311方程的根与函数的零点(1)

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1、花拉子米花拉子米( (约约780780约约850)850)给出了一次方程和二次方给出了一次方程和二次方程的一般解法。程的一般解法。 阿贝尔阿贝尔(1802(18021829)1829)证明了五次以上一般证明了五次以上一般方程没有求根公式。方程没有求根公式。 秦九韶（公元秦九韶（公元1202120212611261），），系统地总结和发展了高次方系统地总结和发展了高次方程数值解法，提出了程数值解法，提出了“正负正负开方术开方术”，此法可以求出任，此法可以求出任意次代数方程的正根意次代数方程的正根 问题探究问题探究 方程方程 3x+3=03x+3=0的根与函数的根与函数y=3x+3y=3x+3的图

2、象有什么关系？的图象有什么关系？32.521.510.5-2-112333)( xxf-112-2033x问题探究问题探究 我们如何对方程我们如何对方程f(xf(x)=0)=0的的根与函数根与函数y=f(xy=f(x) )的图象的关系的图象的关系作进一步阐述？作进一步阐述？问题探究问题探究 方程方程 的根的根 和和 函数的零点函数的零点一元二次方程一元二次方程axax +bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根与二次函的根与二次函数数y=axy=ax +bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象有什的图象有什么关系？么关系？思考讨论思考讨论以a0为例方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=

3、0 x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象的图象函数的图象与x轴的交点结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标归纳：归纳：x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-11 2Oy423-11 2xOxy423-11 2Oxy两个交点两个交点 (-1,0)，(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点判别式 0= 00)的根的根两个不相等的两个不相等的实数根实数根x1 、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根x1x2x1(x1,

4、0)，(x2,0)(x1,0)问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？请举例! 对于函数对于函数y=f(x) 我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点（的零点（zero point)。注意：注意：零点指的是一个实数。零点指的是一个实数。零点是点吗？互动交流互动交流2、区别：区别：1、联系：联系：数值上相等：求函数零点就是求方程的根数值上相等：求函数零点就是求方程的根.存在性相同：存在性相同：函数函数y=f(x)有零点有零点 方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点零点对于函数而言，根对于方程而言零点对于函数

5、而言，根对于方程而言问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？要解方程要解方程2- -x=x，即，即2- -x- -x=0，只要，只要求函数求函数f(x)=2- -x- -x的零点的零点!数 学 建 构方程方程f (x)=0有实数根有实数根函数函数y=f (x)有零点有零点 函数函数y=f (x)的图的图象与象与x轴有交点轴有交点辨析练习辨析练习：判断下列说法的正误：判断下列说法的正误：1.1.函数函数y=xy=x+1+1有零点有零点x x=-1=-1； 2.2.函数函数y=xy=x2 2-2-2x x-3-3的零点是的零点是(-1,0),(3,0) (-1,0),(3,0) ；3.3.函

6、数函数y=xy=x2 2-2-2x x-3-3的零点是的零点是-1-1和和3 3； 4.4.函数函数 没有零点没有零点. .1yxxyO1yx00=0=0判别式判别式 =b24ac方程方程axax2 2 +bx+c +bx+c=0=0(a0)(a0)的根的根函数函数y= axy= ax2 2 +bx +bx+c(a0)+c(a0)的图象的图象函数的零点个数函数的零点个数00两个两个没有实根没有实根没有没有两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x x1 1 = x = x2 2一个一个-2-4-6-8-10-15-10-5x2x1h x 2-2 2-

7、2-4-6-8-15-10-5x1g x 2-2?4?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-18?-30?-25?-20?-15?-10?-5?1探究探究以a0为例3、图像法图像法代数法代数法求下列函数的零点求下列函数的零点65)(2-xxxf12)(-xxf（1）（2）2和和30 例例1 求函数求函数f（x）=lg(x-1)的零点的零点求函数零点的步骤：求函数零点的步骤： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)写出零点写出零点学以致用学以致用甲原来在河的北岸甲原来在河的北岸,现在在河的南岸现在在河的南岸,能断定甲过河了能断定甲过河了吗吗?过

8、了几趟过了几趟?乙原来在河的北岸现在还在河的北岸乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河乙有没有过河?过了几趟过了几趟?问问 题题?甲甲甲甲乙乙乙乙?甲甲?甲甲甲甲?甲甲观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”或或“”) 在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c) _ 0(“”或或“”) 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d) _ 0(“”或或”) 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有xyO

9、abcd零点存在性的探究：问题5:在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上存在零点？ 观察下面函数图象思考:虽然函数虽然函数f(x) 满足了满足了f(-1)f(1)0,但它在但它在区间区间(-1,1)上却没有零点上却没有零点,为什么为什么? 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图上的图象是连续不断的一条曲线象是连续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。函数零点存在性定理：xyOxyO

