福建师范大学22春《近世代数》离线作业一及答案参考17

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1、福建师范大学22春近世代数离线作业一及答案参考1. 设y1(x)，y2(x)均为方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)试写出此方程的通解设y1(x)，y2(x)均为方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)试写出此方程的通解正确答案：因为y1(x)y2(x)均为方程yP(x)yQ(x)的解所以y1(x)y2(x)为对应齐次方程yP(x)y0的解从而 ycy1(x)y2(x)为齐次方程的通解其中C为任意常数rn 因此yP(x)yQ(x)的通解为 ycy1(x)一y2(x)y1(x)因为y1(x),y2(x)均为方程yP(x)yQ(x)的解,所以y1(x)y2(x)为对

2、应齐次方程yP(x)y0的解从而ycy1(x)y2(x)为齐次方程的通解,其中C为任意常数因此,yP(x)yQ(x)的通解为ycy1(x)一y2(x)y1(x)2. 因为一元函数y=f(x)在点x0处的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这种说法对因为一元函数y=f(x)在点x0处的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这种说法对吗？该说法不对 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念 从几何意义上讲，函数在某点的导数的几何意义是该函数表示的曲线

3、方程在该点的切线的斜率；函数在某点的微分的几何意义是该函数表示的曲线方程在该点的纵坐标的增量 3. 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线设直线的方向向量为n，则可取 再在直线上取一点，例如，可令z=0，得 于是，直线的对称式方程 参数式方程为 4. 总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为( )总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为()或5. 设行列式,Ai2为元素ai2的代数余子式(i=1，2，3，4)，试求：(1)行列式D；(2)A12+A22+A32+A32设

4、行列式,Ai2为元素ai2的代数余子式(i=1，2，3，4)，试求：(1)行列式D；(2)A12+A22+A32+A32(1)108 (2)296. 长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h和有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h和有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小建立如下图所示的坐标系，取x为积分变量，x-l，l任取一微元x，x+dx，小段与质点的距离为，质点对小段的引力为 铅垂方向的分力元素为 由对称性在水平方向的分力为Fx=0 7. 设随机变量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2设随机变

5、量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4 =D(X)+E2(X)+4E(X)+4=30 8. f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在。( )f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在。( )正确答案： 9. 设随机变量X()当m为何值时，概率PXm取得最大值?设随机变量X()当m为何值时，概率PXm取得最大值?10. 判别下列语句是否为命题如果是命题，指出其真值判别下列语句是否为命题如果是命题，指出其真值为T$为F$不是命题$不是命题$为F 注：命题的真值可以是T(真)或F(假)，真

6、值并不仅仅是T的意思 11. 如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵证明：如果A为幂等矩阵，且AB，则B是幂等矩阵如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵证明：如果A为幂等矩阵，且AB，则B是幂等矩阵因AB，则存在非奇异矩阵P，使得P-1AP=B，从而B2=P-1A2P-1=AP=B由幂等矩阵的定义可知，B也是幂等矩阵12. 求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?设ARnn，且A有完备的特征向量组如果A的等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则由QR算法产生的Ak本质收敛于

7、分块上三角矩阵(对角块为一阶和二阶子块)且对角块中每一个22子块给出A的一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出A的实特征值，即 其中m+2l=n，BI(i=1，2，l)为22子块，它给出A的一对共轭特征值 13. 如果一个代数系统(A，*)，含有单位元素，那么什么条件下可以保证一个元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一个元如果一个代数系统(A，*)，含有单位元素，那么什么条件下可以保证一个元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一个元素的逆元素是唯一的，并给予证明“*”运算要是可结合的设aA，有左逆元a-1和右逆元a-1，则 al-1=al-1*e=al-1*(a*(ar-1)=(al-1*a)*a

8、r-1=e*ar-1=ar-1 即有左、右逆元相等：al-1=ar-1 假设a有两个逆元al-1，ar-1，则： a1-1=a1-1*e=a1-1*(a*a2-1)=(a1-1*a)*2-1=e*a2-1=a2-1， 即a的逆元唯一 14. 函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足()A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升A15. 求出等于下列表达式的一个二项式系数求出等于下列表达式的一个二项式系数运用Pascal公式，可得 还可运用组合学方法证明

