第7章矢量代数与空间解析几何

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1、第七章 空间解析几何(一)、基本内容一) 空间直角坐标系两点间距离公式二) 空间向量 1向量的概念(1) 向量(2) 向量的模(3) 零向量(4) 单位向量(5) 反向量(6) 向量相等 2向量的运算(1) 向量的加法(2) 向量的减法(3) 向量的数乘(4) 向量的数量积(点积)(5) 向量的向量积(叉积)三) 向量的坐标 1向量的坐标表达式 2向量运算及性质的坐标表示 3向量的方向余弦四) 空间平面及方程 1平面的方程(1) 点法式方程(2) 一般方程(3) 截距式方程 2有关平面的几个问题(1) 点到平面的距离(2) 两平面间的夹角余弦(3) 两平面间位置关系(五) 空间直线及程1. 空

2、间直线的方程(1) 对称式方程(2) 参数方程(3) 一方程 L, 看成两平面的交线2. 平面束方程(六) 空间曲面及方程1 球面方程2 母线平行于坐标轴的柱面方程3 旋转曲面方程4 椭球面方程5. 椭圆抛物面方程6. 双面抛物面方程(又称鞍形曲面)7. 双曲面方程(七) 空间曲线及方程1. 空间曲线的方程(1) 一般方程(2) 参数方程2 .空间曲线在坐标平面上的投影练习题答案1.已知a 4 , b2 , a b2 J7，求a与b的夹角2 2 2 o解：由 a b a ba2 *b2 (a2 2a2b2 b2)2ab可得 a b4 16 28故 cos(a,A b)a b(a, Ab) 12

3、02.求以a2,1, 1 和 b1,2,1为邻边的平行四边形对角线间夹角的正弦解：a b3,3,0,a b 1, 1, 2cos(a b) (ab)a b a b证:只需证CO AB.ADBCBECAAOBO b , CO c，则有(bc)b (c a) 0从而 a b a c be于是e (ab) 0即 CO AB.,得证4.试证sin Asin Bbsi nC证明：如图ABC，令 BCa,AC b, AB同理1 BA BC2l；CA CBIAb AC si nA2l1 BA |BCsinBsi nCsin Asin Bsi nCbc|ac|ab|故得证5.设向量a与三个基本单位向量成相等的

4、锐角，且2 3，求解：因eos eos eos ，且 eos2eos2eos2故eoseoseos6.已知三角形的顶点 A (3, 1,5), B(4,2, 5)与 C(4,0,3)，求从顶点A做出的中Aeos ,eos , eos2,2,2线的长度解：如图_ 1 -AD (AB AC) 3,2,6 2AD J32 22_6 7(1) 过点 P(2,3,4)及 z 轴;(2) 过点M (1,1,1)平行于平面 :2x y z 0 ；(3)过点M1(1,2,0)和M2(2,1,1)且垂直于平面:yx1 0 ；(4)过z轴且与平面2xy 、5z0的夹角为；3(5)由点M (3,1,3)及直线:x

5、4y 3 z决定;52由两条相父直线 Jx 2z12x2z(6)和l2决定；y 3z2 23yz6x 5y z00成45角(7)经过直线且与平面 x 4y8z2x z 40解：设：Ax By 0点P(2,3,4)代入上式得A: B 3: 2故：3x 2y 0设：2x y z D0将M (1,1,1)代入上式得D 2故：2x y z 20取n MM2n01, 1,11,1,01, 1,0y 30由点法式万程得 ：x设：Ax By 0 , n代B,0no2,1,52A B1cos(n,A n。)rvA2b2V?1 5cos-32得3A B或A3B故：x 3y 0或3xy 0直线过点M(4,3,0)

