2019春九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图象与性质课时作业 （新版）北师大版

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1、2.2二次函数的图象与性质第1课时二次函数的图象与性质(1)知识要点基础练知识点1二次函数y=ax2(a0)的图象与性质1.关于y=13x2,y=x2,y=3x2的图象,下列说法中不正确的是(C)A.顶点相同B.对称轴相同C.图象形状相同D.最低点相同2.已知点(-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上,则(A)A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y2y1y33.抛物线y=ax2与直线y=ax+a(a0时,抛物线有最低点,函数有最小值,m-3,当m=1时,该函数有最小值.(3)当m=1,x0时,y随x的增大而增大,x0时,y随x的增大而减小,x0时,y

2、随x的增大而增大.知识点2二次函数y=ax2+k(a0)的图象与性质5.抛物线y=2x2-3的对称轴是(A)A.y轴B.直线x=2C.直线x=34D.直线x=-3【变式拓展】函数y=-x2-1的开口方向和对称轴分别是(B)A.向上,y轴B.向下,y轴C.向上,直线x=-1D.向下,直线x=-16.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法中正确的是(D)A.若y1=y2,则x1=x2B.若x1x2,则y1y2C.若0x1y2D.若x1x2y27.已知二次函数y=ax2的图象是由y=-5x2+1向下平移得到的,那么将y=ax2向下平移3个单位,所得新函数的表达式为(B

3、)A.y=-5x2+3B.y=-5x2-3C.y=5x2-3D.y=5x2+3综合能力提升练8.对于抛物线y=-x2+2和y=x2的论断:开口方向不同;形状完全相同;对称轴相同.其中正确的有(D)A.0个B.1个C.2个D.3个9.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为(D)A.a+cB.a-cC.-cD.c10.二次函数y=-2x2+1的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若0x1y2B.y1y2y20D.y10时,y随x的增大而增大.(3)当m=-3时,该二次函数的图象有最高点,函数有最大值,此时y=-x2+1,

4、最高点为(0,1),故此函数的最大值为1,当x0时,y随x的增大而减小.15.已知二次函数y=ax2+n的图象与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,且y=ax2+n的图象上的点到x轴的最小距离为3.(1)求a,n的值;(2)指出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标.解:(1)抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,a=-2.抛物线y=ax2+n的图象上的点与x轴的最小距离为3,n=-3.(2)由(1)知抛物线的表达式为y=-2x2-3,抛物线开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-3).16.已知A1,A2,A3是抛物线y=12x2上的三点,A1

5、B1,A2B2,A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1,B2,B3,直线A2B2交线段A1A3于点C.如图,若A1,A2,A3三点的横坐标依次为1,2,3,求线段CA2的长.解:A1,A2,A3三点的横坐标依次为1,2,3,A1B1=1212=12,A2B2=1222=2,A3B3=1232=92.设直线A1A3的表达式为y=kx+b.把1,12和3,92代入y=kx+b,得12=k+b,92=3k+b,解得k=2,b=-32.直线A1A3的表达式为y=2x-32.CB2=22-32=52.CA2=CB2-A2B2=52-2=12.拓展探究突破练17.如图,二次函数y=ax2+c图象的顶点为B,若

6、以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A,C也在该抛物线上,求ac的值.解:抛物线y=ax2+c的顶点B的坐标为(0,c),四边形ABCO是正方形,COB=45,CO=BC,COB是等腰直角三角形,C点横纵坐标绝对值相等,且等于BO长度的一半,C点坐标为-c2,c2,将点C-c2,c2代入抛物线y=ax2+c,得ac=-2.第2课时二次函数的图象与性质(2)知识要点基础练知识点1二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象与性质1.抛物线y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别是(B)A.(-3,0),直线x=-3B.(3,0),直线x=3C.(0,-3),直线x=-3D.(0,3),直线x

7、=-32.已知二次函数y=3(x+1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为(B)A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y3y2y1【变式拓展】对于二次函数y=-13x2+2,当x为x1和x2时,对应的函数值分别为y1和y2.若x1x20,则y1和y2的大小关系是(B)A.y1y2B.y1y2C.y1=y2D.无法比较3.已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时,y有最大值,且抛物线过点(1,-3).(1)求抛物线的表达式;(2)当x为何值时,y随x的增大而增大;(3)求抛物线与y轴交点的坐标.解:(1)当x=2时,y有最