9、。这只要考虑对集合a1，a2，an，b1，b2，b3的k-组合以如下方式形成：从n个a中取k个a，再从3个b中取0个b；或者从n个a中取k-1个a，再从3个b中取1个b；或者从n个a中取k-2个a，再从3个b中取2个b；或者从n个a中取k-3个a，再从3个b中取3个b。因此 16. 某大学数学测验，抽得20个学生的分数平均数某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为003升，在a某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为003升，在a=001的显著性水平下，抽取样本10个，测得样本标准差为s=0246，检验假设： H0：2=003，H1：2003正确答案：设总体X为润滑油容器的容量则XN(2)

10、02=003n=10a=001s=0246用2的检验法检验H0=2=02=003H1：202拒绝域为W=2a222(n一1)U2a22(n一1)查2分布表得0.0052(9)=235890.9952(9)=1735计算2值由于1735181523589故接受H0即2=003设总体X为润滑油容器的容量,则XN(,2),02=003,n=10,a=001,s=0246用2的检验法,检验H0=2=02=003,H1：202,拒绝域为W=2a22,2(n一1)U2a22(n一1)查2分布表得0.0052(9)=23589,0.9952(9)=1735计算2值由于1735181523589,故接受H0,

11、即2=00317. 某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品 q 吨收取客户的收入(单位:万元)为 R(q)= 4q一 0.5q2。试求当运输量为多少时，利润最大?最大利润为多少?参考答案：运输 q 吨商品的成本函数为 C(q) =q十2利润函数为 L(q) =R(q)-C(q)=3q一 0.5q2_2令 ML(q)=3-q=0得惟一驻点 q=3 吨。故当运输量为 3 吨时，利润最大。最大利润为 L(3)= 2.5 万元。18. 验证极限存

12、在，但不能用洛必达法则求出验证极限存在，但不能用洛必达法则求出若用洛必达法则，则因 不存在故题设极限不能用洛必达法则求出 19. 对于二次三次的整系数多项式判断是否可约首选哪种方法?A、Eisenstein判别法B、函数法C、求有理根对于二次三次的整系数多项式判断是否可约首选哪种方法?A、Eisenstein判别法B、函数法C、求有理根法D、反证法正确答案： C20. 设随机变量XN(0，2)，求E(Xn)，n1设随机变量XN(0，2)，求E(Xn)，n1令，YN(0，1)， 当n为奇数时，被积函数是奇函数，所以E(Xn)=0 当n为偶数时，有 因而 21. 设f=(f1,f2)-1，其中f1

13、(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7)T，y0=(0，1)T。求由向量方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=g(x)在x0处的导数，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2)T由于题中的向量方程f(x，y)=0是由两个五元方程f1(x1，x2，x3，y1，y2)=0与f2(

14、x1，x2，x3，y1，y2)=0构成的方程组，其中的5个变量是x1，x2，x3，y1，y2，因此能确定两个三元函数。由题意，它们就是y1=g1(x1，x2，x3)，y2=g2(x1，x2，x3)。容易验证，f1与2满足隐函数存在定理的条件(1)，(2)(读者自 所以能在(x0，y0)T的某邻域内唯一确定两个单值的有连续偏导数的三元函数y1=g1(x1，x1，x3)与y2=g2(x1，x2，x3)，也就是以g1与g2为分量的向量值函数y=g(x)，要求的导数就是g在x0处的Jocobi矩阵 22. 设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是( ) (A)存在

15、 (B)存在 (C)存在 (D)设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是()(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在D由 可知，正确者为(D) 23. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d 提示：应用综合除法 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d提示：应用综合除法 由 可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数b，易知a=2，也是第三次除法所得之商 算式如下： 结果有 f(x)=2x3

16、-x2-3x-5 =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13 24. 设f(n)(x0)存在，且f(x0)=f&39;(x0)=f(n)(x0)=0，证明 f(x)=o(x-x0)n(xx0).设f(n)(x0)存在，且f(x0)=f(x0)=f(n)(x0)=0，证明f(x)=o(x-x0)n(xx0).证 根据题设，依次应用柯西中值定理n-1次，得 ， 其中1，n-1均介于x，x0之间，且当xx0时1，n-1均趋于x0，于是 ， 故f(x)=o(x-x0)n 25. 几时发表“不大于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年几时发表“不大

