第4章流体动力学基础

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1、第四章流体动力学基础本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析， 定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系建立不可压缩流体运动微分方程一N S方程.对理想流体运动微分方程 一一欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到 恒定元流的能量方程 一-伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动 量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 4 1运动流体的应力状态在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可 由一个静压强(数量场)来描述.在运动的流体

2、中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫 做动水压强，以示与静水压强的区别。在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应力， 因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点 的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力 是矢量，而且还与作用面方向有关.所以把法向为n的作用面上的应力矢量表示为Pn(x,y,z,t)，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体受拉。应力矢量的分量形式为(pnx, Pny, Pn

3、z)，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前 一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知Pxy等的含义。Pxx Pxy Pxz由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量,记为P Pyx Pyy PyzPzx Pzy Pzz主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。有了应力张量P，任意方位作用面上的应力都可知道,为：Pn n P，如法向为n的 作用面上应力的y方向的分量为Pny Pxy “x Pyy “y Pzy“z运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方 位作用面上的应力，可见运动

4、流体的应力状态可由应力张量来描述.应力张量主对角线上三个元素之和Pxx Pyy Pzz是坐标变换中的不变量,即其值不随坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是 可定义p3(Pxx Pyy Pzz)为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场.要注意p并非任意方位作用面上 真正的压应力 Pnn.各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系：个人收集整理勿做商业用途1 0 0P 2 p 其中0 100 0 1它是牛顿内摩擦定律在三维情况下的推广，称为广义牛顿内摩擦定律。 42流体运动微分方程以应力表

5、示的流体运动微分方程在流场中取出一个空间六面体微元，按照欧拉观点表述动量守恒原理：单位时间微元内动量 的增加必等于单位时间净流入微元的动量加上 微元内流体所受合力.在单位时间里，净流入微元左右一对表面的y方向的动量为(UyUy)dxdydz,净流入前后和y上下两对表面的y方向的动量分别为(UxUy) d xd yd zdt 和口( UzUy) dxd yd zdt。xz作用于六面体微元表面沿y方向的表面力有：左右一对面元法向力Pyy dxdz (Pyy -yd y)dxd z ;前后一对面元切向力pxy d y d z (Pxyd x) d yd z ； 上 x下一对面元切向力Pzydxdy

6、(pzy凹dz)dxdy .相加得沿y z方向的总表面力pxypyyPzy、()dxd yd zxyz作用于六面体微元的沿y方向的质量力为单位时间六面体微元内y方向动量的增加为Yd xd yd z(Uy) dxd ydz根据动量守恒原理，得到(Uy)”( UxUy)(UyUy)(UzUy)zPxyxPyyyPzy)z将上式的左侧展开(Uy)( UXUy)tx(UyUy)y(UzUy)z(Ux)且tUy)UyUxux(Uz)zuyyy巴z易知上式右侧第一项为dUy叫Y 1(dt.，根据连续方程第二项为零。所以dtPxyP yyPzy)x y z同理可得x,z两个方向上的方程duxdtPyxPzx

7、 )yzPzzzdUz1 , PxzPyzZdtx y这就是以应力表示的流体的运动方程。 X，Y，Z表示质量力f的三个分量.不可压缩粘性流体的运动微分方程-N S方程将广义牛顿内摩擦定律代入运动微分方程，即有d Uydt丫 -_（亠上）_（巴巴）丄x y x y y y yUz2 2 2UyUyUyUx Uy(2 2 2 ) (x y zy x yUz)丫z)y1 p2Uy2Uy2y不可压粘性流体的 力之间的平衡.理想流体的运动微分方程理想流体忽略粘性作用，d u u 貢下（U ）U f并成如下的矢量式：dt t （U ）U fpU.这就是不可压粘性流体的N-S并可合.同理可得X,Z方向上的方

8、程,曰由于用了不可压流体的连续方程最后一个等号疋方程,式中2222y2z2是拉普拉斯算子，表示对变量求调和量。N-S方程表明了时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性-欧拉方程0 ,流体中没有切应力，运动微分方程简化为:1p称为欧拉方程。它表明了时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力之间的平衡 流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程退化为欧拉平衡方程f丄p 0四。流体动力学定解问题和解法概述基本微分方程组前面导出的微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程 组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p和u,方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏

9、微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的， 解析求解非常困难。解法概述只有在极少数简单流动的情况下，N S方程才有解析解。而绝大部分流动都不能直接对N-S方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步 的解析处理。忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是常见的手段.如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。后面我们就将分门别类地对各种流动 进行求解方法的讨论。应该强调，各种简化都是在基本方程的基础上进行的，所以深入理解 方程中各项的物理意义是非常重要的。初始条件和边界条件流体运动基本方程还要加上初始条件和边界条件才能形成流体动力学的定解问题

