北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题

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1、-二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

2、向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处

3、，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字左加右减，上加下减 方法二：沿轴平移:向上下平移个单位，变成或沿轴平移：向左右平移个单位，变成或四、二次函数与的比拟从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与

4、轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；3. 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的

5、关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛

6、物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是左同右异总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，则这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛

7、物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点

8、对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落

9、在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次

10、三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：十一、函数的应用二次函数应用二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。假设求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式

11、，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，*轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。一、二次函数的定义例1、函数y=(m1)*m2 +1+5*3是二次函数，求m的值。练习、假设函数y=(m2+2m7)*2+4*+5是关于*的二次函数，则m的取值围为。二、五点作图法的应用 例2. 抛物线，1用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图2假设该抛物线与*轴的两个交点为A、B，求线段AB的长1、2009抛物线的顶点坐标为A-2，7 B-2，-25 C2，7 D2，-92、(2009年)抛物线

12、的对称轴是直线 ABCD3、2009年把二次函数用配方法化成的形式 三、及的符号确定例3. 抛物线如图，试确定： 1及的符号；2与的符号。1、2009年市二次函数的图象如下图，有以下四个结论：，其中正确的个数有 A1个B2个C3个D4个2、2009年市二次函数的图象如下图，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是 ABCD11O*y y*O113、2009年枣庄市二次函数的图象如下图，则以下关系式中错误的选项是 Aa0Bc0C0D04、2009年庆阳图12为二次函数的图象，给出以下说法：；方程的根为；当时，y随*值的增大而增大；当时，其中，正确的说法有请写出所有正确说法的序号5、(2009年)=

13、次函数ya*+b*+c的图象如图则以下5个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab中，其值大于0的个数为 A2 B 3 C、4 D、5四、二次函数解析式确实定例4. 求二次函数解析式： 1抛物线过0，2，1，1，3，5； 2顶点M-1，2，且过N2，1；3抛物线过A1，0和B4，0两点，交y轴于C点且BC5，求该二次函数的解析式。练习：根据以下条件求关于*的二次函数的解析式（1） 当*=3时，y最小值=1，且图象过0，7（2） 图象过点0，21，2且对称轴为直线*=（3） 图象经过0，11，03，0五、二次函数与*轴、y轴的交点二次函数与一元二次方程的关系例5、 抛物线y*2-

14、2*-8，1求证：该抛物线与*轴一定有两个交点；2假设该抛物线与*轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。1、二次函数y*2-2*-3图象与*轴交点之间的距离为2、 如下图，二次函数y*24*3的图象交*轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.13、假设二次函数y(m+5)*2+2(m+1)*+m的图象全部在*轴的上方，则m 的取值围是六、直线与二次函数的问题例6 ：二次函数为y=*2*+m，1写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；2m为何值时，顶点在*轴上方，3假设抛物线与y轴交于A，过A作AB*轴交抛物线于另一点B，当SAO

15、B=4时，求此二次函数的解析式1、抛物线y=*2+7*+3与直线y=2*+9的交点坐标为。2、直线y=7*+1与抛物线y=*2+3*+5的图象有个交点。 例7 2006，枣庄关于*的二次函数y=*2m*+与y=*2m*，这两个二次函数的图像中的一条与*轴交于A，B两个不同的点 1试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； 2假设A点坐标为1，0，试求B点坐标； 3在2的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当*取何值时，y的值随*值的增大而减小？练习(2009年省) 如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且OB2OA，点A的坐标是(1，2)1求点B的坐标；2求过点A、O、B的抛物线的表达式；3连接

16、AB，在2中的抛物线上求出点P，使得SABPSABO 例8 2006，市：m，n是方程*26*+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=*2+b*+c的图像经过点Am，0，B0，n，如下图 1求这个抛物线的解析式； 2设1中的抛物线与*轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积；3P是线段OC上的一点，过点P作PH*轴，与抛物线交于H点，假设直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两局部，请求出P点的坐标 【分析】1解方程求出m，n的值 用待定系数法求出b，c的值 2过D作*轴的垂线交*轴于点M，可求出DMC，梯形BDBO，BOC的面积，用割补法可求出BCD的面积 3P

