第8讲立体几何中的交线问题

《第8讲立体几何中的交线问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8讲立体几何中的交线问题（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第8讲立体几何的交线问题一.选择题（共12小题）1.（2020秋庄河市校级期中）平而a过正方体ABCD-ABd 的顶点A, a/平而aC平面ABCD = m aC平而ABA =n t则m n所成角的余弦值为（）A.迺B.逅C.迺D. 1町知，n/ZCD, .仏CB是正三角形，m , ”所成角就是ZCDB = 60。 则m, n所成角的余弦值为丄.2故选：D平而a/平而BD ,平而qC平面2. （2021春南通月考）平面a过正方体ABCD-A.B.C的顶点A,ABCD = /,则直线/与直线AC,所成的角为（）D. 90【餡析】解：如图所几平而a过匸方体ABCD AB&p的顶点A,平而a/平面平

2、而&C平而ABCQ = / = AF，平而平而ABCD = BD，:BD/AF ,又则直线/与直线/也所成的角即为直线3D与直线AC所成的角，为90。.故选：D3. （2018春五华区校级月考）过正方体ABCD-&BCP的顶点A的平而a与直线AC】垂宜，且平而&与 平面ABBX的交线为直线/,平而Q与平面ADD.A.的交线为直线山,则直线/与直线加所成角的大小为（ ）A. B.-C. 【解析】解:如图，心B丄人3丄BG，:A.B丄平而ABG，则4B丄AC,同理人）丄则AC】丄平而ABD ,.过匸方体ABCD_ ABiGU的顶点A的丫而a 9氏线AC：匝直，平而a/平而A.BD,.平而ABDC

3、平而ABB.A. = A.B，平而fBDC 平面ADDR = A.D ,直线八川线加所成角即为A.B l jA.D所成角.ABD为等边三角形，.直线/仃C线加所成角的大小为彳.故选：C.4（2020秋宜春期末）平而a过正方体ABCD gCQ的顶点A,丄a,点E、F分别为側，CC,的中点，C = 2GD,若aC平ABCD = m, aC平而EFG =则直线加与直线“所成角的正切值为A.哎B.班C.班777【解析】解：建立空间直角坐标系如图所示，设AB=2, 则 E(2, 0, 1) F(0 2, 1) , B(l， 1, 1), C；(O 2, 0), 因为CQ = 2GD所以6(0,|,0),

4、. 4 则 EF = (一2.2,0). GF = (0. - 1). G B = (2.0,2),3D.6/2设平面EFG的法向量为可=（么吐）,则设直线m 9 R的方向向量分别为他=（斗p拓靖）=0*2*2，）因为aC平ABCD = m , BC、丄a ,m)ClB = 2xQ+2zQ =0令儿=1，则庇=（0丄0）,所以nQ CB = 2x2 + 2z2 = 04=x2 + y2-z2=0所以g顷况 上亀誥-?1彳1+晋+176767设直线加与直线”所成的角为8,畑普，所以乔零,则an 0 =sin 6 _cos&3/134_67 二 37x/67 7T故直线心直知所成角的证切值为器故选

5、：B5. (202P全国一模)过正方体ABCD-BCDX顶点A作平而a,使a/平面B.CD .人鸟和的中点分别为和F ,则直线EF与平而&所成角的正弦值为()A. 1B. C.血D迺2233【解析】解：如图所示,a/平而ABQD，则EF与平面a所成的角即为F与平面合耳CD所成的角.取初的中点G.连结FG, AC.设交点为O.由正方体的结构特征可得，慘为正方体的中心, 因为GB丄BQ C&丄人色，儿色|3& = 3AB】，BQu平而4B|CD,所以C/丄平而ACD,因为F，G分别为DC、AB的中点，所以FGIICB、所以FG丄平而B.CD.过点E作圧的延长线交F点F，则FE = EF,连结FO,

6、则FO为线FT任平而BXCD的投影，所以ZFFO为直线EF和平而B.CD所成的角，设正方体的棱长为“，则 FO = -FG = a, FF = 2EF = 2xa = di 2 2 2所以 sinZFF/O = = = = 1 FF屆2故选：A.6. （2020秋鼓楼区校级期末）已知/是过正方体ABCD - 4BCQ的顶点的平而ABD与下底而ABCD所在 平而的交线，下列结论错误的是（）AB BD/平而ADB C /平而DB D /丄【解析】解：在正方体ABCD-4BCQ中，UBJ/BD, BD u 平而 ABCD,平而 ABCD .DBJI平面ABCD又 平而ABCDC平而AD& = I,.

