空间向量和立体几何典型例题

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1、-空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1(2008全国卷理)三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 C AB CD1.解：C由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高即点到底面的距离，故与底面所成角的正弦值为.另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为长度均为，平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.二、填空题：1(2008全国卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于1题图11.答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,1题图2故所成角的余弦值另解

2、：以为坐标原点，建立如下图的直角坐标系，则点,则,故所成角的余弦值.三、解答题：12008文如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。求异面直线AB与MD所成角的大小；求点B到平面OCD的距离。1方法一综合法1为异面直线与所成的角或其补角作连接，所以 与所成角的大小为点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 , 线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为, ,与所成角的大小为(2)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平

3、面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, .所以点B到平面OCD的距离为22008理如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。证明：直线；求异面直线AB与MD所成角的大小； 求点B到平面OCD的距离。2 方法一综合法 1取OB中点E，连接ME，NE又 2为异面直线与所成的角或其补角作连接，所以 与所成角的大小为3点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即 取

4、,解得(2)设与所成的角为, ,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为32008文如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.求证：PCAB；求二面角B-AP-C的大小.3解法一：取AB中点D，连结PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB.PDCDD.AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90，即ACBC，且ACPC=C，ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC的射影，CEAP.BEC

5、是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE=90,BC=2,BE=，sinBEC=二面角B-AP-C的大小为aresin解法二：AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB. ()如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-*yz.则C0，0，0，A0，2，0，B2，0，0.设P0，0，t,PB=AB2，t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),cosBEC=二面角B-AP-C的大小为arccosACBDP4200

6、8理如图，在三棱锥中，求证：；求二面角的大小；求点到平面的距离4解法一：取中点，连结，平面平面，ACBEP，又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小为由知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由知，又，且，平面平面，在中， 点到平面的距离为解法二：，又，平面平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系ACBPz*yHE则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为，在平面的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如建立空间直角坐标系，点的坐标为 点到平面的距离为5 (2008文) 如图，在四棱锥中，侧面PAD底面ABC

7、D,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。1求证：PO平面ABCD;2求异面直线PB与CD所成角的余弦值；3求点A到平面PCD的距离5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以所以异面直线所成的角的余弦值为：(2)设平面PCD的法向量为，所以 ；令*=1,则y=z=1,所以 又则，点A到平面PCD的距离为：6(2008理) 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=

8、2,O为AD中点.求证：PO平面ABCD；求异面直线PD与CD所成角的大小；线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.6本小题主要考察直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等根本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.总分值12分.解法一：证明：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD，所以PO平面ABCD.连结BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由知，PO

9、OB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以OB，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO所以异面直线PB与CD所成的角是.假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.设QD*，则，由得CD=OB=，在RtPOC中，所以PC=CD=DP,由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：()同解法一.()以O为坐标原点，的方向分别为*轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-*yz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),

10、D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos， ()假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(*0,y0,z0).则所以即，取*0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.7、(2008、理)如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。1求DP与CC1所成角的大小；2求DP与平面AA1D1D所成角的大小。7解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由，由可得ABCDP*yzH解

11、得，所以因为，所以即与所成的角为平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为8. (2008文)如图，在直三棱柱中，平面侧面 求证： 假设，直线AC与平面所成的角为， 二面角8.本小题主要考察线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考察空间想象能力和推理论证能力.总分值12分 ()证明：如右图，过点A在平面A1ABB1作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1,又AB侧

12、面A1ABB1，故ABBC. ()证法1：连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1就是二面角A1BCA的颊角，即ACD，ABA1=j. 于是在RtADC中，sin=,在RtADA1中，sinAA1D,sin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角，所以AA1D. 又由RtA1AB知，AA1DjAA1Bj，故j. 证法2：由()知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为*轴、y轴、z轴，建立如下图的空间直角坐标系.设AB=cca，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),A1(0,c,a)，于是，0，c,a,=(0,c,a)设平面A1BC的一个法

13、向量为n=(*,y,z),则由可取n0，a，c，于是n=ac0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.sinq=cosb=,cosj=所以sinq=cosj=sin(),又0q，j，所以q+j=.9. (2008理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.求证：ABBC；假设直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为的大小关系，并予以证明.9.本小题主要考察直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考察空间想象能力和推理能力.总分值12分证明：如右图，过点A在平面A1ABB1作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平