6、,MM01,4,3取n MM 0 v1, 4, 35,2,12 1, 8,11得：x 8y 11z D 0将(3,1,3)代入得D28故： x 8y 11z 280设Li,L2的方向向量为Vi,v2则 Vi1,0, 20,1, 32,3,1V22,0, 10,3, 13,2,6取nv1v216, 15,13 , 过点(1,2,0)故：16x15y 13z 140设平面：x 5y z (x z 4)0整理(1 )x 5y (1 )z 40则 n (1,5,1) n。(1, 4, 8)n no927nnJ(1)252(1 鬥14282cos452故：x 20y 7z 1208. 求由平面1 : x

7、 3y 2z 50与2 : 3x 2y z 3 0所成二面角的平面方程解：设点P(x,y,z)为角平分面上任一点，则P到卩2的距离相等，即x 3y 2z 5 3x 2y z 3 d一 12 ( 3)2 2232 ( 2)2 ( 1)2得： 2x y 3z 8 0或 4x 5y z 2 03x 4y 2z 5 09. 求过直线，且在z轴上截距为 3的平面方程x 2y z 70解：设：3x 4y 2z 5 (x 2y z 7)0整理(3 )x (42 )y ( 2 )z (5 7 )057在z轴上的截距匕丄 32117x 38y 19z57010.求过直线2x y 04x 2y 3z 6，且切于球

8、面Z2 4的平面方程整理(4 2 )x (2)y3z6 0球心到的距离为62(42 )2 (2 )29解得2故：z 211.写出下列直线方程：(1)过点M (2,0, 3)且平行于直线3xxy 2z 703y 2z 3 0解：设：4x 2y 3z 6(2x y) 0过点M(2,0, 3)且平行于直线x2 t, y 2t,z过点M且平行于z轴;过点P(1, 1,1)且与直线L:y -2相交，又平行于平面1 1:3x 2y z 50解：设直线的方向向量均为vv3, 1,21,3, 22 2, 4, 5l : x 2yz 3245V1论21-2,4, 12l : x 2yz 3241V0,0,1l:

9、 x2y z001L : xyz 1011过P垂直于L的平面为 ：0(x1)1( y 1)1(z 1)0即y z 01 1L与 的交点为M(0,-)2 21 1故 v MP 1, -2 2从而1 : U山.1 1 12 2过点P(2, 1,3)垂直于n 3, 2,1的平面“为1 : 3x 2y z 11 过点P与L1垂直的平面 2 :压 PB v 1, 1,5 2, 1,14,9,12：4x 9y z 2故所求直线l为3x-2y z 114x 9y z 212.若M1, M2两点关于直线L:x y2x z13对称，且M1的坐标为（2,1,3），求点 M2x y 2z 90的坐标。解：L :x

10、y 1 z 31 1 2过M1做垂直于L的平面，则85 7L 与交点M0（3 5严为MM中点7 53313.已知直线L: 3x 2y 4z2x y 3z11 0，求在 xoz面及平面:x y z 0上的投影1 0方程。解：L在xoz面上的投影（消y）:x 10z 90y 0因：x y z 0与 2x y 3z 10 垂直故L在上投影为x y z 02x y 3z 1014.求两不平行直线 L,:- -三和L2 :- 匚2 三之间的距离。3 22261解：求过点(1, 2,1)平行于L1, L2W平面因n 3,2,2 1, 6, 422,7, 10故：2x 7y 10z 220点（1,2, 1）

11、到 的距离即为所求距离2 14 10 22|16,22 72 102-1715.求两直线亠丄二 -,x234 求公垂线长先求过且平行于|2的平面y z,的公垂线方程，且求公垂线的长。n 2,3,4 1,1,1 1,2, 1故： x 2y z 30:$ 6 点（0,0,0）到的距离即为所求d 2 求公垂线方程公垂线在过垂直于的平面1上，又在过12垂直于的平面2上取n n V1 1,2, 1 2,3,4 11,2, 7取 n2n v2 1,2, 1 1,1,131,0,1从而公垂线为11x2yx7z 150z 016.在平面z 0上求一直线，使之与两直线L12x yL2 :7x0都相交0解：由已知

