第22讲弦定理和余弦定理

《第22讲弦定理和余弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第22讲弦定理和余弦定理（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第22讲正弦定理和余弦定理c1 .正弦定理:sin 厂 sin BC= 2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦sin c定理可以变形为:(1) a : b : c= sin A : sin B : sin C;(2) a= 2Rsin_A, b= 2Rsin_B, c= 2Rsin_C；(3) sin A= 2R，sin B = 2R，sin C =翕等形式，以解决不同的三角形问题.2. 余弦定理： 孑=b2+ c2 2bccos A, b2 = a2 + c2 2accos B, c2 = a2 + b2 22 J222b + c al a + c b 2abcos_C .余弦疋理可以变形

2、为:cos A= 2bc , cos B=20, cos C=a2+ b2 c2=2ab3.1 1 1Sa abc= 2absin C= 2bcs in A= acs in B=器=*a+ b+ c) r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R, r.4. 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知a, b, A,则A为锐角A为钝角或直角图形込关系式av bs in Aa= bs in Absin Av av ba ba ba b?.sinA sin B.两类问题在解三角形.时，正弦定理可解决两类.问题.:(1)已知两角及任一边，求.共它边或角；(2)已

3、知两边及一边的对角，求其它边或角:青.况.(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和共他两角;.一(2)已知三边，求各角.：.两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1) 化边为角;(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换6 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.7：实际问题中的常用角(1) 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角 叫俯角(如图(1):(2) 方位角指从正北方点顺时针转到目标方点线

4、的水平角，女口b点的方位角为a如图(2)：(3) 方点角：相对于某正方点的水平角，如南偏东30北偏西45西偏东60等：(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数：解三角形应用一题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系：(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题旳模型:(3) 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际.问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦疋理或余弦定理求解.：.（2）实际

5、问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,.然后逐步求解其他三角形,，有时 需设出未知量.，从几个三角形中列出方.程.（组），.解方程（组）得出所要求的解一 一例题1. 在 ABC 中，A= 60 B= 75 a= 10,则 c等于（）.A. 5 . 2 B . 10 2C.吟6 D . 5 62. 在 abc 中，若sinaA=cosB,则 b 的值为（）.A. 30B . 45C. 60 D . 903. 在 ABC 中，a= ,3 b= 1, c= 2,则 A 等于（）.A. 30 B. 45C. 60D. 7514 .在厶

6、ABC 中，a = 3 2, b= 2 .3, cos C = ,则厶 ABC 的面积为（）.A . 3 ：3 B . 2 3 C . 4 3 D. . 35. 已知 ABC三边满足a2 + b2 = c2（3ab,则此三角形的最大内角为 .6 .如图，设A, B两点在河的两岸，一测量者在 A所在的同侧河岸边选定一点 C,测出AC的距离为50 m,Z ACB = 45 / CAB= 105后，就可以计算出 A, B两点的距离为（）.A . 50 . 2 m B . 50.3 m C . 25 2 m25 ：2D丁7. 从A处望B处的仰角为a从B处望A处的俯角为B,贝U aB的关系为（）.A.

7、a B B - a= pC. a+ B= 90 D . a+ B= 180 8. 若点A在点C的北偏东30,点B在点C的南偏东60,且AC= BC,则点A在点B的().A.北偏东15 B.北偏西15 C.北偏东10D .北偏西109. 一船点正北航行，看见正西方点相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60另一灯塔在船的南偏西 75,则这艘船的速度是每小时().A. 5海里 B . 5.3海里C. 10海里 D . 10,；3海里10. 海上有A, B, C三个小岛，测得A, B两岛相距10海里，/ BAC = 60, /ABC = 75,则B，C

8、间的距离是 里.考点一利用正弦定理解三角形11 在厶ABC 中，a= .：3, b= ：2, B= 45.求角 A，C 和边 c.丄亠 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.n12 (2011 北京)在厶ABC 中，若 b = 5,ZB = 4, tan A= 2,贝U sin A= a考点二利用余弦定理解三角形cosb13在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且COSC二20+f(1)求角B的大小；若b= 13, a+ c= 4,求厶ABC