17、于一个给定值的素数个数”的A、1856年B、1857年C、1858年D、1859年正确答案： D26. 每一个次数大于0的复数系多项式一定有复根。( )每一个次数大于0的复数系多项式一定有复根。( )正确答案： 27. 矩阵设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_正确答案：应填1分析利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得详解因A的特征值的乘积等于A，又A为3阶矩阵，所以2A23A232348，故128. 由方程ex-xy2+siny=0确定y是x的函数，求由方程ex-xy2+siny=0确定y是x的函数，求在方程e

18、x=xy2+siny=0中，x是自变量y是x的函数，从而方程中出现的y2，siny都要看作是x的复合函数(y是中间变量)于是(y2)x=2yyx， (siny)x=cosyy 将方程两端同时对x求导，得ex-(1y2+x2yy)+cosyy=0 解出yex-y2+(cosy-2xy)y=0 即 注由隐函数求导数时，y在表达式中一般都含有y，即使是由方程F(x，y)=0可解出y，这里也不要求用x的解析式代换y 29. 一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标轴所围成的三角形，它的每一个垂直于x轴的截面为半圆求该立体的体积一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标轴所围成的三角形，它的每一个垂直于x

19、轴的截面为半圆求该立体的体积由已知条件，该底面三角形可表示为，0x4，并且对于区间0，4上的任一x，线段就是半圆的直径，因此垂直于x轴的该半圆面积为 从而该立体的体积为 30. 某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，2=18，现各抽60棵某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，2=18，现各抽60棵树苗作样本，测得苗高=59.34cm，=49.16cm试以95%的可靠性估计的两种方案对杨树苗的高度有无影响这是已知双总体均值的双侧假设检验，=0.05，待检假设 H0：1=2， 选U估计量由=59

20、.34，=49.16，1=20，2=18，n1=n2=60，得 查表得z0.025=1.96，经比较知|u|=2.93z0.025=1.96，故拒绝H0，认为两种方案对杨树苗的高度有显著影响 31. 设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D。，并设对于t0，1，2，有 (1)St2Pt1 (2)设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D。，并设对于t0，1，2，有 (1)St2Pt1 (2)Dt4Pt15 (3)StDt ()求证：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程Pt12Pt2； ()已知P。时，求上述方程的解正确答案：32. 用分支定界法解下列问题：m

21、in 4x1+7x2+3x3 st x1+3x2+x35， 3x1+x2+2x38， xmin 4x1+7x2+3x3 st x1+3x2+x35， 3x1+x2+2x38， x1，x2，x30， 且为整数正确答案：先给出最优值上界任取可行点(x1x2x3)=(112)整数规划最优值一个上界Fu=17解松弛问题(p)：rn min 4x1+7x2+3x3rn s.t. x1+3x2+x35 (p)rn 3x1+x2+2x38rn x1x2x30rn 用单纯形方法求得松弛问题的最优解rnrn规划分解成两个子问题：rn min 4x1+7x2+3x3rn st x1+3x2+x35rn 3x1+x

22、2+2x38 (P1)rn x2 0rn x1x2x30且为整数rn和rn min 4x1+7x2+3x3rn st x1+3x2+x35rn 3x1+x2+2x38 (P2)rn x2 1rn x1x2x30且为整数rn 求解子问题(P1)的松弛问题：rn min 4x1+7x2+3x3rn st x1+3x2+x35rn 3x1+x2+2x38 (P1)rn x2 0rn x1x2x30rn用单纯形方法求得(p1)的最优解(x1x2x3)=(005)最优值fmin=15=(005)T是子问题(P1)的可行解也是(P1)的最优解整数规划最优值新的上界Fu=15rn 再用单纯形方法解(P2)的