12、得xL1 : 1z2L2 :分别求L1, L2与平面的交点,设为R,P2x1y117.直线解:直线I0绕z轴旋转所得曲面方程为y1 1 1 1 得p1(1,2, 2 _22 3z绕z周旋转一周，求旋转曲线的方程 ),p2(0, 2,2)故所求直线为过P1, P2直线1 1y z218 .两球面x么曲线,写出它的方程解：交线在xoy面上的投影为x22(y是椭圆xoy平面上的投影是什2 2 2 2z 1和x (y 1) (z 1)1的交线在19.求过两圆周z225 和y 2解：设球心为(0,b,0),(球心在y轴上)球心到两圆周上的点距离相等，故2 2 2 2(3 b) 4(2 b) 5故球面方程

13、为(y2)1 2z2412x20 已知曲面笃a2y1，从原点o沿方向余弦为 cos , cos , cos的方向作射线交曲面于p，证明:op2 cos2 a2 cos2 cos2 c证明：设点P坐标(x, y, z)OPcosOPcosOPcos则P(x,y,z)满足曲面方程2 2xy2,2ab将代入即证测试题(七-1)答案解：a b,a b, a b, 12. 解：已知向量a11,2,0 , a2 3,1,1 , a3 2,0,1与 a 3 2a?色。3计算:(1) a与a0(2)a的坐标(3) cos(a“j)(4)解：a112丄,0.5,5a 罟,0,35 cos(ai,A j)2.53

14、.设 A(2,1,3),B(1,1, 2),C(6,6, 1), 求解：三内角分别为arccos),arccos(,arccos(19_211 AB AC214.问在直线方程A1x B1 yA2x B2 yC1zC2zD1D20中各系数应当满足哪些条件才会使0(1)直线与x轴平行;(2)直线与y轴相交;(3) 直线与z轴重合;(4)直线过坐标原点;(1) ABC三内角(3) ABC上C点向AB引的高h SabcAB h h B1D2B2 D1解：A1 AB2 a2b1,且C1C2D1 D20 D1 D20解：过点Q垂直于直线丨：x y z的平面为直线l与的交点为R(-,-,-),则R为PQ的中

15、点3 3 3故点P坐标为(10, 5丄)3 3 36. 直线通过点B(1,2,3)而且与c 6,6,7平行，求点A(3,4,2)到该直线的距离d -BA cbAsin冋2042117 .设直线l1：x1y 1z和 L2：2解：如图x 2亍1 z，则L2与匚关系如何？若平行，则 求两直线之间的距离L1,L2决定的平面方程解：平行。两直线hh之间距离即为h上点(1, 1,0)到I 2的距离相等d 2 n AB v,其中A为h上点(1, 1,0), B为l2上点(2, 1,1) v 1,2, 1故 n (1, 1, 1)于是l1, l2决定的平面为：x y z 2 08 .在直线L ： 2x y z

16、 0上找与点P(1,0,1)的距离为.17的点 2x z 20解：设点M (x0,2x04,2x02)是直线L上任一点则MP(X01)2(2X04)2(2x。3)2 丙得X。3或 -3故点为(3,2,4)或(-,104)3339.求曲线L:2z xz 22y22 x关于xoy平面的投影曲线方程。i不适单位向量;(3) 2i j解：解：I关于xoy面的投影为0y2 110.指出下列方程表示什么曲面, 么轴旋转而产生的。若是旋转曲面,指出它们是什么曲线绕什(1)x2z2 2z 2x2x2x24zz21(5)x24z(6)zy2 2解：球面,是曲线(zx 01)2 22,3绕z轴旋转而成 两个平面

17、抛物柱面椭球面，1绕z轴旋转而成双曲抛物面抛物面,2绕z轴旋转而成测验题(七-2 )答案1.下列说法是正确的，为什么?(1)ij k是单位向量。不正确，此向量模为,3 ；不正确，i为单位矢量不正确，矢量不能比较大小K, L ,且 AK k, AL l，求 BC 和 CD解：令ADBCa,ABDC b则lADDLab2kABBKba24l2k ,4k2l故 a,b334l2k2l 4k故 BC,CD332.已知平行四边形ABCD,边BC和CD的中点为3.设 aa1a2，而 a1 a2,a2b，求证a2 abb2证明(a b) (a b) 2(a b)，并说明此恒等式的几 何意义证明：令a2b,贝

