概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计复习资料要点总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计复习资料要点总结（42页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 .概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1事件的关系 2运算规则 （1）（2）（3）（4）3概率满足的三条公理与性质：（1） （2）（3）对互不相容的事件，有 （可以取）（4） （5）（6），若，则，（7）（8）4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1） 定义：若，则（2） 乘法公式：若为完备事件组，则有（3） 全概率公式：（4） Bayes公式：7事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）=1（3）对任意，2 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；（2）；（3）对任意，3 几个常用随

2、机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布，二项式分布，Poisson分布几何分布均匀分布，指数分布正态分布4 分布函数 ，具有以下性质 （1）；（2）单调非降；（3）右连续； （4），特别； （5）对离散随机变量，； （6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （1）；（2）；（3）若，则； （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则6 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加； （2）连续，在的取值围严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 ，

3、 ；(2) 连续时，；(3) 二维时，(4)；（5）；（6）；（7）独立时，2方差（1）方差，标准差；（2）；（3）；（4）独立时，3协方差（1）；（2）；（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4相关系数 ；有，5 阶原点矩， 阶中心矩第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev不等式 或2大数定律3中心极限定理 （1）设随机变量独立同分布，则， 或 或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，则对任意，有或理解为若，则第六章 样本与抽样分布1总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2） 样本数字特征： 样本均值（

4、，）； 样本方差（）样本标准差 样本阶原点矩，样本阶中心矩2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状与分位点定义） （1）分布 ，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则； （2）分布 ，其中且独立； （3）分布 ，其中且独立，有下面的性质 4正态总体的抽样分布（1）； （2）；（3）且与独立； （4）；（5），（6）第七章 参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解

5、回到（1）直接求最大值，一般为min或max）3估计量的评选原则(1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间已知未知未知复习资料一、 填空题（15分）题型一：概率分布的考察相关公式（P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（E）方差（D）（01）分布二项分布负二项分布几何分布超几何分布泊松分布均匀分布相关例题1、 设，则求a，b的值。2、 已知,则求n，p的值。题型二：正态总体均值与方差的区间估计相关公式（P163）相关例题1、 （样本容量已知）2、 （样本容量未知）题型三：方差的性质相关公式（P103）相关例题1

6、、题型四：相关公式（P140、P138）相关例题1、2、题型五：互不相容问题相关公式（P4）相关例题1、二、 选择题（15分）题型一：方差的性质相关公式（见上，略）相关例题（见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以与条件概率密度（见下，略）题型五：对区间估计的理解（P161）题型六：正态分布和的分布相关公式（P105）相关例题题型七：概率密度函数的应用相关例题设已知三、 解答题（70分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。相关公式v 全概率公式：v 贝叶斯公式：相关例题1、P19 例5某电子设备制造厂设用的元件

7、是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：（1） 在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；（2） 在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。（见下）2、袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽），在袋中任意取一枚，将他掷r次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为

8、A1），损坏10%（这一事件记为A2），损坏90%（这一事件记为A3），且知P（A1）=0.8，P（A2）=0.15，P（A3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），（见下）4、 将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出其他字母的概率都是（1-）/2.今将字母串AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p1、p2、p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA。问输入AAAA的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的。）题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、 求

9、概率密度相关公式已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式：，且对于任意实数，有：。相关例题（1）设随机变量X的分布函数为： FX（X）= （见下）（2），是确定常数A。（3）设随机变量X具有概率密度f(x)= ，求X的分布函数。 0,其他解： 0，x02、 正态分布(高斯分布)相关公式（1）公式其中：（2） 若（3） 相关概率运算公式：相关例题1、 （P58 27）某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg计）服从N（110,122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X，求：（1）（2）确定最小的2、 由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数的正态分

10、布，规定长度在围为合格品，求一螺栓为不合格的概率。（见下）题型三：二维随机变量的题型相关公式相关例题1、 （P84 3）设随机变量（X,Y）的概率密度为：yx0442y=4-x（见下）2、 （P86 18）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在区间（0,1）上服从均匀分布，Y的概率密度为： 1,0x1 0,其他3、 （P87 25）设随机变量X，Y相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度均为 0，其他求Z=X+Y的概率密度。4、 （P87 26）设随机变量X,Y相互独立，它们的概率密度为 0，其他求Z=Y/X的概率密度。题型四：最大似然估计的求解相关公式相关例题1、 设概率密度为：2、 （P

