福建师范大学22春《常微分方程》综合作业一答案参考10

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1、福建师范大学22春常微分方程综合作业一答案参考1. 函数x=xy(1-x-y)的极值点是_ (A)(0，0) (B)(0，1) (C)(1，0) (D)(，)函数x=xy(1-x-y)的极值点是_(A)(0，0)(B)(0，1)(C)(1，0)(D)(，)D因为=y(1-2x-y)，=x(1-x-2y) 令，即 解得：， 又因为 ， 当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，0)不是极值点 当(x，y)=(0，1)时，A=-2，B=-1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，1)不是极值点 当(x，y)=(1，0)时，A=0，B=-1，C=-2，B2

2、-AC=10，所以点(1，0)不是极值点， 当(x，y)=(，)时，A=-，B=-，C=-，B2-AC=-0且A0，所以，点(，)是函数的极大值点 故应选(D). 2. 在计算机时代，_ 已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。在计算机时代，_ 已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。参考答案计算方法3. 现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年的半年换算名收益率为9%，计算该债券

3、的价格所有息票的现值为 而兑现值的现值为 1050(1+0.05)-10(1+0.045)-10元=415.08元， 故所求债券价格为 528.33元+415.08元=943.41元 4. 设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角正确答案：aca(ab)b(aa)a(ab)bca(bb)b(ba)b(ba)5. 设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|C)设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P

4、(B|C)依次证明P(ABC)=0，P(AB|C)=0再用例1.176. a是a与0的一个最大公因数。( )a是a与0的一个最大公因数。( )正确答案：7. 设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力msg:,data:,voicepath:8. 以下两种陈述有何差别? (1)A1，An有一个发生； (2)A1，An恰有一个发生以下两种陈述有何差别?(1)A1，An有一个发生；(2)A1，An恰有一个发生在陈述(1)，(2)中都包含了A1，An只发生一个的情

5、况但在陈述(2)排除了A1，An中有2个或2个以上同时发生的情况，而对陈述(1)并未将这些情况排除在外，事实上我们可表述如下： A1，An有一个发生=A1An， 9. 设f(x)存在，求下列函数y的二阶导数：设f(x)存在，求下列函数y的二阶导数： $ 10. 设向量组 1，2，s线性无关 (1) 1，2，s线性无关 (2) 且向量组(2)能被向量组(1)线性表示。求证设向量组1，2，s线性无关(1)1，2，s线性无关(2)且向量组(2)能被向量组(1)线性表示。求证：向量组(1)能被向量组(2)线性表示。因为1，2，s可以看作是向量组1，2，s，1，2，s的极大线性无关组，因此r(1，2，s

6、,1，2,.，s)=s。又因为向量组1，2，s线性无关，所以1，2，s亦是1，2，s,1，2，s的一个极大无关组，因此向量组(1)能被向量组(2)线性表示。11. 在有界闭区域D上的多元初等函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。( )A.正确B.错误参考答案：A12. 一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为( )A.正面，反面B.(正面，正面)、(反面，反面)C.(正面，反面)、(反面，正面)D.(正面，正面)、(反面，正面)、(正面，反面)、(反面，反面)参考答案：D13. 直线y=0是曲线y=e-x的水平渐近线。( )A.正确B.错误参考答案：A14. 多元复合

7、函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?多元复合函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?多元复合函数的求导法则，虽然因复合情形不同，造成求导形式各异，但其本质特征是一致的掌握了求导公式的本质特征，就能正确地运用于各种情形下面以含2个中间变量、2个自变量的复合函数的求导法则为例，来分析它的本质特征 设 u=(x，y)，v=(x，y)，z=f(u，v)，复合函数z=f(x，y)，(x，y)有偏导数 ， 对这一求导法则，我们简称为22法则或标准法则，从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下： (1)由于函数z=f(x，y)，

8、(x，y)有两个自变量，所以法则中包含与共两个偏导数公式； (2)由于函数的复合结构中有两个中问变量，所以每一偏导数公式都是两项之和这两项分别含有 (3)每一项的构成与一元复合函数的求导法则类似，即“因变量对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数” 由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量为直观地显示变量之间的复合结构，我们可用结构图(也称树形图)图来表示出因变量z经过中间变量u，v再通向自变量x，y的各条途径 按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广到m个中间变量n个自变量的情形(如图)： 设函数z=f(u1，u