14、面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC.解法1：连接CD，则由知是直线AC与平面A1BC所成的角，是二面角A1BCA的平面角，即于是在RtADC中，在RtADB中，由ABAC，得又所以解法2：由知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为*轴、y轴、z轴，建立如下图的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是设平面A1BC

15、的一个法向量为n=(*,y,z)，则由得可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.所以于是由cb，得即又所以10. (2008理)如下图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. 证明：平面PBE平面PAB;求平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小.10解: 解法一 如下图，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE

16、平面PAB.延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AHPB于H，由知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角锐角.在等腰RtPAF中，在RtPAB中，所以，在RtAHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小是解法二: 如下图，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A0，0，0，B1，0，0，P0，0，2,因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从

17、而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB.()易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小是11(2008文) 如下图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，E是CD的中点，PA底面ABCD，。I证明：平面PBE平面PAB；II求二面角ABEP和的大小。11解：解法一I如下图, 连结由是菱形且知，是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以又所以又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此 平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.II由I知，平面PAB,平面PAB, 所以

18、又所以是二面角的平面角在中,故二面角的大小为解法二：如下图,以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是I因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.II易知设是平面PBE的一个法向量,则由得所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,故二面角的大小为12(2008)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值围12解：由题设可知，以、为单位正交基底，建立如下图的空间直角坐标系，则有, 由，得，所以显然不是平角，所以为钝角等价于，则等价于即 ，得因此，的取值围是13(2008文、理) 如图，正三棱锥的三条侧棱、

19、两两垂直，且长度均为2、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、或其延长线分别相交于、，1求证：面；2求二面角的大小13解：1证明：依题设，是的中位线，所以，则平面，所以。又是的中点，所以，则。因为，所以面，则，因此面。2作于，连。因为平面，根据三垂线定理知，就是二面角的平面角。作于，则，则是的中点，则。设，由得，解得，在中，则，。所以，故二面角为。解法二：1以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则所以所以所以平面由得，故：平面(2)由设则由与共线得:存在有得同理:设是平面的一个法向量,则令得又是平面的一个法量所以二面角的大小为ABCDEFPQHG14(2008文)如图，在棱长为1的正方体中，

20、AP=BQ=b0b1，截面PQEF，截面PQGH证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；假设，求与平面PQEF所成角的正弦值14本小题主要考察空间中的线面关系和面面关系，解三角形等根底知识，考察空间想象能力与逻辑思维能力总分值12分解法一：证明：在正方体中，又由可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分证明：由知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值8分ABCDEFPQHGN解：设交于点，连结，因为平面，所以为与平面所成的角因为，所以分别为，的中点可知，所以12分解

21、法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为*，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D*yz由得，故ABCDEFPQHy*zG，证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分解：由知是平面的法向量由为中点可知，分别为，的中点所以，因此与平面所成角的正弦值等于12分ABCDEFPQHG15(2008理)如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b

22、0b1，截面PQEF，截面PQGH证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；假设与平面PQEF所成的角为，求与平面PQGH所成角的正弦值ABCDEFPQHGNM15本小题主要考察空间中的线面关系，面面关系，解三角形等根底知识， 考察空间想象能力与逻辑思维能力。总分值12分解法一：证明：在正方体中，又由可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分证明：由知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值8分III解：连结BC交EQ于点M因为，所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平

23、面PQGH所成角与与平面所成角相等与同理可证EQ平面PQGH，可知EM平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值设交PF于点N，连结EN，由知因为平面PQEF，又与平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E为BC中点所以EM=，又，故与平面PQCH所成角的正弦值为12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为*，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D*yz由得，故，ABCDEFPQHy*zG，证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQ

24、GH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分解：由得与成角，又可得，即，解得所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为12分ABCDEA1B1C1D116(2008全国卷文、理) 如图，正四棱柱中，点在上且证明：平面；求二面角的大小16解法一：依题设，连结交于点，则ABCDEA1B1C1D1FHG由三垂线定理知，3分在平面，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面两条相交直线都垂直，所以平面6分作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1y*z所以二面角的大小为-12分 解法二：以为坐标原点，射线为