8、大值,抛物线的表达式为y=a(x-2)2,抛物线过点(1,-3),-3=a(1-2)2,解得a=-3,此抛物线的表达式为y=-3(x-2)2.(2)抛物线的对称轴为直线x=2,且开口向下,当x2时,y随x的增大而增大.(3)当x=0时,y=-3(0-2)2=-12,抛物线y=-3(x-2)2与y轴交点的坐标为(0,-12).知识点2二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象的平移规律4.把抛物线y=2(x+1)2的图象平移后得到抛物线y=2x2的图象,则平移的方法可以是(D)A.沿y轴向上平移1个单位长度B.沿y轴向下平移1个单位长度C.沿x轴向左平移1个单位长度D.沿x轴向右平移1个单位长度5

9、.已知函数y=2x2,y=2(x-4)2和y=2(x+1)2.(1)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(2)分析分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x-4)2和y=2(x+1)2?解:(1)y=2x2的开口向上,对称轴为y轴(直线x=0),顶点坐标为(0,0);y=2(x-4)2的开口向上,对称轴为直线x=4,顶点坐标为(4,0);y=2(x+1)2的开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,0).(2)抛物线y=2x2向右平移4个单位得到抛物线y=2(x-4)2,向左平移1个单位得到抛物线y=2(x+1)2.6.已知某二次函数的图象是由抛物线y

10、=-2x2向左平移得到的,且当x=-1时,y=-8.(1)求此二次函数的表达式;(2)当x为何值时,y随x的增大而增大.解:(1)设平移后的二次函数表达式为y=-2(x+a)2,当x=-1时,y=-8,-8=-2(-1+a)2,解得a=-1(舍去)或a=3.二次函数表达式为y=-2(x+3)2.(2)二次函数y=-2(x+3)2的对称轴是直线x=-3,且开口向下,当x0时,y随x的增大而减小B.当x2时,y随x的增大而增大D.当x-2时,y随x的增大而减小10.(玉林中考)对于函数y=-2(x-m)2的图象,下列说法不正确的是(D)A.开口向下B.对称轴是直线x=mC.最大值为0D.与y轴不相

11、交11.已知二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,则下列说法:它们的图象都是开口向上;它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0);当x0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;它们的开口的大小是一样的.其中正确的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个12.(衡阳中考)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a2,则y1与y2的大小关系是y1y2.(填“”或“=”)13.二次函数y=12(x+h)2的图象如图所示,已知OA=OC,试求该抛物线的表达式.解:y=12(x+h)2,当x=0时,y=12h2,则C0,12h2,又A(-h,0),OA=OC

12、,-h=12h2,解得h=0(舍去)或h=-2,该抛物线的表达式为y=12(x-2)2.14.已知抛物线y=a(x+m)2的对称轴是直线x=2,抛物线与y轴的交点是(0,8),求a,m的值.解:抛物线y=a(x+m)2,且抛物线的对称轴是直线x=2,m=-2,抛物线的表达式为y=a(x-2)2,抛物线与y轴的交点是(0,8),8=a(0-2)2,解得a=2.15.已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y=-8x2都相同,并且它的顶点在抛物线y=2x+322的顶点上.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的表达式;(3)若(2)中所示抛物线的顶点

13、不动,将抛物线的开口反向,求反向后的抛物线的表达式.解:(1)y=-8x+322.(2)y=-8x+1322.(3)y=8x+1322.拓展探究突破练16.如图,抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA.(1)求抛物线的表达式;(2)若点C(-3,b)在该抛物线上,求SABC的值.解:(1)由条件,得A(-1,0),B(0,-1),将x=0,y=-1代入抛物线的表达式,得a=-1,则抛物线的表达式为y=-(x+1)2=-x2-2x-1.(2)过点C作CDx轴于点D,将C(-3,b)代入抛物线的表达式,得b=-4,即C(-3,-4),则SABC=S梯形OBCD-S

14、ACD-SAOB=123(4+1)-1242-1211=3.第3课时二次函数的图象与性质(3)知识要点基础练知识点1二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象与性质1.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是(B)A.对称轴是直线x=1,最小值是2B.对称轴是直线x=1,最大值是2C.对称轴是直线x=-1,最小值是2D.对称轴是直线x=-1,最大值是22.关于二次函数y=-4(x+5)2+3的说法:顶点的坐标为(5,3);对称轴为直线x=-5;当x-5时,y随x的增大而增大;函数图象与y轴的交点坐标为(0,3).正确的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个3.对于二