9、2，um)具有连续偏导数，而ui=i(x1，x2，x3)(i=12，m)可偏导，则复合函数z=f1(x1，x2，xn)，m(x1，x2，xn)具有偏导数，且 15. 设向量组1，2，3线性无关，则12，23，31也线性无关设向量组1，2，3线性无关，则1+2，2+3，3+1也线性无关16. 设原问题为 min f=5x1-6x2+7x3+4x4， stx1+2x2-x3-x4=-7， 6x1-3x2+x3-7x414， -28x1-17x2+4x3+2x4-3,设原问题为minf=5x1-6x2+7x3+4x4，stx1+2x2-x3-x4=-7，6x1-3x2+x3-7x414，-28x1-

10、17x2+4x3+2x4-3,x1，x20，x3，x4无符号限制把不等式约束统一成的形式为清楚起见，列出表格，如表3-4所示 表3-4 于是可写出它的对偶规划为 max g=-7u1+14u2+3u3， s.t u1+6u2+28u35, 2u1-3u2+17u3-6， -u1+u2-4u3=7， -u1-7u2-2u3=4， u1无符号限制，u20，u30 17. 定积分是微分的逆运算。( )A.正确B.错误参考答案：B18. 当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(sinx)-sin(tanx)当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(si

11、nx)-sin(tanx)首先建立展式 事实上，将tanx表为 并利用展式2)、3)、4)，得 即为所求的结果 利用此公式以及先前的展式得 由此得 19. 试证明： 设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(试证明：设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(x)的充分且必要条件是：证明 必要性 依题设知，对任给0，/2，存在N，使得 m(xE:|fk(x)-f(x)|)/2 (kN). 从而得+m(xE：|fk(x)-f(x)|)(kN

12、)对取下确界更成立，再令k也然，由此即得所证 充分性 记Ek()=xE：|fk(x)-f(x)|，由假设知，对任给0，存在N，当kN时有从而对每个k：kN，可取k0，使得k+m(Ek(k)，自然有k(kN).现在令，则(kN)因此，对任给0，0，存在N，使得 m(xE：|fk(x)-f(x)|) (kN) 这说明fk(x)在E上依测度收敛于f(x) 20. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x。( )A.错误B.正确参考答案：A21. 设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，

13、PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：证明必要性 设YM则x，yH有PMxM，PY(PMx)Y注意到正交投影算子是自共轭幂等的，故有 PYPMx2=PYPMx，PYPMx=PMx，PMx =PMx，PYPMx=0，因此PYPM= 充分性 设PYPM=由于PM是H到M的正交投影，xM，有x=PMx，于是=PYPMx=PYx由于PY是H到Y的正交投影，此式表明xY因此MY$必要性 设PY+PM是正交投影算子由 PY+PM=(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+ =PY+PYPM+PMPY+PM得到PYPM+PMPY=将此式分别左乘PY与右乘PY，有 PYPM=-PYPMPY，PMPY

14、=-PYPMPY 因此PYPM=PMPY= 充分性 设PYPM=，则PYPMPY=于是xH有 PMPYx2=PMPYx，PMPYx=PYx，PYx =x，PYPMPYx=0 这表明PMPY=由此得(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+=PY+PM，即PY+PM是幂等的，且x，yH有 (PY+PM)x，y=PYx，y+PMx，y=x，PYy+x，PMy =x，(PY+PM)y， 即PY+PM是自共轭的因此PY+PM是正交投影算子$必要性 设PY-PM是正交投影算子，xM，则PMx=z，且 x2PYx2=PYx，x=(PY-PM)x，x+PMx，x =(PY-PM)x2+PMx2 =PYx-x2

15、+x2 因此PYx-x=，即PYx=x，xY因此 充分性 设对任意xH有PMx故PYPMx=PMx，即PYPM=PM另一方面，设x=PYx+y，yY；且x=PMx+m，mM则由yM可知(y-m)M，即(PY-PM)x=m-y与M正交注意到PYx=PMx+(PY-PM)x为PYx关于M的正交分解，从而有PMPYx=PMx，即PMPY=PM于是 (PY-PM)2=-PYPM-PMPY+ =PY-PM-PM+PM=PY-PM， 即PY-PM是幂等的又对任意x，yH有 (PY-PM)x，y=PYx，y-PMx，y=x，PYy-x，PMy =x，(PY-PM)y， 即PY-PM是自共轭的因此PY-PM是