7、DBJ 故A正确： Dbu平面AM，丿平面AM，选项c正确：BDHDB. DB、u平面 ADR .BD/平面AD,故3正确.从而选D 故选：D.7. （2020-厦门二模）过正方体ABCD-4BGU的顶点A作平而a，使得正方体的各棱与平而a所成的角 均相等，则满足条件的平而Q的个数是（）A. 1B. 4C. 6D. 8【解析】解：在正方体中，与*, AD，初平行的直线各有4条，AAi=AD = AB,- BDCX是正三棱锥，A4, , AD,初与平而ADB所成角相等，正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个，8. （2020秋寻乌县校级月考）过正方体ABCDfBGU的顶点A作直线，

8、使与直线所成的角为30。, 且与平WC.D.C所成的角为60。，则这样的直线的条数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】解：如图所示， T-lfllC.D.C内，以点D为圆心，半径为画圆.则点A与此圆上的点的连线满足：与平而CPC所成的角为60。.所以满足/与直线所成的角为30。有且只有2条，故选：B.9. （2021邯郸一模）过正方体ABCD ABCQ的顶点A准空间作直线/,使/与平而BBQ、D和直线所成的角都等于冬，则这样的直线/共有（）4A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【解析】解：因为几何体为正方体，所以 BCJ/AD、,所以/直线BC,所成的角等于角人口人=彳，同理角人

9、人耳=彳：又因为宜线AG丄BQ、, AC；丄所以4G丄平而BBRD ,所以角RDQ是A9与平而BBRD所成的角，为45。，所以过正方体ABCD- 4BCQ的顶点人在空间作直线/，使/ 1 j T而BBQQ和直线BC,所成的角都等于仝,4则这样的直线/是直线A9共有1条：故选：A.10. （2020-东湖区校级模拟）在棱长为2的正方体ABCD-ABCU中，E是正方形BB” 的中心，的中点，过AM的平而&与直线DE垂直，则平而a截正方体ABCD-AB.C.D,所得的截而而枳为（）A. 2血B. 26C.半D. 35【解析】解：如图，在棱长为2的正方体ABCD_gC中，记初的中点为N, 连结MC,

10、CN、网则平而AMCN即为平而a ,证明如下：由正方体的性质可知：AM/M7,则A，M, C, N四点共而，记CC|的中点为F，连结DF,由题意得”丄MC，连结EF，则EF丄MC.:MC丄平而F,则DE丄MC同理可证 DE 丄 NC NC|A/C = C, :.DE 丄平 ifil A.MCN .-平面人MCN即平而a,且四边形AMCN即平而a截正方体ABCD -BDX所得截而，证方体的棱长为2,由题意知四边形AMCN是菱形， 其对角线人/3=2 211. （2021春河南月考）设点P是正方体ABCD-ACQ的对角线的中点，平而过点P,且与直线垂直，平而aC平而ABCD = m ,则川与A,C

11、所成角的余弦值为（）A.週B.週C. 1D.空3333【解析】解：由题意知m/AC,直线加与AC所成角等于ZACA，.cosZACA=22 =芈二当.C J3 3故选：B.12. （2020秋利平区校级月考）己知正方体ABCD-AC.D,过顶点人作平面a,使得直线AC和与平面&所成的角都为50。，这样的平面a可以有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解析】解：.Aq/BC.过A在空间作平面a,使平而与宜线AC和所成的角都等于50 ,即过点A在空间作平而a ,使平而&与直线AC和所成的角都等于50。令ACAD.的角平分线和外角平分线分别为AM和AM1，-要使平而&过A点，且与AC、所成

12、的角都为50。，则该T而必过AM或AMf， ACAD. = 50 ,:当过AM时，平而a AC. AQ所成角的范|1；1为0。，30。,绕AM旋转平而a ,得到符合条件的平而a有2个，.ZC4D,=50o, :.iTyAM,时，平而 a 1 j AC .人耳所成角的范国为0。，60。, 当平面a丄平面a吗,符介条件，故存在一个平而a.综上，满足条件的平面a有3个.故选：B二填空题（共3小题）13. 平而a过正方体ABCD-ABCU的棱* , “/平而“C平而=则直线川与直线所成角的正弦值为_【解析】解：由题意，在正方体ABCD-AB.C.D,的一边在补形一个正方体，平面过棱必，的屏幕为AEM

13、, 且/平而BB皿,“C平而ABCD = m .如图，可知川为对角线，通过平移，加/色2，.-直线m与直线B&所成角为ZCB.D, Bp , CB都是正方体的对角线，/. A CB.D,为等边三角形，因此 sin ZCBQ = sin 60 = 故答案为：逅214. 如图，过正方体ABCD-C的顶点2与棱AB的中点P的平而与底而ABCD所在平而的交线 记为几贝9/与BQ的位置关系为【解析】解:如图所示，连接D、P、Bf,在正方体ABCDfBCQ中，平而ABCQ/平而AEG。，且平而BQPC平而 gCQ严BQ，平而BQPC 平面 ABCD = /,故答案为：/BQ】15. （2020*昭通二模）如图所示，正方体ABCD-JBXCXDX的棱长为1, BQ|AC = O, M是线段00上的动点，过点M作平而ACq的垂线交平而 gCQ于点N，则点N到点A距离的最小值为【解析】解：平而ACq丄平而BDDb 又MN丄平面ACD:.MN u 平而 BDD、B, NwBD过N作丄人色，交A禺于G,将平面展开如国： /. AN = jF+d xF+F = j2x2-2x + 2 = 2(x-i)2+| ,Cl