10、。流 体运动所遵循的动力学方程是普遍的，因此流动的个性就体现在初始条件和边界条件上面 初始条件是对不恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布，边界条件是指运动方程的 解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。理想流体的固壁条件称为可滑 移条件，即流体不能穿越固壁，但可有切向相对运动，所以Un Un.实际（粘性）流体个人收集整理勿做商业用途的固壁条件称为不可滑移条件，即附着在固壁上的流体质点与固壁不能有相对运动，所以u U。这里u和U分别表示附着在固壁上的流体质点与固壁上相应点的速度.液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为常数（大气压）。五

11、。理想流体的运动微分方程的积分伯努利积分讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分dux1 pduyi pduz .X，Y，td txdtydt.将理想流体的运动方程式写成:z在流线上沿流动方向取一段弧长（dx,dy,dz）,因为恒定流动的流线不随时间变化,迹线与流线重合,uxdt d x , Uydt d y , uz d t d z将上述两组各三个等式的左右边分别相乘，然后相加得等式: 罟 uxdt 晋 uydt叫uzdt X dx Ydy dtZdz丄(丄dxxdz)z上式左边可改写为：duy -uy dt dt叫 uxdt dtduz u dtdtux d uxdux2 ux22Uy

12、22 uz2如质量力是有势的，有势函数W，即XW，丫 -xW,Z yW，则右边前三项是力势z函数W的全微分：Xdx YdyZdzW . dxW .dy -WdzdWxyz右边后三项为：卫dy卫dz)-dp ,对于密度为常数的不可压缩流体xyz1pd p d -经上述变换后，得到2 u d 2dWd卫或 d W2_P u_20。Cl称为伯努利积分.2uz2d出2d出2222?上式的积分w u2? 伯努利积分表明：在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的常数.其中W是力势函数，是不可压缩流体的密度。? 从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它 记作Cl，称为流线

13、常数。欧拉积分? 以上讨论了伯努利积分，其成立的条件是：理想，恒定，不可压，质量力有势。现在 再加无旋（有势）条件，导出理想流体运动方程的欧拉积分。? 因为有理想、恒定的条件,所以x方向运动方程为：ux旦 uy匕 uz 土 X丄?再由无旋条件得UxxUyUy 72 2 2UxUyUzy 2相加，得到UzUz-Xx22 2Ux Uy Uz2? 上式的积分d W -22W卫U C2称为欧拉积分。? 欧拉积分表明：在理想流体的恒定无旋流动中，即x2 2 2UxUyUzX2同理,x将三式分别乘上d x, d y, d z，然后2，流场中各点的W上邑值是一个常2数。其中W是力势函数，是不可压缩流体的密度

14、。? 从推导过程看，dx,dy,dz可在流场中任取，所以积分常数C称为通用常数。? 表面上看,伯努利积分和欧拉积分很相似，但两者的适用条件和使用范围是不同的。 43恒定总流的能量方程。恒定元流的能量方程伯努利积分在流线上成立，也在元流上成立。重力场中，理想、不可压流体恒定元流2的1-1、2-2两个断面上，有：zi p 匕2g伯努利积分是欧拉方程的各项单位质量流体受力（加速度）取了势函数而来的。力势函 数是能量量纲（力对位移作积分），所以各项都是单位重量流体所具有的能量。位重量流体所具有的位置势能2P2U2Z2 。2gZ是单 （简称单位位置势能），卫是单位重量流体所具有的压强势能（简称单位压强势

15、能）.Z为单位重量流体所具有的动能2 卫是单位重量流体所具有的总势能（简称单位总势能）。备2（简称单位动能）。三项之和z上豈为单位重量流体的总所以伯努利积分表示沿程机械能的守恒，可称为元流机械能（简称单位总机械能）的能量方程。伯努利积分中的各项也都是长度量纲 ，可称为水头 z是位置水头，卫是压强水头,22z卫是测压管水头，为速度水头，三项之和 z卫为总水头。2g2g毕托管利用测压管和测速管得到总水头和测压管水头之差-速度水头，可用来测量流 场中某点的流速。要注意理解为什么测压管开口方向应与流速垂直，而测速管开口方 向则应迎着流速方向。恒定总流的能量方程将恒定元流能量方程累加可得到恒定总流能量方

16、程 ，即:2 2P UP U（z） dQ （z） dQ .A2gA22g若过水断面A取在渐变流段中，则其上的测管水头z卫可视为常数，这样(z ) d Q (z ) Q。个人收集整理勿做商业用途2r q .称为动能修正系2 在过水断面A上是不均匀的，设 土a 2gu3d A数，易知AV A总流通过渐变流段中过水断面的能量通量为Q（z上v22g）。对理想不可压流体恒定总流，不考虑 S侧上的能量损失，控制体内能量不变，所以通过 各过水断面的能量流量相同，由连续方程决定了重量流量Q沿程不变,所以2 2Pi iViP22V2ZiZ22g2g总流能量方程的上述一维表达要求i-i、2 2两个过水断面处于渐变