16、正交投影算子$必要性 设PYPM是正交投影算子，则PYPM是自共轭的，于是有 PYPM=(PYPM)*=PMPY 充分性 设PYPM=PMPY，则(PYPM)*=PMPY=PYPM，PYPM是自共轭的又有(PYPM)2=PYPMPYPM=PYPM，即PYPM是幂等的因此PYPM是正交投影算子$记Qn=Pi，则由(2)利用数学归纳法可知Qn是正交投影算子由于对任意xH有(Pix，Pjx)=PjPix，x=0(ij)，故 = 令n可知又因(m，n)，故Pix是Cauchy列由H的完备性，可令Px=则由此式定义的算子P是线性的由于Qn是逐点有界的利用共鸣定理可知Qn一致有界于是P是有界的由于x，yH

17、有 故P是自共轭的；又有 (P2-P)x=(P2-QnP+QnP-+Qn-P)x (P-Qn)(Px)+Qn(P-Qn)x +(Qn-P)x0(n)，故P2=P，即P是幂等的因此P是正交投影算子 22. 设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数.试问：当a1，a2，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?

18、解法1 由f的定义知，对任意的x1，x2，xn，有f(x1，x2，xn)0，其中等号成立当且仅当 齐次线性方程组(5-20)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，对于任意不全为零的x1，x2，xn，都有f(x1，x2，xn)0，即当1+(-1)n+1a1a2an0时，二次型f为正定二次型. 解法2 令矩阵 当|C|=1+(-1)n+1a1a2an0时，C为满秩矩阵，因此通过满秩线性变换 即 就可将f化成规范形 可见f的正惯性指数为n，故f为正定的.所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，f为正定二次型.读者试利用反证法说明：1+(-1)n+

19、1a1a2an0也是二次型f正定的必要条件. 23. 曲线y=lnx/x的渐近线为( )。A.y=0B.y=1C.x=0D.x=1参考答案：AC24. 函数在f(x)在x处有定义，是当xx时f(x)有极限的充分必要条件。( )A.错误B.正确参考答案：A25. 求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程26. 已知z=2cos3x-5ey，则x=0，y=1时的全微分dz=( )A.6dx-5edyB.6dx+5edyC.5edyD.-5edy参考答案：D27. 如果函数f(x，y)在点P0(x0，y0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否

20、断定f(x，y)在点P0连续？如果函数f(x，y)在点P0(x0，y0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否断定f(x，y)在点P0连续？不能例如，函数 在点(0，0)处沿任一方向el=(cos，cos)的方向导数都存在，且 当cos0时， 当cos=0时， 而，故f(x，y)在点(0，0)处不连续 反过来，由函数在一点处的连续性也不能推出函数在该点沿各方向的方向导数均存在，例如，问题2中提到的函数在(0，0)处连续，但它沿方向l：el=(cos，cos(coscos0)的方向导数并不存在. 28. 在一次考试中，某班学生数学的及格率是0.7，外语的及格率是0.8，且这两门课学生及格与否相互独立

21、现从该班中任在一次考试中，某班学生数学的及格率是0.7，外语的及格率是0.8，且这两门课学生及格与否相互独立现从该班中任取一名学生，求该生的数学、外语两门课中只有一门及格的概率记A=该学生数学及格，B=该学生外语及格 由题意，A与B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.8 所求概率为： 题中不相容，而，注意理解其区别，不要相混。所求的是“只有一门课及格”的概率，勿写成P(AB)(“AB”是“至少一门课及格”) 29. y=1/(x-2)有渐近线( )。A.x=2B.y=2C.x=-2D.x=0参考答案：A30. 试列举所熟悉的一些代数系统试列举所熟悉的一些代数系统例如，(N，+)，(Q，

22、-)，(R，)，(R-0，)31. 甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数各有5种取法，因此共有25种取法，即样本空间含基本事件总数为25；下求A=甲取得数大于乙取得数含基本事件数，当甲取10时，乙只能取1，3，5，7，9共5种取法；甲取8时，乙只能取1，3，5，7共4种取法，同理当甲取2，4，6时，乙分别只有1，2，3种取法，故A含基本事件数为：1+2+3+4+