18、U佝 a2) b a a2 ba2 b故 a2 欝bb(a b) (a b) a a b a a b b b 2(a b)几何意义：平行四边形面积的两倍等于以它的对角线为边的平行四边形的面积。4.写出垂直与平面5x y 3z 20，且与它的交线在 xoy平面上的平面方程。解：所求平面通过平面1:5x y 3z 2 0与xoy面的交线故可设：x y 3z 2 z 0n 5, 1,3又 i 的 ni5, 1,3由1,垂直，得n n1 25 1 3(3173故：15x 3y 26z 605.平面过z轴，且与平面 2xy - 5z0的夹角一，求此平面方程3解：设平面：x Ay 0n 1,A,0, n2

19、2,1, .54 2 A1COS L cos 厲|卜2|A2 J4 1 5321得 A 3或 -3故：x 3y 0或 3x y 0x 2 y 2 z 16.设直线L:-和平面：2x 3y 3z 80试判断它们的位置关系,3 12若相交，则求交点。解：v 3, 1,2, n 2,3,3v n 6 3 690故直线l与平面相交x3t21:yt2代入：2x3y 3z 80z2t1得t1故交点为(1,1,1)7.已知平面:xy z 10和直线L：i1 y z 1,L,试求出直线0 2L在平面上的投影方程解：首先求过L且与垂直的平面，设为1,因Lj 2z 2设:y 2z 2(x 1)0则n ,1, 2因

20、与1垂直，故与门1,1, 1垂直于是mn 120 得 3故1：3x y 2z 10于是直线L在平面上的投影为3x y 2z 10x y z 108.设12x 2y z 8 0l1： x 2y 2z 2104x y 3z 21 0 及L2：2x 2y 3z 15 0求过点M0( 1,2,1)且与L|和L2都相交的直线方程解：所求直线既在过M。与L1的平面1上，又在过点M 0与L2的平面 2上下面求 1设 1： 2x 2y z 81(x 2y 2z 1) 01将M( 1,2,1)代入上式得11故 1： X 2y 50下面求2设 2： 4x y 3z 212(2x 2y 3z 15)0将M 0代入上

21、式得10故 2： 16x 9y 3z 10所求直线为 X 2y16x 9y3z(1). z2X ,y0绕X轴旋转(2). zX2 e,y0绕z轴旋转(3).z42,y0尧z轴旋转X解:4 X2 z2yze(x2y2)z4229.求下列曲线形成的旋转曲面方程xy210.求球面X2z2a2与锥面X20的交线分别在三个坐标平面上的投影。解：在xoy面，yoz面,zox面投影分别为z 0222 ax y 7x 02az2y 02 a z2第八章 多元函数微分法一、基本内容（一）元函数的基本概念1. 基本概念（3）边界点（4）开集（5）区域（1）邻域（2）内点2 .二元函数的极限与连续（二）偏导数和全微

22、分1. 偏导数fx(x, y)xZlimX 0 xlim f(xx, y。)f(X0,y。)x 0fy(X0,y)yzlim血山y) f(x,y)y2. 全微分3. 全微分在近似计算中的应用（三）复合函数的微分法1. 复合函数求导法则2. 一阶微分形式不变性（四）隐函数的微分法1 . 一个方程的情形2 ，方程组情形（五）微分法在几何上的应用1.空间曲线的切线与法平面2 .曲面的切平面与法线3 .微分的几何意义（六）方向导数和梯度1 .方向导数2 .梯度（七）多元函数的极值1. 多元函数的极值2. 条件极值2 2x y(1) z ln( xy)(2)uarcs inz f(r,)r. sin(4