11、174 8）的总体的样本，未知，求的最大似然估计。题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验相关公式相关例题1、 （P218 3）某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在=0.01下能否承受假设，这批矿砂的镍含量的均值为3.25.2、（P220 12）某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005，尽在一批导线中取样品9根，测得s=0.007，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平=0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大？模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A

12、) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|) = 0.85, 则P(A|) = P( AB) = 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：；3、一间宿舍住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X的密度函数为：, 则常数A=, 分布函数F(x)= , 概率；5、设随机变量X B(2，p)、Y B(1，p)，若，则p = ，若X与Y独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设且X与Y相互独立，则D(2X-3Y)=, COV(2X-3Y

13、, X)=；7、设是总体的简单随机样本，则当时，；8、设总体为未知参数，为其样本，为样本均值，则的矩估计量为：。9、设样本来自正态总体，计算得样本观察值，求参数a的置信度为95%的置信区间：；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X的密度函数为： 求：1）；2）的密度函数；3）；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1） 求边缘密度函数；2） 问X与Y是否独立？是否相关？3） 计算Z = X + Y的密度函数； 3、（11分）设总体X的概率密度函数为： X1,X2,Xn是取自总体X的简单随机样本。1） 求参数的极大似然估计量；2） 验证估计量是否是参数的无偏估计量。三、

14、 应用题（20分）1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5，假定有害物质含量X服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定()？附表：模拟试题二一、填空题(45分，每空3分) 1设 则 2设

15、三事件相互独立，且，若，则。 3设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用表示取出的3件产品中的次品件数，则的分布律为。4设连续型随机变量的分布函数为 则，的密度函数。 5设随机变量，则随机变量的密度函数 6设的分布律分别为 -1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2且，则的联合分布律为。和 7设，则，。8设是总体的样本，则当，时，统计量服从自由度为2的分布。 9设是总体的样本，则当常数时，是参数的无偏估计量。 10设由来自总体容量为9的样本，得样本均值=5，则参数的置信度为0.95的置信区间为。二、计算题(27分) 1(15分)设二维随机变量

16、的联合密度函数为（1） 求的边缘密度函数；（2） 判断是否独立？为什么？（3） 求的密度函数。 2(12分)设总体的密度函数为其中是未知参数，为总体的样本，求（1）参数的矩估计量； （2）的极大似然估计量。三、应用题与证明题(28分) 1(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。 2(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩分，标准差分

17、，问在显著性水平下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。3(8分)设，证明：相互独立。附表：模拟试题三一、填空题（每题3分，共42分） 1设 若互斥，则；独立，则；若，则。 2在电路中电压超过额定值的概率为，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为； 3设随机变量的密度为，则使成立的常数； 4如果的联合分布律为 Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 则应满足的条件是，若独立，。5设，且 则，。6设，则服从的分布为。7测量铝的比重16次，得， 设测量结果服从正态分布，参数未知，则铝的比重的置信度为95%

18、的置信区间为。二、（12分）设连续型随机变量X的密度为： （1）求常数； （2）求分布函数； （3）求的密度三、（15分）设二维连续型随机变量的联合密度为（1）求常数； （2）求的边缘密度；（3）问是否独立？为什么？（4）求的密度； （5）求。四、（11分）设总体X的密度为其中是未知参数，是来自总体X的一个样本，求（1） 参数的矩估计量；（2） 参数的极大似然估计量；五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态

19、分布，得到的10个测定值给出，试问可否认为水份含量的方差？（）附表：模拟试题四一、填空题（每题3分，共42分） 1、 设、为随机事件，则与中至少有一个不发生的概率为；当独立时，则2、 椐以往资料说明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：=0.6，=0.5，=0.4，那么一个三口之家患这种传染病的概率为。3、设离散型随机变量的分布律为：，则=_。4、若连续型随机变量的分布函数为则常数，密度函数5、已知连续型随机变量的密度函数为，则， 。 。6、设， ，且与独立， 则)=。7、设随机变量相互独立，同服从参数为分布的指数分布，令的相关系数。则, 。（注：）二、计算题（34分）1、 （18分）设

