+1) 原式=k=0n-1(2k+1)=n2 解2 令x=n-t，则 0n|sinx|dx=0n(n-t)|sint|dt =n0n|sint|dt-0nt|sint|dt 从而有 31. 在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析(水温171；底水：10在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析(水温171；底水：100g大麦经水浸一定时间后

24、的重量；吸氨时间：min；吸氨量：在底水的基础上再浸泡氨水后增加的重量)编号吸氨量Y底水x1吸氨时间x2编号吸氨量Y底水x1吸氨时间x216.2136.521572.8140.518027.5136.525083.1140.521534.8136.518094.3140.525045.1138.5250104.9138.521554.6138.5180114.1138.521564.6138.5215建立Y关于x1和x2的经验回归方程，并对其进行显著性检验(1)建立回归方程，为简化计算，令x1=x1-138.5，x2=x2-215，并将有关数据列表计算如下，由表中数据可得： 编号 x1 x2

25、y (x1)2 (x2)2 y2 x1x2 x1y x2y 1 -2 0 6.2 4 0 38.44 0 12.4 0 2 -2 35 7.5 4 1225 56.25 -70 -15.0 262.5 3 -2 -35 4.8 4 1225 23.04 70 -9.6 -168.0 4 0 35 5.1 0 1225 26.01 0 0 178.5 5 0 -35 4.6 0 1225 21.16 0 0 -161.0 6 0 0 4.6 0 0 21.16 0 0 0 7 2 -35 2.8 4 1225 7.84 70 5.6 -98 8 2 0 3.1 4 0 9.61 0 6.2 0

26、9 2 35 4.3 4 1225 18.49 70 8.6 150.5 10 0 0 4.9 0 0 24.01 0 0 0 11 0 0 4.1 0 0 16.81 0 0 0 0 0 52.0 24 7350 262.82 0 -16.6 164.5 故 解之得： 故得回归方程 (2)为检验回归方程显著性，下面作方差分析 Q=syy-u=17-15.073=1.927, r接近于1，故回归效果是好的 方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 均方 统计量 F(2.8) 显著性 回归 15.073 2 7.5365 31.28 4.46 剩余 1.927 8 0.2409 总计 17 1

27、0 经检验，可知回归方程是显著的 32. 问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗?正确答案：都不可能都不可能33. 比较下列各题中的两个积分的大小：比较下列各题中的两个积分的大小：因为0x1，所以x2x4(“=”成立的z只有有限个)，又因为x2，x4是连续函数，故01x2dx01x4dx,即I1I2$因为1x2，所以x2x4(“=”成立的x只有有限个)，且x2，x4是连续函数，所以12x2dx12x4dx,即I1I2$因为3x4，所以Inx1，所以I

28、nx(Inx)3，且Inx，(Inx)3是连续函数，所以34lnxdx34(1nx)3dx，即I1I2$设f(x)=ln(1+x)-x，则(0x1)，故当0xl时，f(x)单调递减，故f(x)f(0)=0，即ln(1+x)x(0x1)，所以01In(1+x)dx01xdx故I1I2$由于x0时，1n(1+x)x，所以1+xex，因此I1I234. 设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_ (A)f(x)必有间断点设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_(A)f(x)必有间断点(B)(x)

29、2必有间断点(C)f(x)必有间断点(D)必有间断点D解法1 反证法若没有间断点，即在(-，+)内连续，又因为f(x)连续，则由连续函数的运算法则知：f(x)=(x)也在(-，+)内连续这与题设(x)有间断点矛盾，故必有间断点 解法2 排除法令，f(x)=x2，(x)，f(x)符合题设但 f(x)=1在(-，+)内没有间断点，即(A)不正确； (x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(B)不正确； f(x)=(x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(C)不正确 故应选(D) 35. 设f(x)的导数在x=a处连续，且，则_ (A)x=a是f(x)的极小值点 (B)x=a是f(x)的极大值点 (

30、C)(a，f(a)是设f(x)的导数在x=a处连续，且，则_(A)x=a是f(x)的极小值点(B)x=a是f(x)的极大值点(C)(a，f(a)是曲线y=f(x)的拐点(D)x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点B由知， 又因为f(x)在x=a处连续，则有 f(a)=f(x)=0，x=a为驻点 又 由极值的第二充分条件知，f(x)在x=a处取得极大值 故应选(B) 36. 试证明： 设fk(x)是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)0若有 (k=1,2,), 则试证明：设fk(x)是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(