17、H与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：EH=EP， EH=EP 【解答】1解方程*26*+5=0， 得*1=5，*2=1 由mn，有m=1，n=5 所以点A，B的坐标分别为A1，0，B0，5将A1，0，B0，5的坐标分别代入y=*2+b*+c， 得 解这个方程组，得 所以抛物线的解析式为y=*24*+5 2由y=*24*+5，令y=0，得*24*+5=0 解这个方程，得*1=5，*2=1 所以点C的坐标为5，0，由顶点坐标公式计算，得点D2，9过D作*轴的垂线交*轴于M，如下图 则SDMC=952= S梯形MDBO=29+5=14， SBDC =55= 所以SBCD =S梯形MDBO+SD

18、MC SBOC =14+=15 3设P点的坐标为a，0 因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=*+5 则，PH与直线BC的交点坐标为Ea，a+5，PH与抛物线y=*2+4*+5的交点坐标为Ha，a24a+5 由题意，得EH=EP，即 a24a+5a+5=a+5 解这个方程，得a=或a=5舍去EH=EP，得 a24a+5a+5=a+5 解这个方程，得a=或a=5舍去 P点的坐标为，0或，0七、用二次函数解决最值问题例9 *产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价*元与产品的日销售量y件之间的关系如下表：*元152030y件252010 假设日销售量y是销售价*的一次函数 1求

19、出日销售量y件与销售价*元的函数关系式； 2要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】1设此一次函数表达式为y=k*+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-*+40 2设每件产品的销售价应定为*元，所获销售利润为w元 w=*-1040-*=-*2+50*-400=-*-252+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：1设未知数在当*为何值时，什么最大或最小、最省的设问中，*要设为自变量，什么要设为函数；2问的求解依靠配方法或最值公

20、式，而不是解方程例3.你知道吗平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如下图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：此题考察二次函数的应用答案：B八、二次函数应用(一经济策略性1.*商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，假设按每件20元的价格销售时，每月能卖360件

21、假设按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件是价格*的一次函数.(1)试求y与*的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？总利润=总收入总本钱2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期蟹的个体重量根本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假

22、定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。1设*天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于*的函数关系式。2如果放养*天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于*的函数关系式。2该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润利润=销售总额收购本钱费用，最大利润是多少？自我检测30分钟一. 选择题。 1. 用配方法将化成的形式 A. B. C. D. 2. 对于函数，下面说确的是 A. 在定义域，y随*增大而增大 B. 在定义域，y随*增大而减小 C. 在，y随*增大而增大 D. 在，y随*增大而增大 3. ，则的图象 4. 点-1，33，3在抛物线上，则抛物线的对称轴

23、是 A. B. C. D. 5. 一次函数和二次函数在同一坐标系的图象 6. 函数的最大值为 A. B. C. D. 不存在二. 填空题。 7. 是二次函数，则_。 8. 抛物线的开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_。 9. 抛物线的顶点是2，3，且过点3，1，则_，_，_。 10. 函数图象沿y轴向下平移2个单位，再沿*轴向右平移3个单位，得到函数_的图象。三. 解答题。 12. 抛物线，m为非负整数，它的图象与*轴交于A和B，A在原点左边，B在原点右边。 1求这个抛物线解析式。 2一次函数的图象过A点与这个抛物线交于C，且，求一次函数解析式。参考答案一. 选择题。 1. A2. C3. C4

24、. D5. C6. C二. 填空题。 7. 1 8. 下； 9. 10. 大， 11. 三. 解答题。 12. 1 又m为非负整数抛物线为 2又A-1，0，B3，0 设C点纵坐标为a 当时，方程无解 当时，方程强化训练一、填空题12006，右图是二次函数y1=a*2+b*+c和一次函数y2=m*+n的图像，观察图像写出y2y1时，*的取值围_22005，省抛物线y=a2+b*+c经过点A2，7，B6，7，C3，8，则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是_3二次函数y=*2+2*+c2的对称轴和*轴相交于点m，0，则m的值为_42005，市假设二次函数y=*24*+c的图像与*轴没有交点，其中c

25、为整数，则c=_只要求写出一个52005，省抛物线y=a*2+b*+c经过点1，2与1，4，则a+c的值是_6甲，乙两人进展羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离sm与其距地面高度hm之间的关系式为h=s2+s+如下左图所示，球网AB距原点5m，乙用线段CD表示扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，假设乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值围是_72005，省二次函数y=*22*3与*轴两交点之间的距离为_82008，庆阳市安居工程新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y元/m2随楼层数*楼的变化而变化*=1，2，3，4，5，