20、连续型随机变量的密度函数为 （1）求边缘密度函数； （2）判断与的独立性； （3）计算；（3）求的密度函数2、（16分）设随机变量与相互独立，且同分布于。令。（1）求的分布律； （2）求的联合分布律；（3）问取何值时与独立？为什么？三、应用题（24分）1、 （12分）假设一部机器在一天发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周的期望利润。2、 （12分）将、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母，之一输入信道，

21、输入，的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为，问输入的是的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。答 案（模拟试题一）四、 填空题（每空3分，共45分）1、0.8286 ，0.988 ； 2、2/3 ； 3、，；4、1/2, F(x)= ， ；5、p = 1/3， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)=43.92, COV(2X-3Y, X)=3.96 ； 7、当时，； 8、的矩估计量为：。9、9.216，10.784； 五、 计算题（35分）1、解 1） 2） 3）2、解：1）2）显然，所以X与Y不独立。

22、 又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X与Y不相关。3）3、解1） 令 解出： 2）的无偏估计量。 六、 应用题（20分）1解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B表示“迟到”，已知概率分别等于1/4，1/3，1/2，0 则，由概率判断他乘火车的可能性最大。2 解：（）， 拒绝域为： 计算， 所以，拒绝，说明有害物质含量超过了规定。 答 案（模拟试题二）一、填空题(45分，每空3分)1 23 0 1 2 6/11 9/22 1/224， 56 0 1 -1011/4 00 1/2

23、1/4 078；9； 10. 二、计算题(27分)1（1）（2）不独立 （3）2（1）计算 根据矩估计思想， 解出：； （2）似然函数 显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。用分析的方法。因为，所以，即所以，当时，使得似然函数达最大。极大似然估计为。三、1解：（1）设表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3） 设表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件； （2）2 解： （）， 拒绝域为： 根据条件，计算并比较所以，承受，可以认为平均成绩为70分。 3(8分)证明：因为相互独立 答 案（模拟试题三）一、填空题（每题3分，共42分） 1 0.5

24、； 2/7 ； 0.5 。 2； 3； 15/16； 4， 2/9 ， 1/9 ， 17/3 。5 6 ， 0.4 。 6。 7 (2.6895, 2.7205) 。二、解：（1）（2）（3）Y的分布函数三、解：（1）， （2）（3）不独立； （4）（5）四、解：（1） 令，即 解得。 （2），解得五、解：设=某机床为车床，；=某机床为钻床，；=某机床为磨床，；=某机床为刨床，； =需要修理， 则。六、解：拒绝域为：计算得，查表得样本值落入拒绝域，因此拒绝。附表：答 案（模拟试题四）一、填空题（每题3分，共42分） 1、 0.4；0.8421 。 2、0.12。3、， 。 4、， 。5、3，

25、5 ，0.6286 。 6、2.333。7、, 3/5 。 二、1、解 （18分）（1） （2）不独立（3） 2、解（1）求的分布律； （2）的联合分布律：0 1 0 1 （3）当 时，X与Z独立。三、应用题（24分）1、解：设表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则，分布律为： 设（万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，的分布律 则（万元）。 2、解：设分别表示输入，的事件，表示输出为的随机事件。由贝叶斯公式得：07试题一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1. 设为随机事件,则210件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为3设随机变量在区间上服从均匀分布

26、,则的概率密度函数为4设随机变量的期望,方差,则期望5. 设随机变量服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得.6. 设是来自正态总体的样本,则当时, .二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分） 1设为对立事件, 则以下概率值为1的是( )(A) ;(B);(C) ;(D)2. 设随机变量,概率密度为,分布函数,则以下正确的是( )(A); (B) ; (C) , ; (D) , 3. 设是随机变量的概率密度,则一定成立的是( )(A) 定义域为; (B)非负; (C) 的值域为; (D) 连续 4. 设,则( )