9、的面积.小丄 “ (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.14 (2011桂林模拟)已知A, B, C为厶ABC的三个内角，其所对的边分别为a, b,2 Ac,且 2cos 2 + cos A= 0.(1)求角A的值；若 a=2羽，b+ c= 4,求厶ABC的面积.考点三 利用正、余弦定理判断三角形形状15 在 ABC 中，若(a2 + b2)sin(A B) = (a2 b2)sin C,试判断 ABC 的形状.宀 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统

10、一.即将条件化为只含角的三角函数关系式， 然后利用三角恒等变换得出内角之 间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三 边的关系.17 * ABC 中，若 COSa= COSb= coSC；则ABC 是().A .直角三角形B .等边三角形C.钝角三角形D .等腰直角三角形考点三 正、余弦定理的综合应用n18在厶ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c,已知c= 2, C=3.(1)若厶ABC的面积等于 3,求a, b；若sin C + sin(B A) = 2sin岔，求厶ABC的面积.f 宀 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，

11、通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通 过这些新的条件解决问题.18 (2011北京西城一模)设厶ABC的内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,厂4且 cos B = 5, b = 2.(1) 当A= 30寸，求a的值；(2) 当厶ABC的面积为3时，求a+ c的值.19(2011安徽)在厶ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C所对的边长，a= .3 b= 2, 1 + 2cos(B+ C)= 0,求边 BC 上的高.20 (2011辽宁) ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B+ bco

12、s A= , 2a.(1)求 b；(2)若 c2= b2 + 3a2，求 B.考点四测量距离问题21如图所示,CD,现已测出CD = a和为了测量河对岸A, B两点间的距离，在这岸定一基线(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模 型的解.22如图，A, B, C, D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两 座灯塔的塔顶，测量船于水面 A处测得B点和D点的仰角分别为75 30于 水面C处测得B点和D点的仰角均为60 , AC = 0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然

13、后求 B , D的距离.考点五测量高度问题23如图，山脚下有一小塔AB ,在塔底B测得山顶C的仰角为60 ,在山顶C测 得塔顶A的俯角为45 已知塔高AB = 20 m,求山高CD./ b,. A= 60或 A= 120.当 A= 60时,C= 180-45-60 = 75 c= sin b2T B为三角形的内角， B= 3n.2accos B,2将 b= 13, a+ c= 4, B=3 冗代入 b2 = a2 + c21得 b2= (a+ c)2 2ac 2accos B, 13= 16 2ac 1 ?，ac= 3. c 1.3/3 Sa abc= qacsin B= 412,A14解 (

14、1)由 2co$ + cos A= 0,得 1 + cos A+ cos A= 0, 即卩 cos A=T 0v Av n A= 3.2 n(2)由余弦定理得，a2= b2 + c2 2bccos A, A =3, 则 a2= (b+ c)2 bc,又 a= 2 3, b+ c= 4,1有 12= 42 bc,则 bc= 4, 故 Saabc=?bcsin A= 3.15由已知(a2 + b2)sin(A B)= (a2 b2)sin C,得 b33 (2)因为 ABC 的面积 Sac sin B, sin B5，所以 10ac 3, ac10.s in (A B) + sin C = a2s

15、in C si n(A B),即 b2si n Acos B = a2cos As in B,即 sin2Bsin Acos B= sin2Acos Bsin B,所以 sin 2B= sin 2A, 由于A, B是三角形的内角.故 OV 2A b,. B = 4，二 C=n (A+ B)=巨冗 sin C= sin(B+ A) = sin Bcos A+ cos Bsin A=x舟 + 乎 2= +、2 BC边上的高为 bsin C = ,2X 6； j2 = !20(1)由正弦定理得，sin2Asin B + sin Bcos A= 2sin A, 即卩 sin B(sin2A+ cos2

16、A) = ,2sin A. 故 sin B= 2sin A,所以b= 2.a(2)由余弦定理和c2= b2+ 3a2,得cos B=由知 b2 = 2a2,故 c2(2 + 3)a2.可得 cos2B=舟，又 cos B0，故 cos B = ，所以 B = 45 21 在厶 ACD 中，已知 CD = a,/ ACD = 60 / ADC = 60 所以 AC = a. v/BCD = 30 / BDC= 105./ CBD= 45在厶BCD中，由正弦定理可得BC =玄囂455 =二a在厶ABC中，已经求得AC和BC,又因为/ ACB= 30所以利用余弦定理可以求得A, B两点之间的距离为