23、5=15，因此 32. 曲线y=f(x)关于直线y=x对称的必要条件是( )A.f(x)=xB.f(x)=1/xC.f(x)=-xD.ff(x)=x参考答案：D33. 设(，)的联合密度函数为 试求：设(，)的联合密度函数为试求：$因为Cov(，)0，所以与不独立 相关系数为 34. 下列集合中为空集的是( )A.x|ex=1B.0C.(x，y)|x2+y2=0D.x|x2+1=0，xR参考答案：D35. 多元函数z=f(x，y)=sin(xsiny)的全微分dz=sinycos(xsiny)dx+xcosysin(xsiny)dy。( )A.正确B.错误参考答案：A36. 试用V函数判断下列

24、微分方程组零解的稳定性： x&39;=y+x-x3，y&39;=-x-y3试用V函数判断下列微分方程组零解的稳定性：x=y+x-x3，y=-x-y3当0时取定正函数V=x2+y2，因V=2x2-2(x4+y4)定负，方程组的零解渐近稳定而当0时因线性近似方程组的特征方程2-+1=0的根有正根，方程组零解不稳定37. 下列函数F(x)是的一个原函数的为( )。 AF(x)=ln2x B CF(x)=ln(2x) D设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的一个原函数，则（ ）A.当f（x）为单调函数时，F（x）必为单调函数B.当f（x）为奇函数时，F（x）必为偶函数C.当f（x）为有界函数时，F

25、（x）必为有界函数D.当f（x）为周期函数时，F（x）必为周期函数Ab38. 求下列微分方程的通解 x3y&39;-x2y+2xy&39;-2y=x3+3x求下列微分方程的通解x3y-x2y+2xy-2y=x3+3x令x=e，即=Inx，于是 ， 代入原方程可得 对应的齐次方程的通解为 又 ，分别为非齐次线性微分方程与的特解，故方程(*)的通解为令=Int，则原方程的通解为 39. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于( ) (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-

26、1)-1等于()(A) BAB-E(B) ABA-E(C) ABA-A(D) BAB-BC(A-B-1)-1-A-1)(ABA-A) =(B(AB-E)-1-A-1)(ABA-A) =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E 40. Fx中，不与x1相伴的是A、2x2B、3x3C、3x3D、2x2Fx中，不与x-1相伴的是A、2x-2B、3x-3C、3x+3D、-2x+2正确答案： C41. 设函数，试问当a、b为何值时，f(x)为可导函数，并写出导函数f&39;(x)设函数，试问当a、b为何值时，f(x)为可导函数，并写出导函数f(x)a=2，b=1，42. 微分方程xln

27、xyy的通解是 AyC1xlnxC2ByC1x(lnx1)C2CyxlnxDyC1x(lnx1)2微分方程xlnxyy的通解是 AyC1xlnxC2ByC1x(lnx1)C2CyxlnxDyC1x(lnx1)2正确答案：B43. 当x0时，下列函数是无穷大量的是( )。A.1/exB.sinx/xC.lnxD.1/x参考答案：D44. 证明：无向简单图中一定存在度数相同的两个结点证明：无向简单图中一定存在度数相同的两个结点因为在n个结点的简单图的度序列(d1，d2，dn)中，d1d2dnn-1，若d1，d2，dn中没有两个相等，则(d1，d2，dn)=(0，1，2，n-1)删去G中的孤立结点v

28、0(deg(v0)=0)，余下的子图G有n-1个结点且存在度为n-1的结点，故G不是简单图这与前提矛盾，故d1，d2，dn中至少存在两个相等的度数，即存在两个等度结点45. 设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证(如图所示)因为 ， 以上各式相加得 由于2，所以 46. 在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心$047. 已知直线方程 L1： L2： 验证它们相交，并求它们所确定的平面方程已知直

29、线方程L1：L2：验证它们相交，并求它们所确定的平面方程因为M1(1，1，0)是L1上的点，M2(-1，-2，-1)是L2上的点所以 因为 2，3，1)不平行于-1，1，1 故L1与L2相交 设M(x，y，z)是所求平面的任一点那么平面方程为 即 2x-3y+5z+1=0 48. 若数列收敛，则该数列的极限惟一。( )A.正确B.错误参考答案：A49. 讨论函数在点x=0处的连续性与可导性讨论函数在点x=0处的连续性与可导性当1a0时，因为所以f(x)在点x=0处连续 因为极限不存在所以f(x)在点x=0处不可导，若函数f(x)在点x0处可导时，则f(x)在点x0处连续，反之未必 50. 多项