26、6，7，8，点*，y都在一个二次函数的图像上如上右图，则6楼房子的价格为_元/m2二、选择题92008，二次函数y=a*2+b*+c的图像如下图，则以下关系式不正确的选项是 Aa0 Ca+b+c0 (第9题) (第12题) (第15题)102008，威海二次函数y=a*2+b*+c的图像过点A1，2，B3，2，C5，7假设点M2，y1，N1，y2，K8，y3也在二次函数y=a*2+b*+c的图像上，则以下结论中正确的选项是 Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30交*轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交*轴于点E，点B的坐标为1，0 1求抛物线的对称轴及点A的坐标；

27、 2过点C作*轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；3连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当APD=ACP时，求抛物线的解析式182006，如下图，m，n是方程*26*+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=*2+b*+c的图像经过点Am，0，B0，n 1求这个抛物线的解析式； 2设1中抛物线与*轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积；3P是线段OC上的一点，过点P作PH*轴，与抛物线交于点H，假设直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两局部，请求出点P的坐标192006，市*地方案开凿一条单向行驶从正过的隧道，其截

28、面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为*轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如下图的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC202005，省一个二次函数的图像过如下图三点 1求抛物线的对称轴；2平行于*轴的直线L的解析式为y=，抛物线与*轴交于A，B两点在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与*轴间的距离求点P的坐标212005，省如图576所示，二次函数y=a*2+b*+ca0的图像与*轴交于A，B两点，

29、其中A点坐标为1，0，点C0，5，D1，8在抛物线上，M为抛物线的顶点 1求抛物线的解析式；2求MCB的面积222005，市如下图，过y轴上一点A0，1作AC平行于*轴，交抛物线y=*2*0于点B，交抛物线y=*2*0于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=*2于点D；过点D作DE平行于*轴，交抛物线y=*2于点E 1求AB：BC； 2判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由答案12*1 21，8 31 4答案不唯一略 5365m4+ 74 82080 9C 10B 11B 12D 13D14B 15B 16D171对称轴是直线*=2，A点坐标为3，

30、0 2四边形ABCP是平行四边形 3ADECDP，=ADEPAE，12=t，t= 将B1，0代入y=a*2+4a*+t得t=3a，a=抛物线解析式为y=*2+*+2181y=*24*+5 2C5，0，D2，9 SBCD=15 3设Pa，0，BC所在直线方程为y=*+5PH与直线BC的交点坐标为Ea，a+5 PH与抛物线y=*24*+5的交点坐标为Ha，a24a+5假设EH=EP则a24a+5a+5=a+5，则a=或a=5舍假设EH=EP，则a24a+5a+5=a+5，则a=或a=5舍P，0或，019如下图，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M，4，N2，设抛物线的表达式为y=a*2+c，则 解

31、这个方程组，得y=*2+，当*=0时，y=，C0，OC= 当y=0时，*2+=0，解得*=A，0，B，0，AB= 所以，抛物线拱形的表达式为y=*2+隧道的跨度AB为m，拱高OC为m201设二次函数的解析式为y=a*2+b*+c 根据题意，得 ，解得 即y=*2+6*3=*32+6抛物线的对称轴为直线*=3 2解得点B3+，0 设点P的坐标为3，y，如图， 由勾股定理，得BP2=BC2+PC2， 即BP2=3+32+y2=y2+6L与*轴的距离是，y2+6=2，解y=所求点P为3，或3，211设抛物线的解析式为y=a*2+b*+c，根据题意得，解得所求抛物线的解析式为y=*2+4*+5 2C点

32、坐标为0，5，OC=5，令y=0 则*2+4*+5=0，解得*1=1，*2=5B点坐标为5，0，OB=5y=*2+4*+5=*22+9，顶点M的坐标为2，9 过点M作MNAB于点N，则ON=2，MN=9SMCB=S梯形OCMN+SBNM SOBC =5+92+95255=15221A0，1B点纵坐标为1，1=*2，*0，*=1，B1，1，AB=1 C点纵坐标为1，1=*2，*2=4，*0，*=2 C2，1，BC=1，AB：BC=1：1 2D点的横坐标为2，D在y=*2上，则D2，4 E点的纵坐标为4，E在y=*2，则E4，4 过O0，0，B1，1的直线解析式为y=* E4，4在这条直线上，所以O，B，E三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=*. z