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1、 . 第五讲 常用分布一、考试要求 1.掌握二项分布、泊松分布与其均值、方差和标准差以与相关概率的计算。 2.了解超几何分布。 3.掌握正态分布的定义与其均值、方差和标准差，标准正态分布的分位数。 4.熟悉标准正态表的用法二、容讲解四、常用分布(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。1二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件:(1)重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。(2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。(3)每次试验仅有两个可能的结果，
2、比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。(4)每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1- p。在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0，1，n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为:这个分布称为二项分布，记为，其中是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：二项分布的均值、方差与标准差分别为： 特例：n=1的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：或列表如下：X0 1P1-pp它的均值、方差与标准差分别为例1.2-10在个制造过程中，不合格品率为O.1，如今从成品中随机取出6个，记X
3、为6个成品中的不合格品数，则X服从二项分布，简记为。现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功”，则事件X=1的概率为：这表明，6个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3543。类似可计算X=0，X=1，X=6的概率，计算结果可列出一分布列，具体如下：X 0 1 2 3 4 5 6P0.5314 0.3543 0.0984 0.0146 0.0012 0.0001 0.0000这里0.0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零，实际上，它的概率为P(X=6)=0.000001，并不严格为零。还可以画出一线条图(图1.27(a)来表示这个分布(共有
4、7个取值)。图上的横坐标为X的取值，纵轴为其相应概率。从此图上可以看出分布的形态，哪些上的概率大，哪些上的概率小。假如改变成功概率p，其线条图亦会改变。比如，连抛六次硬币，其中正面出现次数。通过计算可画出其线条图(见图127(b)，此图是对称的，如P(X=2)=P(X=4)=0.2343。(2)不超过1个不合格品的概率为： P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=0.5314+0.3543=O.8857 这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0.8857。 在实际中经常需要求形如“”的概率，在概率论中把事件“”的概率称为X的分布函数，也称为累积分布函数，记为F(X)，即：对二项分布的分布
5、函数已编制了数表，详见附表11，此表可帮助我们计算二项概率，例如从附表1-1中可查得： P(X1)=0.8857， P(X4)=0.9999于是可算得： P(10)，又令X表示某特定单位出现的点数，则X取值的概率为：这个分布就称为泊松分布，记为P()，其中e为自然对数的底，即2.71828泊松分布的均值与方差(在数量上)是相等的，均为，即： E(X)= ，Var(X)= ，(1.2-6)例1.211 某大公司一个月发生的重大事故数X是服从泊松分布的随机变量，根据过去事故的记录，该大公司在一个月平均发生1.2起重大事故，这表明：X服从=1.2的泊松分布，现考察如下事件的概率： (1)在一个月发生
6、1起重大事故的概率为：类似地也可计算X取其他值的概率，现罗列于如下分布列中：此例中，X理论上也可以取8，9，等值。由于取这些值的概率的前三位小数皆为零，甚至更小，已无多大实际意义，故可不列出，当作不可能事件处理。也可把此8个概率画一线条图，如图1.28。(2)在一个月发生重大事故超过2起的概率为：这表明，该公司在一个月发生重大事故超过2起的概率为O.121。 (3)泊松分布P(1.2)的均值、方差与标准差分别为：3超几何分布从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布。设有N个产品组成的总体，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回地抽取n个产品，则其中不合格品的个数X是一个离散随机变量，假