23、) f(x, y,z)2 2In(z x y )解答：xy 0得xy 08.1.确定下列函数的定义域练习题122（2） 1坐_ 1 , z 0时有定义.即z 0时 z寂y2 zzz 0时z v x2 y2z 包含锥面在内的圆锥（3）sin 0得0,即上半平面（4） z x2 y2 0得z x2 y2旋转抛物面的内部（不含表面）Z82设函数f(x, y)2 2J-,求xy1 1f(-,-)x y解答：f(l,l)x y(-)2(-)2x_y_1y2 2y xxy8.3.设 f (x, y)xy3 x2x3y,(x, y) y,(x,y)(0,0)求 fx(0,0),fy(0,0)(0,0)解答：

24、fx(0,0)f(0, x) f(0,0)limx 03x2xx3yfy(0,0)f(0, y) f (0,0)2 yy8.4.设 f (x, y)(x2y2) ln(x y) arctan(yex y )，求 fx (1,0)x解答：f(x,0)x2 ln xfx(x,0)2xl nx xfx(1,0)18.5.设 f (x, y)1xy1 . / 2 22 sin(xx y2 x 2 2 y ),x y002 2,x y0试讨论f(x,y)在点(0,0)的连续性，可微性。1-2-Xo o2(x2X/(. sioo2XHx y叫2Xsin2X6 a /V fz dzzlim0o imyoyx

25、, ysin( x2y2),dzlimosin( x22 x综上(1),(2)f(x, y)在点(0,0)连续，但不可微8.6.求下列二重极限(1) lim0y 0xy_3 xy 9(x,yin?0,0)(1x21y2厂(3) xmy2x0 x20 2 y 2 y lim Sin(xy)xyxy解答:(1)xylim0 3, xy.xy(3 xy 9) limx 0y 0(2)lim(1x2 y2)x2x,y0,0(3)limx 02x2 x2 y2 y令y kxy 0112y令x22y ulim(1 u)u eu 02.2 2“ .2lim 20x2y kx 0 uk x1 kl 22k x

26、1 k2xy此极限随K改变而改变，因此极限不存在(4) limxysin(xy)xy(|sin(xy) 1,1xy0)8.7求下列函数的一阶偏导数和全微分(1)zeuvsinv， uxy，v x y解答:zz uzvu ve sin vuy ev(s inv cosv)xu xvxexyx y y sin(xy)sin( x y)cos(xy)dzdxx(2) u f(x,y,z)解答：上xz v xyev yz g(x, y)fzgx,dzuxdxUydy8.8求下列方程所确定函数的全微分siny 0x(1)exz(2) f(xy,y z,zx)y xsin(x y) sin(xfzgyy)

27、cos(x y)dz解答：令f(x,y,z)xz e则Fxxzzesi nxy ycos丄,Fyxx2FzxzxedzFzZxdx令 f(x,y,z)8.9函数zxzzeyy2 cos-XXxzxeFz1ycos-xxxzxeZydy则Fxf1f3Fyf1f2Fzf2f3zf1f3zf1f2xf2f3yf2f3dzZxdxZydyf(xx)0y,y乙zz(x, y)由方程exy3所确定，求2zT。x解答：方程e z xy 3两端同时对x求偏导，得ez y 0x x则芒-x 12z2x1Z 2(1 e )(ez)，x2 zy e(1 e )8.10设x f(x,y,z), z(x,y)求 dy

28、odxy(x)z(x)解答：由* zy(zF2 x FJ x(xF| yF2) f(x,y,z)确定了两个函数 z (x,y)方程组*对x求导得ff dyf dzxy dxz dxdzdydxxy dxi解得dy 2dx8.11设函数z(x, y)由方程F(x , y -)0确定y x证明 x y z xy。x y方程f (x , yy-)o两侧分别同时对xx，y求偏导F1(1-)xzx zF2()0xzy zh(丄l)yF2(1z-)0x2zx(zF1y F2)yy(xF1 yF2)解答:dz dz由Gramer法则dxdy2x2yzdzdzdxdy10dxz 2ydy2xzdz2x 2y，