23、松弛问题：rn min 4x1+7x2+3x3rn st x1+3x2+x35rn 3x1+x2+2x38rn x2 1rn x1x2x30rn最优解(x1x2x3)=最优值由此可知(P2)没有更好的整数解rn 综上整数规划的最优解(x1x2x3)=(005)最优值F*=15先给出最优值上界任取可行点(x1,x2,x3)=(1,1,2),整数规划最优值一个上界Fu=17解松弛问题(p)：min4x1+7x2+3x3s.t.x1+3x2+x35,(p)3x1+x2+2x38,x1,x2,x30用单纯形方法求得松弛问题的最优解规划分解成两个子问题：min4x1+7x2+3x3stx1+3x2+x3

24、5,3x1+x2+2x38,(P1)x20,x1,x2,x30,且为整数,和min4x1+7x2+3x3stx1+3x2+x35,3x1+x2+2x38,(P2)x21,x1,x2,x30,且为整数求解子问题(P1)的松弛问题：min4x1+7x2+3x3stx1+3x2+x35,3x1+x2+2x38,(P1)x20,x1,x2,x30用单纯形方法求得(p1)的最优解(x1,x2,x3)=(0,0,5),最优值fmin=15=(0,0,5)T是子问题(P1)的可行解,也是(P1)的最优解,整数规划最优值新的上界Fu=15再用单纯形方法解(P2)的松弛问题：min4x1+7x2+3x3stx1

25、+3x2+x35,3x1+x2+2x38,x21,x1,x2,x30最优解(x1,x2,x3)=,最优值由此可知,(P2)没有更好的整数解综上,整数规划的最优解(x1,x2,x3)=(0,0,5),最优值F*=1533. 设P(A)0，P(B)0，则_正确 A若A与B独立，则A与B必相容 B若A与B独立，则A与B必互不相容 C若A与B互设P(A)0，P(B)0，则_正确A若A与B独立，则A与B必相容B若A与B独立，则A与B必互不相容C若A与B互不相容，则A与B必独立D若A与B相容，则A与B必独立A因为P(A)0，P(B)0，所以，若A与B独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0 从而AB，即A

26、与B相容，所以选项A正确，而选项B不正确 A的等价命题也成立，即若A与B互不相容，则A与B必不独立，所以C不正确，D显然不正确 故应选A 34. 在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?y=3x2曲线y=x3上点(x，y)处切线斜率k=3x2； 曲线y=x3上点(x，y)处法线斜率 直线y-12x-1=0的斜率k1=12 今3x2=12x2=4x=2 在曲线y=x3上点(-2，-8)和点(2，8)处的切线平行于 直线y-12x-1=0

27、直线y+12x-1=0的斜率k2=-12 令 在曲线y=x3上点和点处的法线平行于 直线y+12x-1=0 35. 求下列函数的微分： (1)y=acos3x(a0)； (2)y=(1+x2)xesx求下列函数的微分：(1)y=acos3x(a0)；(2)y=(1+x2)xesx(1)因为y=(acos23x)=acos23x2cos3x(-3sin3x)lna， 所以 dy=-6sin3xcos3xInaacos23xdx =-3sin6xlnaacos23xdx (2)y=(1+x2)secxsecxln(1+x2) 故有 36. 设随机变量服从参数为2的指数分布，试证=1-e-2在区间(

28、0，1)上服从均匀分布设随机变量服从参数为2的指数分布，试证=1-e-2在区间(0，1)上服从均匀分布因为服从参数为2的指数分布，则概率密度函数为 分布函数 在x0时，y=1-e-2x的反函数是，有 故服从均匀分布 37. 设f(x，y)关于y在R上满足Lipschitz条件：对任意的R，R，有 ， (7.14) 其中L称为Lipschitz常数对后退欧拉公设f(x，y)关于y在R上满足Lipschitz条件：对任意的R，R，有，(7.14)其中L称为Lipschitz常数对后退欧拉公式yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1)(7.15)进行迭代求解(7.16)证明当h满足hL1时，此迭代过

29、程是收敛的首先证明是Cauchy序列由 两边取绝对值并利用条件(7.14)得 ，k=1，2，3， 递推得 ，k=1，2，3， 对任意的l，m(lm)，有 因为hL1，所以任给0，存在N，当lmN时， 因而是Cauchy序列，从而存在，设其值为y* 在(7.16)的两边令k，则得y*=yi+hf(xi+1，y*)因而 38. R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记x1，xn与y1，yn)的样本相关系数为rxy，即 则有关系R2=(rxy)2 事实上，因 所以 因此R2=1，对应着|rxy|=1，x与y有最大线性相关；R2=0，x与y无线性相关关系但用rxy说明回归直线的