17、流段中。2 2Zi考虑实际（粘性）流体流动时的能量损失，Zi巴半 Z2上学 hi 22g2g断面i-i是上游断面，断面2-2是下游断面，hi-2为总流在断面i i和2-2之间平均每 单位重量流体所损耗的机械能，称为水头损失。三。恒定总流能量方程的几何表示-水头线将恒定总流能量方程的各项水头沿程变化的情况几何表示出来，称为水头线。将三项 水头之和称为总水头，记作H。可分别画出测管水头线和总水头线.实际（粘性）流体的总水头线肯定是沿程下降的，将水头线的斜率j 空岂 称d s ds为水力坡度，表示单位重量流体在单位长度流程上损失的平均水头水头线不一定是直线，也不一定连续（有局部损失时会有间断）。四.

18、 恒定总流能量方程的应用恒定总流能量方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。其实，在实际生活中我们经常会遇到三种机械能 相互转化的例子。利用恒定总流能量方程时，上下游过水断面必须在渐变流段中选取，并且选在尽可能多 地集中已知量和未知量的位置。一般可求解某个水头，或者可求解两断面上测管水头 或速度水头之差。2 2 有能量输入或输出的恒定总流能量方程为乙PiH m Z2匕-hi 2.注意2g2gHm应为单位重量流体增加或减少的能量。对于四周通大气的流柱，过水断面的测管水头就取为断面形心处的位置水头. 44恒定总流动量方程对总流管中上游过水断面i

19、 i和下游过水断面2-2之间的一段有限体积的控制体表述 动量守恒原理如下：单位时间控制体内动量的增加必等于单位时间净流入控制体的动 量加上控制体内流体所受合力。限于讨论恒定流动，因此控制体内动量不会改变，贝U单位时间净流入控制体的动量加 上控制体内流体所受合力为零，即单位时间净流出控制体的动量等于控制体内流体所 受合力。对恒定总流的情况，动量守恒原理为：单位时间通过两个过水断面净流出控制体的动量等于该段总流内的流体所受合力。单位时间里通过总流过水断面的动量uudA，根据恒定总流的动量守恒原理，应有Auud A uu dA FA2A1为把总流动量方程的表达一维化，假设断面A是在渐变流段中的一个过

20、水断面， 则断面 上各点U的方向一致.用断面平均流速v代替u，定义V的大小为V，方向为U的方向， 用V代替u，那么总流过水断面的动量通量成为vvdA,它和精确的动量通量方向一A致，大小并不相等。为使两者相等，需要补上一个修正系数0，从而使动量通量的大小u2 d A写成 u2dAoV2A.可见，这个修正系数应为。J ，称为动量修正系数。av A一维化的恒定总流动量方程为(02V2V2A2 01V1V1A)F 或 Q( 02v2 01v1)F其中，进口断面Ai,出口断面A2位于渐变流段中。讨论 F :F =质量力(重力)+侧壁表面力合力+两过水断面上表面力合力。侧壁表面力合力往往是欲求的。过水断面

21、取在渐变流段中，其上的表面力没有切向分量， 只有法向力，可用断面形心处的相对压强作为平均压强计算。恒定总流动量方程中以流出控制体即下游出口断面的动量流量为正，反之为负，这里有一个取正负号的问题另外，动量方程本身是矢量式，实际求解时须分解成分量式，又 有一个向坐标轴投影的问题，也涉及到正负号的选取。应予特别注意。应用恒定总流动量方程，只要计算边界上的动量流量就可求取流体所受外力的合力，避开了这段流动内部的细节，在一些关心受力的总效果，而不关心应力分布的问题中显示 出便利之处。恒定总流动量方程中的F是指运动流体所受的外力，与外界所受运动流体的力是作用力和反作用力的关系。 45求解恒定总流问题的几点说明通常将连续方程、能量方程与动量方程称为一维恒定总流的三大方程，在实际计算时， 有一个联用的问题，应根据情况灵活运用。在有流量汇入或分出的情况下，也不难写出三大方程的具体形式，其中能量方程的表达方法要加以注意，不要将单位重量流体能量(水头 )误认为断面总能量本章对总流所加的恒定限定是非常重要的， 有了这个限定，控制体内流体的质量、动量 和能量不随时间改变，三大方程只含有边界上的质量、动量和能量的通量，从而使问 题大大简化。