7、如nM，则X可能取0，1，n；若nM，则X可能取0，l，M，由古典方法(参见例114)可以求得的概率是：其中r=min(n,M)，这个分布称为超几何分布，记为h(n，N,M)。超几何分布h(n，N,M)的均值与方差分别为：例1.2-12，略，参见教材36页。(二)正态分布正态分布是在质量管理中最重要也最常使用的分布，它能描述很多质量特性X随机取值的统计规律性。1正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数有如下形式：它的图形是对称的钟形曲线，称为正态曲线。见图1.210。正态分布含有两个参数与，常记为。其中为正态分布的均值，它是正态分布的中心，质量特性X在附近取值的机会最大，关于对称。是正态分
8、布的方差，是正态分布的标准差，愈大，分布愈分散；愈小，分布愈集中；p()在处有拐点(2阶导数为零)。同定标准差时，不同的均值，比如，对应的正态曲线的形状完全一样，仅位置不同，见图1.2-1l(a)。固定均值时，不同的标准差，如。，对应的正态曲线的位置一样，但形状(高低与胖瘦)不同，见图1.21l(b)。2标准正态分布且=l的正态分布称为标准正态分布，记为N(0，1)。它是特殊的正态分布，服从标准正态分布的随机变量记为U，它的概率密度函数记为，它的图形见图1.2-12。 实际中很少有一个质量特性(随机变量)的均值恰好为0，方差与标准差恰好为1。但一些质量特性的不合格品率均要通过标准正态分布才能算
9、得。这里将先介绍标准正态分布表与其应用，分以下几点叙述。图1.2-12标准正态分布的概率密度函数的图形(1)标准正态分布函数表，用来计算形如“”的随机事件发生的概率，即标准正态分布函数。根据u的值可在标准正态分布函数表(附表12)上查得，例如事件“U1.52“的概率可从附表12上查得 P(U1.52)=(1.52)=0.9357它表示标准正态随机变量U取值不超过1.52的概率，在数量上它恰好为1.52左侧的一块阴影面积(见图1.2-13)。由于直线是没有面积的，即直线的面积为零，故： P(U1.52)=P(U1.52)=(1.52)=0.9357 综合上述，可得如下计算公式：P(Ua)=P(U
10、a)=l-(a)，(见图1.214)。 (3) (-a)=l- (a)(见图1.2-15)。 (4)P(aUb)= (b)-(a)(见图1.216)。(5) (见图1217)。 3标准正态分布N(O，1)的分位数分位数是一个基本概念，这里结合标准正态分布N(0，1)来叙述分位数概念。对概率等式 P(U1.282)=0.9，有两种不同说法：(1)0.9是随机变量U不超过1.282的概率。(2)1.282是标准正态分布N(0，1)的0.9分位数，也称为9%分位数或90百分位数，记为。后一种说法有新意，O.9分位数。，把标准正态分布密度函数下的面积分为左右两块，左侧一块面积恰好为O.9，右侧一块面积
11、恰好为O.1，见图1.2-18。一般说来，对介于0与1之间的任意实数，标准正态分布N(O，1)的分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为l (详见图1.2-19)。用概率的语言表示，U(或它的分布)的分位数是满足下面等式的实数： P(U)=分位数亦可用标准正态分布表从里向外查得，尾数可用插法得到，比如0.95的分位数可先查得：由于概率0.95恰好介于0.9495与0.9505中问，故。0.5分位数，即50分位数，也称为中位数，在标准正态分布N(O，1)场合，。当O5时，比如=0.25，由对称性可知，对它加上负号即得，类似地有(见图1.220)。标准正态分布的分位数亦可从附表1
12、3直接查得。4有关正态分布的计算现在转入正态分布的计算。正态分布计算基于下面的重要性质。性质1： 设XN()，则。此性质表明，任一个正态随机变量X(服从正态分布的随机变量)经过标准化变换(X-)后都归一到标准正态变量U。这里标准化变换是指正态变量减去其均值后再除以相应的标准差。比如： 若xN(10，)，通过标准化变换N(0，1)； 若YN(2，)，通过标准化变换N(0，1)； 两个正态变量与其标准化变换后的分布的示意图见图1.221。性质2：设，则对任意实数有： （1） （2） （3）其中为标准正态(累积)分布函数，其函数值可从附表12中查得。例1.2-13 设XN(10，)和YN(2，)，概率P(8 X 14)和P(1.7 Y 2.6)各为多少?首先对每个正态变量经过各自的标准化变换得到标准正态变量，这个过程见图1.222。根据性质2中(3)，让区间端点随着标准化变换而变化，最后可得：从这个例子可以看到标准化变换在正态分布计算中的作用，各种正态分布的计算都可通过一标准正态分布表来实现，关键在于标准化变换。例1.2-14和例1.2-15略。10 / 10
中级质量专业理论与实务第五讲常用分布