30、拟合程度需慎重，例如当rxy=0.5时，只能推出R2=0.25，也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半! 39. 曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为_。曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为_。40. 热力学系统的状态取决于_；如果系统的_全部都有确定值，则系统的_就一热力学系统的状态取决于_；如果系统的_全部都有确定值，则系统的_就一定是确定的。正确答案：状态函数、状态函数、状态状态函数、状态函数、状态41. 已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P-1X1)=_已知连续型随机变量X的概率密度为则概率P-1X1)=_1-e-10

31、.6321根据计算概率公式，因此概率 P-1X1 =1-e-10.6321 于是应将“1-e-10.6321”直接填在空内 42. 曲线( ) (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线曲线()(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线D直线x=0及y=1分别是该曲线的铅直渐近线与水平渐近线43. 设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=_设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=_244. 求圆心在(b，0)，半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积求圆心在(b

32、，0)，半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积圆的方程为 (x-b)2+y2=a2 显然，此环状体的体积等于由右半圆周x2=2(y)=b+和左半圆周分别与直线y=-a，y=a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所产生的旋转体之差，因此所求的环状体的体积 由几何意义知其值为 45. 求两平面1：2x-y+z=7；2：x+y+2z=11之间的夹角求两平面1：2x-y+z=7；2：x+y+2z=11之间的夹角+1=2i-j+k；=i+j+2k；=21+(-1)1+12=3 ； 记 46. 某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木某林区现有

33、木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万米3，试确定木材数P与时间t的关系正确答案：47. 大炮以仰角、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线大炮以仰角、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线48. 设A，B为集合，证明：(AB)(A-B)=A(方法不限)设A，B为集合，证明：(AB)(A-B)=A(方法不限)可用多种方法证明本题 方法1 直接证明法(用集合演算证明) (AB)(A-B) =(AB)(AB) (补交转换律) =A(BB) (分配律) =AE (E为全集、排中律) =A (同一律) 方法2 直接证明法(用定义证明)

34、 x(AB)(A-B) (分配律) (排中律) (同一律) 所以，(AB)(A-B)=A 方法3 使用归谬法(反证法) 否则，(AB)(A-B)A，则，使得 记为“情况1” 或者，使得 记为“情况2” 在情况1下： 这是个矛盾式 在情况2下： 这也是个矛盾式 综上两种情况可知：(AB)(A-B)=A。 49. 求二次曲线224y5y268y1000的主轴求二次曲线224y5y268y1000的主轴正确答案：主轴为612y110和2y20主轴为612y110和2y2050. 求解线性代数方程组 的高斯-赛德尔迭代格式为_ 取迭代初值，则=_，=_，=_求解线性代数方程组的高斯-赛德尔迭代格式为_

35、取迭代初值，则=_，=_，=_$-0.38$-0.2433$0.533351. 若两个线性空间V1与V2同构，则它们的维数相等. 若两个线性空间V1与V2的维数相等，则这两线性空间必同构？若两个线性空间V1与V2同构，则它们的维数相等.若两个线性空间V1与V2的维数相等，则这两线性空间必同构？例 复数集C与实数集R作为有理数域Q上的线性空间，有dimC=dimR=，但C与R显然不能同构52. 线性方程组都可用克莱姆规则求解。( )线性方程组都可用克莱姆规则求解。()参考答案：错误错误53. 关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？我们有下述定理给出的

36、更强的结果： Heine归并定理 极限存在的充分必要条件是：对任何数列xn，满足xnx0(n)且xnx0(nN+)，有存在. 这个性质称为函数极限的归并性，它有以下一些应用： (1)证明极限不存在，只需找出一个数列xn：xnx0(n)，且xnx0(nN+)，数列f(xn)发散；或找出两个数列xn和xn：xnx0，xnx0(n)，xnx0，xnx0(nN+)，数列f(xn)和f(xn)有不同的极限 (2)为求极限，可以先找一个数列xn：xnx0(n)，xnx0(nN+)，求出数列f(xn)的极限：.然后，再证明. 54. 给定微分方程组 ， 其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f