31、x)0若有(k=1,2,),则证明 令Fk(x)=maxf1(x)，f2(x)，fk(x)，我们有0F(x)Fk+1(x)(kN)若记Fk(x)F(x)(k)，则 ，FL(E). 从而得 . 37. 设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。 38. 某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，2=18，现各抽60棵某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，

32、2=18，现各抽60棵树苗作样本，测得苗高=59.34cm，=49.16cm试以95%的可靠性估计的两种方案对杨树苗的高度有无影响这是已知双总体均值的双侧假设检验，=0.05，待检假设 H0：1=2， 选U估计量由=59.34，=49.16，1=20，2=18，n1=n2=60，得 查表得z0.025=1.96，经比较知|u|=2.93z0.025=1.96，故拒绝H0，认为两种方案对杨树苗的高度有显著影响 39. 若一元函数(x)在a，b上连续，令 f(x，y)=(x)，(x，y)D=a，b(-，+) 试讨论f在D上是否连续?是否一致连若一元函数(x)在a，b上连续，令f(x，y)=(x)，

33、(x，y)D=a，b(-，+)试讨论f在D上是否连续?是否一致连续?f(x，y)在D上连续且一致连续 因为(x)在闭区间a，b上连续，所以(x)在a，b上一致连续因而对，当x1，x2a，b，|x1-x2|时，有 |(x1)-(x2)| 由于f(x，y)=(x)与y无关，所以对，当|x1-x2|，|y1-y2|(或(P1，P2)时，就有 |f(x1，y1)-f(x2，y2)|=|(x1)-(x2)| 故f(x，y)在D上一致连续 40. 设函数f(x)在0，1上可微，对于0，1上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f&39;(x)1，证明：在(0，1)设函数f(x)在0，1上可微

34、，对于0，1上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f(x)1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)=x41. 调查表是调查方案的核心部分，它是容纳_，搜集原始资料的基本工具。调查表是调查方案的核心部分，它是容纳_，搜集原始资料的基本工具。调查项目42. 奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )正确答案：43. 设函数f(x)在(-，+)内具有三阶导数，且满足条件：证明利用泰勒公式证设函数f(x)在(-，+)内具有三阶导数，且满足条件：证明利用泰勒公式证利用泰勒公式可得知 从而有 (*)由于，可知 由(*)可得 令j=

35、1，即 相仿可得 不妨记为待定数值，可得含有(n-1)个未知量，(n-1)个方程构成的方程组 系数行列式D为 可知上述齐次线性方程组仅有零解，即 44. 粉笔有3种不同的长度，8种不同的颜色，4种不同的直径。问粉笔有多少不同的种类?粉笔有3种不同的长度，8种不同的颜色，4种不同的直径。问粉笔有多少不同的种类?为了选择一个种类的粉笔，可以通过先选择一种长度，再选择一种颜色，然后再选择一种直径这三个步骤来完成，由乘法原理可得，粉笔总的种类数为 384=96 45. 求解下列有界变量线性规划问题： (1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7, s.t.x1+x4+2x5

36、-x6+x7=13, x2-x4求解下列有界变量线性规划问题：(1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7,s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13,x2-x4+x5+x6+2x7=9，x3+2x4+2x5+2x6-x7=5,0xj5(j=1，2，7)；(2)min f=x1+2x2+x3-x4+2x5+x6-x7,s.t.x1+2x4-2x5+x6-8x7=0,x2+x4+x5-x6+x7=11,x3+3x4-x5-2x6+2x7=6,0xj4(j=1，2，7)(1)x*=(1,0,0,3,2,0,5)T,x0*=-11. (2) 46. 设是参数的无偏估计量

37、0，则下列结论必定成立的是( ) A( )2是2的无偏估计量 B( )2是2的矩估计量 C设是参数的无偏估计量0，则下列结论必定成立的是()A()2是2的无偏估计量B()2是2的矩估计量C()2是2的有偏估计量D()2是2的一致估计量C47. 在一批灯泡中作寿命试验，其结果如下表： 寿命(t) 0，100 100，200 200，300 300，+在一批灯泡中作寿命试验，其结果如下表：寿命(t)0，100100，200200，300300，+个数121734358在=0.05下，检验假设H0:灯泡寿命服从指数分布待检假设H0：Xf(x)，当H0为真时，可算得 查表得 由n=300，p1=0.3