30、式3x44x3x22的首项系数是A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0多项式3x4+4x3+x2+2的首项系数是A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： C51. 在某一试验中变更条件xi四次，测得相应的结果yi示于表71，试为这一试验拟合一条直线，使其在最小二乘意义上最在某一试验中变更条件xi四次，测得相应的结果yi示于表7-1，试为这一试验拟合一条直线，使其在最小二乘意义上最好地反映这项试验的结果(仅要求写出数学模型)。表7-1xi2468yi135652. 无穷小量是一种很小的量。( )A.正确B.错误参考答案：B53. 利用夹逼准则，求(a0)利用夹逼准则，求(a0)当a1

31、时，而(n)，由夹逼准则知. 当0a1时，而(n)，由夹逼准则知所以 54. 试证明： 设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的rQ，点集xR1：f(x)=r必为闭集，则fC(R1)试证明：设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的rQ，点集xR1：f(x)=r必为闭集，则fC(R1)证明 反证法，假定x0R1是f(x)的不连续点，即存在00以及xnx0(n)，使得 |f(xn)-f(x0)|0，|xn-x|1/n 不妨设f(x0)f(x0)+0f(xn)(nN)，取rQ：f(x0)rf(x0)+，则由题设知，存在n(位于x0与xn之间)，使得f(n)=r现在令n，根据点集x：f(x)=r的闭集

32、性，可知f(x0)=r这一矛盾说明fC(R1) 55. 微分方程yy=x21sinx的特解形式可设为( ) Ay*=ax2bxcx(AsinxBcosx) By*=x(ax2bxcAsin微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()Ay*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)Cy*=ax2+bx+c+AsinxDy*=ax2+bx+c+AcosxA56. 设函数f(x)=x+1，当0xA.跳跃间断点B.可去间断点C.连续但不可导点D.可导点参考答案：C57. 我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)

33、的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的切向量为x(t)的主法向量试将它推广到空间R3正确答案：设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量其中=(nV2)为n(t)与V2(t)的夹角称直线y(t)=x(t)+n(t) (R)为该曲线在点x(t)处的法线显然主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义 如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间

34、R3中的曲线则y(t)的渐伸线为 其中c为常数分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线所以(t)+y(t)=0积分得因此y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb)则x(t)的渐缩线为其中k(t)V2(t)V3(t)分别为x(t)的曲率主法向量从法向量；而0=(t0)是任意常数0取不同的值就得到不同的渐缩线rn证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t)其中n(t)=cos(t).V2(t)+si

35、n(t)V3(t) (t)=(n(t)V2(t)因为rn根据定理222y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线故y(t)的切线是x(t)的法线从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面它是可展曲面再根据定理221有因为y(t)为x(t)的渐缩线所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是上式两边点乘V1(t)得到0=1一(t)(t)cos(t)即此外从前式知cos(t)0且x(t)的渐缩线为设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量,其中=(n,V2)为n(t)与V2(t)的夹角,称直线y(t)=x(t)+n(t)(R)为该曲线在点x(t)处的法

36、线显然,主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线,则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线,则y(t)的渐伸线为,其中c为常数,分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的,并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为,两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线,所以(t)+y(t)=0积分得因此,y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb),则x(t)的渐缩线为其中k(t),V2

37、(t),V3(t)分别为x(t)的曲率,主法向量,从法向量；而0=(t0)是任意常数,0取不同的值就得到不同的渐缩线证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t),其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t),(t)=(n(t),V2(t)因为根据定理222,y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线,故y(t)的切线是x(t)的法线,从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面,它是可展曲面再根据定理221,有因为y(t)为x(t)的渐缩线,所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是,上式两边点乘V1(t),得到0=1一(t)(t)cos(t)

38、,即此外,从前式知cos(t)0,且x(t)的渐缩线为58. 离散型随机变量X仅取两个可能值x1，x2，且x2x1，X取x1的概率为0.6，又已知E(X)=1.4 D(X)=0.24则X的分布律为(离散型随机变量X仅取两个可能值x1，x2，且x2x1，X取x1的概率为0.6，又已知E(X)=1.4 D(X)=0.24则X的分布律为()AX01P0.40.4BXabP0.60.4CXnn-1P0.60.4DX12P0.60.4D59. 设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_860. 仿射变换把圆变成_。仿射变换把圆变成_。参考答案：椭圆