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1、5.2平行关系的性质平行关系的性质学习目标1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理(重点)；2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题(重、难点)【预习评价】(1)如图，直线l平面，直线a平面，直线l与直线a一定平行吗？为什么？提示不一定，因为还可能是异面直线 (2)如图，直线a平面，直线a平面，平面平面直线b，满足以上条件的平面有多少个？直线a，b有什么位置关系？提示无数个，ab.知识点二平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言，a，bab图形语言【预习评价】观察长方体ABCDA1
2、B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.(1)平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？提示是的(2)若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则mn吗？提示不一定，也可能异面(3)过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？提示平行题型一线面平行性质定理的应用【例1】如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形(1)求证：CD平面EFGH；(2)求异面直线AB、CD所成的角(1)证明截面EFGH是矩形，EFGH.又GH平面BCD，EF 平面BCD，EF平面BCD.而EF平面ACD.平面ACD平面BCDCD，EFCD.
3、又EF平面EFGH，CD 平面EFGH，CD平面EFGH.(2)解由(1)知CDEF，同理ABFG，由异面直线所成角的定义知，EFG或其补角即为所求又因为EFG90，故AB、CD所成的角为90.规律方法利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面(3)确定交线(4)由性质定理得出结论【训练1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1A1EF，B1CC1EG.求证：ACFG.证明ACA1C1，A1C1平面A1EC1，AC 平面A1EC1，AC平面A1EC1.又平面A
4、1EC1平面AB1CFG，ACFG.题型二面面平行性质定理的应用【例2】已知AB、CD是夹在两个平行平面、之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN平面.证明若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与、的交线为BD、AC.，ACBD.又M、N为AB、CD的中点，MNBD.又BD平面，MN 平面，MN平面.若AB、CD异面，如图，过A作AECD交于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.AECD.AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与、的交线分别为ED、AC，EDAC.又P、N分别为AE、CD的中点，PNED，又ED平面，PN 平面，PN平面.同理可证MPBE，MP平面，
5、AB、CD异面，MP、NP相交平面MPN平面.又MN平面MPN，MN平面.规律方法(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交(2)面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化【例3】如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AFAD，AMDN，矩形ABEF可沿AB任意翻折求证：当F、A、D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.典例迁移题型三平行关系的综合应用证明在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G.由于ABCD和ABEF都是矩形，且ADBE
6、.四边形ADBE是平行四边形又AMDN，四边形AMND为平行四边形，MNAD.折叠之后，MGBEAF，NGAD，且MGNGG，ADAFA，如图，平面ADF平面GNM.又MN平面GNM，MN平面ADF.当F、A、D不共线时，MN总平行于平面ADF.【迁移】上题条件不变，问“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行”这个结论对吗？如果对请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立解这个结论不对要使上述结论成立，M、N应为AE和DB的中点由于平面MNG平面FDA，可知要使MNFD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与D
7、N相交即可由图形知，若要DN和FM共面，应有DN与FM相交于点B，折叠后的图形如右图FMDNB，可知它们确定一个平面，即F、D、N、M四点共面又平面FDNM平面MNGMN，平面FDNM平面FDAFD，MNFD.规律方法(1)如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题，条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征(2)探索性问题一般都可以采取代入一些简单的数值去尝试观察、分析、归纳、猜想，然后再予以证明或解答(3)在立体几何平行关系问题中，随着点的移动，图形的形状和大小都要发生变化，探讨其中的规律是经常见到的问
8、题课堂达标1如图，已知平面平面a，平面平面b，平面平面c，若ab，则c与a，b的位置关系是()Ac与a，b都异面Bc与a，b都相交Cc至少与a，b中的一条相交Dc与a，b都平行解析ab，a ，b，a.又a，c，ac，abc.答案D2如图，平面平面，过平面、外一点P引直线l1分别交平面、平面于A、B两点，PA6，AB2，引直线l2分别交平面、平面于C、D两点，已知BD12，则AC的长等于()A10 B9 C8 D7答案B3如图，过正方体ABCDA1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD的交线为l，则l与A1C1的位置关系是_答案平行4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.课堂小结1常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行2空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
数学 第一章 立体几何初步 1.5.2 平行关系的性质 北师大版必修2