29、dz2x2y2学xd2x dz2y z 2ydx dy dz dz_ 2x zx y 2 2x 2yz 2y z 2y 2x z2x 2yx z y z z(xFj yF2) xy(xFj yF?)x 7 yxF1z xyyF2故得证8.12 设u f (-,-) xy具有二阶连续偏导数，求u。x yx解答：u12f112f2xxx y2u111 11 12f12 (2 )2 2 f2f22( 2 )x yxxyx yyxy11f 1 f32f122 2f23 3 f22x3yx yx y2 2 1 2 , 2x y -zd x8.13 设2求 2 。2dz 1 确定二个函数X x(z), y

30、 y(z)2上二等式两端同时对z求导2 x y2x8.14方程组7x24x23z22y2 3z2确定了隐函数y y(x), z z(x)2时，求dy dz d2 y d 2z22- ?dx dx dx dx解答：方程组对x求导得14x 2yy 6zz 0 8x 4yy 6zz 03 5将x 1, y 2, z 2代入上式得yz 32dy 3xd y 3y 3x 3，y2dx ydx y8518dz 10x10 z xzdx 云，z 3 z22 2 28.15求曲面2x 3y z 9上平行于平面2x 3y 2z 10的切平面方程。解答：设满足条件所求切平面与曲面的切点为x0, y0, z0则 2

31、x。2 3y。2%29又nFx x, y,z , Fy x, y,z。, FzX0,y,z4x0,6y,2z0则 4x ：6y ： 2z2:3 :2由解得X。1,y1,Z2故所求切平面方程为：2 x 13 y12 z20或2x 13 y12 z 20化简 2x 3y2x98.16证明曲面x 2yIn z 40和x2xy 8x z50在点P(2, 3,1)处相切。(即有公共切面)O解答：x 2y lnz 40在点 2, 3,1 的切平面的法向量1NFx 2, 3,1, Fy 2, 3,1 , Fz 2, 3,11,2，丄1,2, 1Z (2, 3,1)8.17设F (x, y.z)具有连续的偏导

32、数，且对任意实数t有F(tx,ty,tz) tkF(x,y,z)(k是自然数)，试证：曲面F(x,y,z)0上任意一点的切平面相交于一定点。(设在任意点处F：F；F；0 )。证明：由 F tx,ty,tztkF(x, y,z),令 u tx,v ty,w tz两边同时对 t求导 xF u yF v zF w ktk 1F(x, y,z)xtF u ytF v ztF w ktk F (x, y, z)xFx yFyzFz ktkF(x, y,z)令X0,y,Z0为曲面上任一点，贝UF(X0,y,z。) 0且 xFxX0,y0,z。yFyX0,y0,z。 zFzX0,y0,Z0= ktkFX0,

33、y,z00曲面在点x0, y0, z0的切平面为x X Fx X0,y,Z0y y。Fy X0,y,Z0z Fz x, y,Z00整理得 xFx yFy zFz xFxyFyzFz 0即 xFx yFy zFz 0此平面必过原点(0, 0,0)故得证。8.18求空间曲线x2 y2z23x 0, 2x 3y 5z0在点(1,1,1)处的切线和法平面方程。解答：设 F(x,y,z) x22z 3x，G(x,y,z)2x3y 5z 4于是，Fx 2x 3Fy2yFz 2z Gx 2Gy 3 Gz 5它们在点P)(1,1,1)的值为由f,gFxFy1210x, yGxGy23得曲线在(11,1)的切线

34、方程。x1y1z1即x 1 y 1 z 12221121691355 223曲线在(1，1，1)的法平面方程为16x 19(y1)(z 1)0 即16x9y z 24Fx12235GyFzGxGzFy 28.19求函数xyyzxz在点(1,1,1)沿方向k的方向导数。解答：丄xu u cosx8.20求函数2 x 2 a(1,1,1)(1,1,1)cos2 y b22,2,cos cos-cos z2、3(1,1,1)cos2,解答：x2xcosx22 z 2 cb2,在点M (x, y, z)沿此点向径方向的方向导数。2z2 ccosx2cosuuuucos cos cos lxyz2a2