25、轴的正半轴，建立如下图直角坐标系依题设，-3分因为，故，又，所以平面6分设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为12分17(2008全国卷文)四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，证明：；设侧面为等边三角形，求二面角的大小17解：1取中点，连接交于点，又面面，面，即，面，2在面过点做的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角，则，18(2008全国卷理) 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，证明：；设与平面所成的角为，求二面角的大小18解：1取中点，连接交于点，又面面，面，18题图，即，面，2在面过点作的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角的平面角，则，即二面角的大小19

26、 (2008理)如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.证明：AEPD; 假设H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的 正切值为，求二面角EAFC的余弦值。19证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形.因为 E为BC的中点，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由知 AE平面PAD，则EHA

27、为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时 tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因为 PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由知AE，AD，AP两

28、两垂直，以A为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A0，0，0，B，-1，0，CC，1，0，D0，2，0，P0，0，2，E，0，0，F，所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =-，所以 cosm,=因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为A1AC1B1BDC20(2008理)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如下图，截面为，平面，证明：平面平面；求二面角的大小20解法一：平面平面，在中，A1AC1B1BDCFE

29、第20题，解法一，又，即又，平面，平面，平面平面如图，作交于点，连接，由得平面是在面的射影由三垂线定理知，为二面角的平面角过作交于点，则，在中，A1AC1B1BDCzy*第20题，解法二在中，即二面角为解法二：如图，建立空间直角坐标系，则，点坐标为，又，平面，又平面，平面平面平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，如图，可取，则，即二面角为A1AC1B1BDC21.(2008文) 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如下图，截面为，平面，为中点证明：平面平面；求二面角的大小21解：22(2008文) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，分别为的中点证明：四边形是平行四边形；四点是否共

30、面？为什么？设，证明：平面平面；22【解1】：由题意知，所以又，故所以四边形是平行四边形。四点共面。理由如下：由，是的中点知，所以由知，所以，故共面。又点在直线上所以四点共面。连结，由，及知是正方形故。由题设知两两垂直，故平面，因此是在平面的射影，根据三垂线定理，又，所以平面由知，所以平面。由知平面，故平面，得平面平面【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如下图的直角坐标系设，则由题设得所以于是又点不在直线上所以四边形是平行四边形。四点共面。理由如下：由题设知，所以又，故四点共面。由得，所以又，因此即又，所以平面故由平面，得平面平面【点评】：此题重点考察立体几何中直线

31、与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考察了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进展解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。23(2008理) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，证明：四点共面；设，求二面角的大小；23【解1】：延长交的延长线于点，由得延长交的延长线于同理可得故，即与重合因此直线相交于点，即四点共面。设，则，取中点，则，又由得，平面故，与平面两相交直线都垂直。所以平面，作，垂足为，连结由三垂

32、线定理知为二面角的平面角。故所以二面角的大小【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如下图的直角坐标系设，则故，从而由点，得故四点共面设，则，在上取点，使，则从而又在上取点，使，则从而故与的夹角等于二面角的平面角，所以二面角的大小【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进展解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。242008文、理如

33、图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。求证：AE/平面DCF；当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？ 24此题主要考察空间线面关系、空间向量的概念与运算等根底知识，同时考察空间想象能力和推理运算能力总分值14分方法一：DABEFCHG证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，DABEFCyz*又因为，所以，从而于是因为，所以当为时，二面角的大小为方法二：如图，以点为坐标原点

34、，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为25 (2008理)如题19图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：异面直线AD与BC的距离；二面角A-EC-B的大小用反三角函数表示.25本小题13分解法一：在答19图1中，因，故BEBC.又因B90， 从而ADDE.在第19图2中，因A-DE-B是直二面角，ADDE,故AD底面DBCE，从而ADDB.而DBBC,故DB为异面直线A

35、D与BC的公垂线.下求DB之长.在答19图1中，由，得又DE=3,从而因在第19图2中，过D作DFCE,交CE的延长线于F，连接AF.由1知，AD底面DBCE,由三垂线定理知AFFC,故AFD为二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE中，DEF=BCE,因此从而在RtDFE中，DE=3,在因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan解法二：同解法一.如答19图3.由知，以D点为坐标原点，的方向为*、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D0，0，0，A0，0，4，E0，3，0.过D作DFCE,交CE的延长线于F，连接AF.设从而，有 又由 联立、，解得 因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以 因此所求二面角A-EC-B的大小为. z.