基本不等式及应用

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1、-基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0，b0ab三、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)ab()2(a，bR)(3)()2(a，bR)(4)2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab.四、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系；a，bR+：当且仅当ab时取等号.五、利用基本不等式求最

2、值：设*，y都是正数(1)如果积*y是定值P，则当*y时和*y有最小值2.(2)如果和*y是定值S，则当*y时积*y有最大值S2.强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想:错在哪里？3、已知两正数*，y满足*y1，则z(*)(y)的最小值为_解一：因为对a0

3、，恒有a2，从而z(*)(y)4，所以z的最小值是4.解二：z(*y)2222(1)，所以z的最小值是2(1)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】z(*)(y)*y*y*y2，令t*y，则0t*y()2，由f(t)t在(0，上单调递减，故当t时， f(t)t有最小值，所以当*y时z有最小值.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12*(*0)有最大值12而不是有最小值12.

4、(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：若0*，则f(*)sin*的最小值为_解析：令sin*t,00，b0，ab1，求证：4.【证明】(1)a0，b0，ab1，2224(当且仅当ab时等号成立)4.原不等式成立练习：已知a、b、c为正实数，且abc1，求证：(1)(1)(1)8.证明：a、b、c均为正实数，且abc1，(1)(1)(1)8.当且仅当abc时取等号考点2利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次

5、使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例4： (1)设0*2，求函数的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0*0，y，当且仅当*2*即*1时取等号，当*1时，函数y的最大值是.(2) *0，求f(*)3*的最小值；（3）已知:*0,y0.且2*+5y=20,求 *y的最大值.（4）已知a，求的取值*围显然a2，当a2时，a20，a(a2)2226，当且仅当a2，即a4时取等号，当

6、a2时，a20，y0，且*y1，求的最小值*0，y0，且*y1，()(*y)77274，当且仅当，即2*y时等号成立，的最小值为74.练习：求下列各题的最值(1)已知*0，y0，lg*lgy1，求z的最小值；解：(1)由*0，y0，lg*lgy1，可得*y10.则2.zmin2.当且仅当2y5*，即*2，y5时等号成立(2)*0，求f(*)3*的最大值；*0，f(*)3*212，等号成立的条件是3*，即*2，f(*)的最小值是12.(3)*3，求f(*)*的最大值*3，*30，f(*)*(*3)3(3*)3231，当且仅当3*，即*1时，等号成立故f(*)的最大值为1.（4），求的最大值。考点

7、3利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值例3：（1）已知,，求的最小值。（2）已知，求的最大值。（3）已知，求的最大值。（4）求函数的最大值。（5）设abc0，求2a210ac25c2的最小值。A2B4C2D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件【解析】原式(a210ac25c2)aba(ab)a2aba(ab)(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当，即a，b，c时，等号成立【答案】B练习：（1）(2011年*)设*，y为实数，若4*2y2*y1，则2*y的最大值是_解析：4

8、*2y2*y1，4*24*yy23*y1(2*y)213*y2*y()2(2*y)21(2*y)2(2*y)2即2*y当且仅当2*y时取等号，(2*y)最大值.（2）已知，求的最大值。（3）已知，求的最小值及相应的的值。考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙

9、上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为*(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为*的函数；(2)试确定*使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用y旧墙维修费建新墙费，其次，列出y与*的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y45*180(*2)1802a225*360a360.由已知*a360，得a，所以y225*360(*2)(2)*2，225*210800.

10、y225*36010440.当且仅当225*时，等号成立即当*24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：dkv2ll(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车

11、身长(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解：(1)当v60 km/h时，d2.66l，k0.0006，d0.0024v22.(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q，即Q.0.0024v20.24，Q.当且仅当0.0024v，即v50时，Q取最大值.答：当v50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多2、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8的空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸*面积最小？如果要求，则为何值时使宣传画所用纸*面积最小？归纳提升：1创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 2常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接(1)a2(a0，且aR)，当且仅当a1时“”成立(2)2(a0，b0，a，bR)，当且仅当ab时“”成立 (3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数ya*，当a0，b0时函数在，0)，(0, 上是减函数，在(，)，( ，)上是增函数；当a0，b0时，可作如下变形：y(a*)()来解决最值问题. z.