35、y_ b28.21求函数z 3x4xy y3在M(1,2)处与ox轴的正向成135角的方向的方向导数。解答：zx 12x3 y, zy x 3y2,在 M(1,2)处的值ZX (1,2)14Zy (1,2)13coscos13522coscos 45.22z2 “ 2zxcoszycos14132 228.22求函数z32x 3xy15x12y的极值。解答：fx(x,y) 3x2 3y2150fy(x, y) 6xy 24y0求得稳定点1,2 2,11, 22, 1A 1xx6xBf xy6yCfyy6x在点(1,2)处ACB26 6 1221080,A60不是极值点在点(2,1)处ACB21

36、2 12621080.A120极小值108 0不是极值点在点(-1,-2)处 AC B2在点(-2,-1)处 AC B2(12)( 12) ( 6)2 1080,A12 0是极大值点z 极小(2,1)=-28,z 极大(-2,-1)=2811x0,xy)11J/xy120x120y20Fx解答：令F(x,y8.23求函数zFy(x y 2)得x y 1y 0在x y 2的条件下的极值。8.24因为z x, yz1,1x y 2xy0 所以z极值1,1g(x, y,z)解答：设FxFyFz2 则xf (x,y,z)xy yz xzx2z20(x0,yo,z0）下的极值。x, y, zxyyzzx

37、x2z21解得r1因f(x,y,z) f .3,.3, ,3xyyzzx 1x2z2xy yzzxy2 (y z)2 z且等号只在y z1 1时才成立，故f.3, 331是极大值.、求下列函数的定义域(1) u=arcsin解：（1）1 x2 12y(x,y,z)x2 xcos2y 0，D ( x, y) xk4、求下列二重极限0,k测验题（八一1）(2)z= . xcos2yzx2y0, cos2y0, cos2y341 k0,即k0,2 2,x0,1,2,0x0,(1)limyxyeab解:(1)!(a0,b0)(2) llm (x2xyy2)sln 2 1 2|i exy 1 linx

38、ay b2 lim (x2xyy2 )sinlimxysin 二x三、证明2Xx2证明：令点p沿y kx趋近于(0,0),2kxmoH X2yx2Xoimokx此极限值随k的改变而不同，故得证四、求下列函数的指定的偏导数或全微分1、 设u= x g(y)，其中 具有=阶偏导数，g为可导函数。求ux, uy和uxy解：ux X g(y)uyx g(y)g (y)uxyx g(y)g (y)2、设方程xyz x y z确定了隐函数 z z(x, y)求Zx,解：等式两端同时对x求偏导y(z xzx) 1 Zx则zxyz 11 xyzxx2y(yz 1)(1 xy)23、设 z f (x, y)而y

39、(x)由方程组sin u xy 0 亠 ey x2 3u 0确定求解：方程组确定了一组函数y(x)u(x)2xxdy o dx c du -30dxdu cosu 方程组对x求导 dxdy 3y 2xcosuy3x e cos uy dy e dxdzf f鱼xy dxfx f3y2xcosudxy 3xye cosu4、设u(x)(y)，(x) 0,均为可导)，求du解:u (y)x(x) (y)1(x)uy(x) (y) ln(x)(x)则dxdu dx dy x y五、求函数z 0其它点在(00)点是否可微？为什么?z( x,0)z(0,0).0 0-解：zx(0,0) limlim0x

40、 0xx 0 xzy(0,0) lim z(0, y)0y 0y若函数在(0,0)处可微，则dz0,但lim z dzx 0 ( x)2( y)2lim0 ：x：2 Y( y)2limx 0y 01六、求 z aI 2b2 b2x2 a2y2在点 P沿曲线2 2xy2 ab1在该点法线（指向原点）方向的方向导数。P2b2 x解：Zx、 2ab2 , Zy2a22a 2bP曲线在点,b2）切线斜率为法线斜率为K -b由法线指向原点方向得cosb.a2 b2cosa.a2 b2ab . 2(a.xoyo b2)七、证明锥面z,x2 y23的所有切平面都通过锥面的顶点解：设（Xo, yo,Zo）为锥