38、94，p2=0.239，p3=0.145，p4=0.222，列2检验计算表如下表所示： 区间 fi pi npi fi-npi frac(f_i-np_i)2np_i 0，100) 121 0.394 118.2 2.8 0.0663 100，200) 78 0.239 71.7 6.3 0.553 200，300) 43 0.145 43.5 -0.5 0.006 300，+) 58 0.222 66.6 -8.6 1.111 算得 经比较知2=1.736，故接受H0，认为灯泡寿命服从指数分布 48. 用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色

39、，求不等价着色数。置换群为 G=I，2，3，4，1，2，3，4，5 G的循环指数为 故由定理可得 49. 已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P-1X1)=_已知连续型随机变量X的概率密度为则概率P-1X1)=_1-e-10.6321根据计算概率公式，因此概率 P-1X1 =1-e-10.6321 于是应将“1-e-10.6321”直接填在空内 50. 热力学系统的状态取决于_；如果系统的_全部都有确定值，则系统的_就一热力学系统的状态取决于_；如果系统的_全部都有确定值，则系统的_就一定是确定的。正确答案：状态函数、状态函数、状态状态函数、状态函数、状态51. 设有一吊桥，其铁链成抛物线

40、型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求铁链与支柱所成之角。正确答案：52. 设服从泊松分布，且已知P=1=P=2，求P=4设服从泊松分布，且已知P=1=P=2，求P=4由P=1=P=2，得，所以=2 因此 53. 求二次曲线224y5y268y1000的主轴求二次曲线224y5y268y1000的主轴正确答案：主轴为612y110和2y20主轴为612y110和2y2054. 甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单

41、位：mm)为： 甲：15.0，1甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高(=0.05)?55. 验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(ak

42、t)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat)正确答案：(1)uxkcos(kx)sin(akt) uxxk2sin(kx)sin(akt) utaksin(kx)cos(akt)rnutta2k2sin(kx)sin(akt)rn综上utta2uxx成立；rnrn综上utta2uuxx成立；rn(3)uxcos(xat)uxxasin(xat) utacos(xat) utta2sin(xat)rn综上utta2uxx成立(1)uxkcos(kx)sin(akt)uxxk2sin(kx)sin(akt)utaksin(kx)cos(akt)utta2k2sin(kx)sin(ak

43、t)综上,utta2uxx成立；综上,utta2uuxx成立；(3)uxcos(xat)uxxasin(xat)utacos(xat)utta2sin(xat)综上,utta2uxx成立56. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d 提示：应用综合除法 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d提示：应用综合除法 由 可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数b，易知a=2，也是第三次除法所得之商 算式如下： 结果有 f(x)=2

44、x3-x2-3x-5 =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13 57. 设y1(x)，y2(x)均为方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)试写出此方程的通解设y1(x)，y2(x)均为方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)试写出此方程的通解正确答案：因为y1(x)y2(x)均为方程yP(x)yQ(x)的解所以y1(x)y2(x)为对应齐次方程yP(x)y0的解从而 ycy1(x)y2(x)为齐次方程的通解其中C为任意常数rn 因此yP(x)yQ(x)的通解为 ycy1(x)一y2(x)y1(x)因为y1(x),y2(x)均为方程yP(x)yQ(x

45、)的解,所以y1(x)y2(x)为对应齐次方程yP(x)y0的解从而ycy1(x)y2(x)为齐次方程的通解,其中C为任意常数因此,yP(x)yQ(x)的通解为ycy1(x)一y2(x)y1(x)58. f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在。( )f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在。( )正确答案： 59. 求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程： (1)经过坐标原点； (2)与x轴平行； (3)与平面2x-y+5z+2=0垂直求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程：(1)经过坐标原点；(2)与x轴平行；(3)与平面2x-y+5z+2=0垂直经

46、过给定直线的平面束方程为 4x-y+3z-1+(x+5y-z+2)=0， 即 (4+)x+(-1+5)y+(3-)z+(2-1)=0 (1)如果有平面经过原点，则2-1=0，得到，故所求的平面方程为 9x+3y+5z=0 (2)如果平面束中某平面与x轴平行，则它的法线向量4+，-1+5，3-)与向量l=1，0，0垂直，从而有 4+，-1+5，3-1，00=4+=0， 因此=-4，所求的平面方程为 -21y+7x-9=0 (3)如果平面束中某平面与所给的平面垂直，则有 4+，-1+5，3-2，-1，5)=24-8=0， 因此=3，所求的平面方程为 7x+14y+5=0 60. 设随机变量X的概率密度为，求常数A，B应满足的条件设随机变量X的概率密度为，求常数A，B应满足的条件