17、AB=/AC2 + BC2 2AC BC cos 30 = a.=0.1 km.又/BCD = 180 60 60 = 6022 解 在厶 ACD 中，/ DAC = 30 / ADC = 60/DAC= 30 所以 CD = AC 故CB是厶CAD底边AD的中垂线，所以 BD = BA.又I / ABC = 15在厶 ABC 中,AB = sin/ BCA= sin/ABCAC迸严(km).ACsin 60 0 3.2+ ,：6 所以 AB= sin 15 =20 (km)，同理,故B、D的距离为3 20 6 km.23如图，设 CD = x m,贝U AE= x 20 m,tan 60CD

18、BD，CDBD二 tan60 p3亍 x (m).在厶AEC中,x 20 =.33x，解得 x= 10(3 + ;3) m.故山高 CD 为 10(3+， m.BCcd24解在BCD 中，/ CBD=naB,由正弦定理得/BDC= sinZCBD，所以BC =CDsinZ BDCsinZ CBDs sin Bsin二在Rt ABC 中 AB=BCtanZ ACB=stan Osin B sin a+ BZ BCA= 30.由正弦定理，得AB _ ACsinZ ACB_ sinZ ABC，sinZ ABC_AC sinZ BCA_9sin 30AB _ 510考点六 正、余弦定理在平面几何中的综

19、合应用25 女口图所示，在梯形 ABCD 中，AD/ BC，AB = 5, AC = 9, Z BCA= 30 Z ADB =45求BD的长.25在厶 ABC 中，AB = 5, AC = 9,9 AD / BC,AZ BAD_ 180 Z ABC，于是 sinZ BAD_ sinZ ABC_局.9同理，在 ABD 中，AB_5, sinZ BAD_石，Z ADB_ 45 由正弦定理： .A： _ B , sinZ BDA sin Z BAD解得BD _誉.故BD的长为晋.26解 在厶ADC 中，AD_ 10, AC_ 14, DC_6,由余弦定理得cosZ ADC_AD2+ DC2 AC22

20、AD DC100X 10 696_ 2，Z ADC_ 120, AZ ADB_60在厶 ABD 中，AD = 10,/ B= 45 / ADB= 60由正弦定理得AB _ AD sin/ADB _ SB，10xAD sin/ ADB 10sin 60 入 2 厂，sin Bsin 45 AB_ 亠 _ 灵 _ 5屈227如图，连接A1B2由已知A2B2_ 10 2,20AiA2_30 2X 60_ 10 ,2,A A1A2_ A2B2.又/ AiA2B2_ 180 120_60, A1A2B2是等边三角形， A1B2_A1A2_ 10.2.由已知，A1B1_20,/ B1A1B2_ 105 6

21、0_ 45 （8 分） 在厶A1B2B1中，由余弦定理得B1B2_ A1B1 + A1B2 2A1B1 A1B2 cos 45_ 2&+ （10 .2）2 2X 20X 10 ：2X 子_200,二 B1B2_ 10 .2 因此，乙船的速度为 0X60_30 2（海里/时）.（12分） 28如图所示，在 ABC中，AB_40, AC_20,/ BAC_ 120由余弦定理，得BC2_ AB2 + AC2 2AB AC cos 120 _2 800,所以 BC_20/7. AB（21由正弦定理，得sin/ ACB_ BC sin/ BAC_.由/ BAC_ 120,知/ ACB 为锐角，故 cos/ ACB_寥.故 cos 0_cos（/ ACB+ 30）_ cos/ ACBcos 30 sin / ACBsin 30_十2埠得 4 a2 + c2 5 * * 8ac a2 + c2 16, 即卩 a2 + c2 20.5所以(a+ c)2 2ac 20, (a+ c)2 40所以 a+ c 2 10.19v在厶 ABC 中，cos(B+ C) cos A,