37、0则零解为渐近稳定的，而f0则零解给定微分方程组，其中f(x，y)有连续一阶偏导数试证明在原点邻域内如f0则零解为渐近稳定的，而f0则零解不稳定取定正，有V=-(x2+y2)f(x，y)当f0时V定负，零解渐近稳定，而f0时V定正，零解不稳定55. 某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)为：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，102.1，100.5，99.5问在显著性水平=0

38、.05下，已知2=1.44 因为N(100，1.44)，n=9 提出假设H0：=0=100 找统计量 求临界值对给定的=0.05，查正态分布表得，满足P(|U|u/2)=0.05的临界值为u/2=1.96 求观察值由，计算得 作出判断因为|U|=0.51.96，所以接受H0，即认为灌装量符合标准$已知期望=100，因为N(100，1.44)，n=9 提出假设H0： 找统计量 求临界值对给定的=0.05，查2分布表，求出临界值 求观察值计算，得出 作出判断由于2.710.1719，因此接受H0，即认为灌装精度在标准范围内 56. 试以“佐恩引理”定理作为出发点，来证明“策莫罗选择公理”定理试以“

39、佐恩引理”定理作为出发点，来证明“策莫罗选择公理”定理设X=A(A中各集两两互不相交)，为含于X中且与每个A至多有一个公共元的集所成的类 =B:BX且与每个A至多有一公共元显然按包含的关系成一非空半序集再令的任一非空全序子集，E0=E(E)，下证E0 E0X则x1，x2E2，即E2与中某个A有两个公共元，这与E2相矛盾，因此E0与中每个元至多有一公共元，从而E0为的上确界。根据佐恩引理，有极大元，设为M。 现在证明M与每个A必有一个公共元。如若不然，则有某个A，使取A，因中各集互不相交，知M与每个A至多有一公共元，故M，且以M为真子集，这与M是的极大元矛盾了。 综上知，M与每个A有且仅有一个公

40、共元a。对于每个A，令f(A)=a，则f就是所求的映射， 57. 试证明： 设fn(x)是定义在R1上的实值函数列，则 (i); (ii)试证明：设fn(x)是定义在R1上的实值函数列，则(i);(ii)证明 (i)记En,=xR1：fn(x)若x0属于左端，即，则存在：，以及n0，使得fn(x0)(nn0)，即，x0属于右端；若x0属于右端，即存在：，使得.这说明存在n0，x0En,(nn0)，即fn(x0)(nn0)从而有，x0属于左端 (ii)若x0属于右端，则存在k0N，使得x0属于En,k0中的无穷多个(En,k0=xR1：fn(x)1/k0)，即存在nj，使得fnj(x0)1/k0

41、，故.反向证略 58. 写了n封信，但是信封上的地址是以随机的次序写的，设Y表示地址恰好写对的信的数目，试求E(Y)及D(Y)。写了n封信，但是信封上的地址是以随机的次序写的，设Y表示地址恰好写对的信的数目，试求E(Y)及D(Y)。正确答案：59. 从数集1，2，20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?从数集1，2，20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?设g(20，3)为这样3个数的集合数。对每个这样的集合，或者含有20或者不含20，如果含有20，则另两个元素在1，2，18中选且不相连，有种选

42、法。如果不含20，则三个元素均在1，2，19中选且无2个数相连，这样集合数为g(19，3)。因此 同样，g(19，3)个集合又可分为包含19与不包含19两类，则 因此 60. 某厂生产某种产品的生产函数z20x210x2y25y，其中x和y为两种投入量，z为产出量若两种投入量的某厂生产某种产品的生产函数z20x210x2y25y，其中x和y为两种投入量，z为产出量若两种投入量的价格分别为2和1，产品的售价为5，试求最大利润正确答案：收入函数R(x,y)5z1005x250x10y225y,总成本函数C(x,y)2xy,从而利润函数为L(x,y)R(x,y)C(x,y)1005x248x10y224y,Lxx10,Lxy0,Lyy20所以A10,B0,C20,B2AC2000,有极值而A0,故有极大值,而点(48,12)为唯一驻点,从而点(48,12)为最大值点所以Lmax(48,12)1005482484810122241210011522304144288359212962296