10、baabcc例例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，上连续，且且f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点.（ ）（3）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，且在区间上连续，且在区间(a,b)内存内存在零点，则有在零点，则有 f (a) f(b) 0（ ）（4）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间a,b 满足满足f (a) f(b) 0，则，则f(x)在在区间区间(a,b)内存在零点内存在零点.（ ）abOxya

11、bOxyabOxy画图象举反例：函数零点存在定理的三个注意点：函数零点存在定理的三个注意点： 1 1 函数是连续的。函数是连续的。 2 2 定理不可逆。定理不可逆。 3 3 至少存在一个零点，不排除更多。至少存在一个零点，不排除更多。例例3. .求证求证:函数函数f(x)= x3+x2+1在区间在区间(-2，-1)上存在零点上存在零点.?证明证明: 因为因为 f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-30且函数且函数f(x)的图象在区间的图象在区间-2,-1上是不间断的上是不间断的,所以函数所以函数f(x)在区间在区间(-2,-1)上存在零点上存在零点小结论思考：能否确定函数yf(x)在区间(

12、-2，-1)内存在几个零点？ f(-2) f(-1)0函数函数y=f(x)在区间在区间a,ba,b 上图像连续且上图像连续且是单调函数且是单调函数且f(a)f(b)0a ab b尝试画出满足条件的图形进行观察尝试画出满足条件的图形进行观察研讨新知研讨新知只有一个解法解法1：利用计算机作出函数的图像，然后判断利用计算机作出函数的图像，然后判断与与X轴交点的个数轴交点的个数例例4 求函数求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，的零点的个数，并确定并确定零点所在的区间零点所在的区间n，n+1(nZ) 零点存在性定理的应用：由表可知由表可知f(2)0，从而，从而f(2)f(3)0， 又又f(x)

13、在区间在区间2,3上连续上连续 函数函数f(x)在区间在区间(2,3)内有零点内有零点由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，内是增函数，所以它仅有一个零点所以它仅有一个零点用计算器或计算机列出用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：的对应值表：例例4 求函数求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，的零点的个数，并确定并确定零点所在的区间零点所在的区间n，n+1(nZ) 解法解法2零点存在性定理的应用：问题6:如何说明零点的唯一性？ 108642-2-451 2346xyOx123456789f(x)- -4- -1.31.13.45.67.810.0 12.1

14、 14.2f(x)=lnx+2x 6解法解法3：y=2x +6y= lnx例例4 求函数求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，的零点的个数，并确定并确定零点所在的区间零点所在的区间n，n+1(nZ) 零点存在性定理的应用：6Ox1 2 3 4y数形结合数形结合lnx+2xlnx+2x6=06=0的根的根lnxlnx=-2x+6=-2x+6的根的根可看成可看成y=lnxy=lnx与与y=-2x+6图像交点的横坐标图像交点的横坐标学以致用学以致用求求f(x)= +3x-7 +3x-7零点的个数零点的个数x x2 2 f(1)f(2)0 又又f(x)在区间在区间1,2上连续上连续函数函数f(

15、x)在区间在区间(1,2)内有零点内有零点方法一方法一： f(1)0 f(1)0f(2)0函数函数f(xf(x) )仅有一个零点仅有一个零点函数函数f(x)在定义域在定义域(-,+)内是增函数内是增函数方法二：方法二：0732- xx732-xxxy273 -xyx0246105y241086121487643192 2学以致用学以致用拓展延伸拓展延伸: :函数函数f(x)= +3x-7在区间在区间(1,2)(1,2)上有上有零点，那么它更靠近那个端点呢？零点，那么它更靠近那个端点呢？x x2 2归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识本节课你收获了什么？本节课你收获了什么？一个关系：一个关系：函

16、数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系: :函数方程零点根数 值存在性个 数两种思想：两种思想：函数方程思想；数形结合思想函数方程思想；数形结合思想 三种题型：三种题型：求函数零点、确定零点个数、求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间求零点所在区间 归纳整理，整体认识布置作业：1利用函数图象判断下列方程有几个根：利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x2)3；（；（2）ex144x2写出并证明下写出并证明下列函数零点所在的大致区间：列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)3(x2)(x3)(x4)x3思考题：方程思考题：方程2-x =x在区间在区间_内有解，如何求内有解，如何求出这个解的近似值？出这个解的近似值？ 请预习下一节请预习下一节 作业：作业：?4.4.设设m m为常数，讨论函数为常数，讨论函数 的零点个数的零点个数. .5.5.若函数若函数 在区间（在区间（-1-1，1 1）内有零点，求实）内有零点，求实数数m m的取值范围的取值范围. .2f(x)x4 x5m- -2( )23f xxxm-