27、(A) ; (B) ; (C); (D) 5. 设随机变量的方差,相关系数,则方差 ( )(A) 40; (B)34; (C) 17.6; (D) 25.66. 设是正态总体的样本,其中已知,未知,则以下不是统计量的是( )(A) ; (B); (C); (D) 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）1甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不与格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,(1) 求恰有2位同学不与格的概率；(2) 若已知3位同学中有2位不与格,求其中1位是同学乙的概率.2已知连续型随机变量的分布函数为,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的密度函数;(3) 3设

28、随机变量与相互独立,概率密度分别为:,求随机变量的概率密度4设二维随机变量的密度函数： （1）求常数的值；（2）求边缘概率密度；（3）和是否独立?5 . 设二维随机变量的概率密度函数：求（1）数学期望与；（2）与的协方差6 . 设总体概率密度为，未知，为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量.四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）1. 设任意三个事件,试证明:06试题一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1. 设为随机事件,则2设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是3设, 且与相互独立, 则4设随机变量上服从均匀分布,则关于未知

29、量的方程有实根的概率为_5. 设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分） 1设事件相互独立,且,，则有(A) ;(B);(C) ;(D)2. 设,那么概率(A) 随增加而变大; (B) 随增加而减小； (C) 随增加而不变; (D) 随增加而减小 3. 设,则(A) ; (B) ; (C) ; (D) 4设相互独立，服从上的均匀分布，的概率密度函数为，则(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 设总体,是取自总体的一个样本, 为样本均值，则不是总体期望的无偏估计量的

30、是(A) ; (B) ; (C); (D) 三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80，10，10，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.2已知随机变量的密度为,且,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的分布函数3设二维随机变量有密度函数： （1）求边缘概率密度；（2）求条件密度；（3）求概率.4 . 设随机变量独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设, 求随机

31、变量与的相关系数5 . 设总体为二项分布，未知，为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1. 设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立2. 设总体为, 期望,方差,是取自总体的一个样本, 样本均值,样本方差,证明:是参数的无偏估计量06答案一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1. 2/3 217/45 335 45/6 5. 4/5二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分） 1. (B) 2(D) 3(C) 4(D) 5. (D)三、计算题（

32、本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1解:设表示“顾客买下该箱产品”，分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件” 则80，1010，1，(3分)由全概率公式得：448/475，(7分)由贝叶斯公式得：95/112 (10分)2解: (1) 由, 解得 (4分) (2),当时,，当时, 当时,， 所以 (10分)3解: （1） (4分)(2) 当时,=当时, (8分)(3) (10分)4 .解:, (8分)=3/5 (10分)5 .解：由，得的矩估计量 (4分)似然函数为，由，得极大似然估计量 (10分) 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1. 证明：由于事件相互独立，所以，

33、(2分)所以即,所以事件与也相互独立 (5分)2. 证明：，是取自总体的一个样本，所以，所以，即是参数的无偏估计量(5分)07答案一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1. 0.1 20.4 3. 4 54 5. 1/2 6. 1/20二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分） 1. (C) 2(B) 3(B) 4. (A) 5. (D) 6. (C)三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）1解:设分别表示 “甲,乙,丙同学不与格”, 则，由题意相互独立 (2分)(1) 事件“恰有2位同学不与格” 为: ，所以=0.188 (6分)(2)=33/47 (10分)2解: (1) 由右连续性得，即, 又由得， 解得 (5分) (2), (8分)(3) (10分)3解:由于随机变量与相互独立,所以的密度函数为 (2分) (10分)4解: （1）由，得 (2分)(2) (5分) (9分)(3) ，不独立(10分)5 .解:,(2分) ,(4分) (6分)，所以=3/160, (10分)6 .解：(1)由，得的矩估计量 (5分)(2)似然函数为，由，得极大似然估计量 (5分) 四、证明题（本大题共2小题，每小题4分，共4分）1. 证明：因为,又由于,，所以，,所以,即 (4分)42 / 42