41、面上任意一点，则 锥面在点（Xo,y,Zo）的法向量为xoN , 2 2xo yof2*2 .xo yo锥面在（xo, yo, Zo）点的切平面为xoyo22(X xo)(y y。) Z Zooyo, xoyo又因为（Xo, yo，Z0）满足Zo； xo2yo23,故切平面为XoX2 2.xo yoyo此平面恒过点（0,0,3）.八、求 f (x, y)x2y2 xy 3y在闭域 o4 x,o x 4上的最大值与最小值。解：首先考虑函数在区域o y 4 x,o x 4上的稳定点再考虑函数在边界上的情况在边界0y 4, x 0上, f(0, y) y2 3y2y3 0,y 3此时 f (0.3)

42、9y224又 f(0,0)0, f(0,4) 4在边界y0,0 x 4上, f(x,0) x2f 2x0 ,x0 此时 f (0,0)0x又 f(4,0)16在边界y4 x,0 x4 上,f (x, y) 3x29x4f6x9 0,x 此时y5,fl罕)0x222 2经比较minf(x,y)f(1,2)3 , max f (x, y)f(4,0)162x y2y x 30求得唯稳定点(1, 2),且f(1,2)测验题(八一2)ln( 1 xy)一、确定 f (x, y)的。x x 0的定义域，并证明此函数在其定义域上是连续y x o解：D (x,y)xy 1,x0； y R, x 0x0时，有

43、lim f( x x, y y)x 0y 0limx 0y 0ln1 (x x)( y y)x x.ln(1 =lim -x 0y 0xy y x x yx y)f (x, y)当x 0时，有lim0 f(0,yy)liym(yy) y, 有偏导数，求上?x故此函数在定义域上是连续的、1.设uf (x, y,z).y (x,t).t(x,z).其中 f 可微2. 设F ( -,y) 0其中F(u.v)可微，此方程确定一函数z z(x , y)，求zx解：等式分别对x,y求导-(uzz xx)-(vyg 二)z xxzzy y)得丄xFz -uF y vFz -vFFxyuv3.tf(xy)yf

44、(x y)有连续二阶偏导，f二阶可导求x y二、设2x22x3y2y当 x 1,y解：方程组对x3z2172,z2时，：求导4x 3y2x 2y8z22zz 0dy dz d2zdx dx dx2y y(x),z z(x)解得y 2x, z2 2 x z3z当 x 1,y2,z2 时，有 y 2,z152,z8四、在曲线x t,yt2, z 3t21上求一点，使曲线在此点处的切线平行于平面 x 2y z 4解：设曲线上任一点对应的切向量为T x(t), y (t),z(t)1, 2t,6t平面的法向量为 N 1,2,1由曲线平行于平面得T N 1 4t 6t 0 故 t从而 x -, y -,

45、 z 72441 1 7故（，-）即为所求点。24 4五、在曲面z xy上求一点，使这点的法线垂直于平面 x 3y z 90,并求此法线方程解：设曲面z xy上任一点(x0,y0,z0)对应的法向量为N1yo, xo,1平面x 3y z 9 0的法向量为 N21,3,1由法线垂直于平面得X。3 ,y01故曲面z xy上点(3, 1,3)的法线垂直于平面且法线方程为(x+3) +3( y+1)+( z-3)=0即 x+3y=z+3=0六、求函数u3x22y2z22xy 2x 3y 6z在A(1, 2,1)点的梯度大小和方向解：丄6x 2y2a0, 2x 4y 3a 32z 6gradu 3j 8kgradu|,.；73, cos 0, cos3、73cos七、求 f (x, y, z) 2x2y2z2sin(x,y,z)在点(0,1,2)沿曲线L: x t2 t3, y t2, z2t的t减少方向的方向导数解：fx 4x yz cos(xyz