15、次函数y=2(x-3)2+1,下列说法正确的是(C)A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=-3C.其最小值为1D.当xyF时,过点P作PBy轴于点B,如图所示.PF=PM=14a2+1.在RtPBF中,BF=PF2-PB2=14a2+12-|a|2=14a2-1(a2或a-2),OF=OB-BF=14a2-14a2-1=1,点F的坐标为(0,1).当yPyF时,过点P作PDy轴于点D.PF=PM=14a2+1,在RtPDF中,DF=PF2-PD2=14a2+12-|a|2=1-14a2(-2a0或0a3时,y随x的增大而减小5.如果抛物线C:y=ax2+bx+c(a0)与直线l:y=

16、kx+d(k0)都经过y轴上一点P,且抛物线C的顶点Q在直线l上,那么称此直线l与该抛物线C具有“点线和谐”关系.如果直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“点线和谐”关系,那么m+n=0.6.已知二次函数y=ax2+4x+c的图象经过点A(3,-4),B(0,2).(1)求a,c的值;(2)求二次函数图象的顶点坐标;(3)直接写出函数y随x增大而增大的自变量x的取值范围.解:(1)二次函数y=ax2+4x+c的图象经过点A(3,-4),B(0,2),9a+12+c=-4,c=2,解得a=-2c=2.(2)由(1)知y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).(

17、3)抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,当x1时,函数y随自变量x的增大而增大.综合能力提升练7.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点(a+b,ac)在(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(宁波中考)抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在(A)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.(德州中考)如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B)10.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a1,则(m-1)a+b0B.若m1,则(m-1)a+b0C.若m0D.若m1,

18、则(m+1)a+b0B.当x1时,y随x的增大而增大C.c0D.x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【变式拓展】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(D)A.函数有最小值B.对称轴是直线x=12C.当x12时,y随x的增大而减小D.当-1x012.(扬州中考)如图,已知ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(1,0),C(2,1),若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是(C)A.b-2B.b-2提示:抛物线y=x2+bx+1与y轴的交点为(0,1),C(2,1),对称轴x=-b21时,

19、二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,b-2.13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)过O(0,0),A(2,0),B(-3,y1),C(4,y2)四点,则y1y2.(填“”“”或“=”)14.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-2,0).(1)求此二次函数的顶点B的坐标;(2)在抛物线上有一点P,满足SAOP=1,请直接写出点P的坐标.解:(1)将A(-2,0),O(0,0)代入表达式y=-x2+bx+c,得c=0,-4-2b+c=0,解得c=0,b=-2,所以二次函数的表达式为y=-x2-2x=-(x+1)2+1,所以顶点

20、B的坐标为(-1,1).(2)点P的坐标为(-1,1)或(-1+2,-1)或(-1-2,-1).15.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(m,0),且m0.(1)如图,若该抛物线的对称轴经过点A,求此时y的最小值和m的值;(2)若m=-2,设此时抛物线的顶点为B,求四边形OAPB的面积.解:(1)根据题意,A是抛物线的顶点,此时y的最小值为-3,对称轴是直线x=-3,m=-6.(2)将点(-2,0),(-3,-3)代入y=ax2+bx中,得4a-2b=0,9a-3b=-3,解得a=-1,b=-2.抛物线的表达式为y=-x2-2x=-(x+1)2+1,抛物线顶点B的坐标为(-

21、1,1).S四边形OAPB=SOPB+SOPA=1221+1223=4.四边形OAPB的面积是4.拓展探究突破练16.(云南中考)已知二次函数y=-2x2+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点,O是原点.(1)不等式b+2c+80是否成立?请说明理由.(2)设S是AMO的面积,求满足S=9的所有点M的坐标.解:(1)抛物线的顶点坐标为(3,8),抛物线的表达式为y=-2(x-3)2+8=-2x2+12x-10,b=12,c=-10,b+2c+8=12-20+8=0,不等式b+2c+80成立.(2)设M(m,n),由题意得123|n|=9,n=6,当n=6时,6=-2m2+12m-10,解得m=2或4,当n=-6时,-6=-2m2+12m-10,解得m=37,满足条件的点M的坐标为(2,6)或(4,6)或(3+7,-6)或(3-7,-6).21