求轨迹方程地常用方法(经典)

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1、word求轨迹方程的常用方法一求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，如此可先设出轨迹方程，再根据条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，如此可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标x，y表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，如此可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系

2、xft，ygt，进而通过消参化为轨迹的普通方程Fx，y0。 4. 代入法相关点法：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律，该点坐标满足某曲线方程，如此可以设出Px，y，用x，y表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5.几何法：假如所求的轨迹满足某些几何性质如线段的垂直平分线，角平分线的性质等，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程假如能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程

3、，该法经常与参数法并用。二求轨迹方程的须知事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，假如要判断轨迹方程表示何种曲线，如此往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上，又要检验是否丢解。即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示，出现增解如此要舍去，出现丢解，如此需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身：1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴

4、的垂线，垂足为M，如此PM中点的轨迹中点的轨迹方程为： 【答案】：B A、 B、 C、 D、【解答】:令中点坐标为,如此点P 的坐标为(代入椭圆方程得,选B上，并且与抛物线的准线与轴都相切的圆的方程是A B C D 【答案】：D【解答】:令圆心坐标为(,如此由题意可得,解得,如此圆的方程为,选D3: 一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【答案】：D【解答】令动圆半径为R，如此有，如此|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。应当选D。4:点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，如此点M2x0，y0的轨迹是 A.焦点在x轴上的

5、椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在y轴上的双曲线D. 焦点在X轴上的双曲线【解】:令M的坐标为如此代入圆的方程中得,选A名师点题一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：的顶点A，B的坐标分别为-4，0，4，0，C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，如此，如此轨迹方程为，图形为椭圆

6、不含左，右顶点。【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数大于两定点的距离（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数小于两定点的距离（4） 到定点与定直线距离相等。【变式1】: 1:圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一

7、支【解答】令动圆半径为R，如此有，如此|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。应当选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有如下几种情况：1代入题设中的等量关系：假如动点的规律由题设中的等量关系明显给出，如此采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐

8、标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点Px,y到两定点A3，0和B3，0的距离的比等于2即，求动点P的轨迹方程？【解答】|PA|=代入得化简得x52+y2=16，轨迹是以5，0为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数

9、，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值X围。例3过点P2，4作两条互相垂直的直线l1，l2，假如l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标x，y满足的参数方程。解法1：设Mx，y，设直线l1的方程为y4kx2，kM为AB的中点，消去k，得x2y50。另外，当k0时，AB中点为M1，2，满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M1，2，也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x2y50。分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k2是否

10、存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性：解法2：设Mx，y，连结MP，如此A2x，0，B0，2y，l1l2，PAB为直角三角形化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析3：设Mx，y，由l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设Mx，y，M为AB中点，A2x，0，B0，2y。又l1，l2过点P2，4，且l1l2PAPB，从而kPAkPB1，注意到l1x轴时，l2y轴，此时A2，0，B0，4中点M1，2，经检验，它也满足方程x2y5

11、0综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。【点评】1） 解法1用了参数法，消参时应注意取值X围。解法2，3为直译法，运用了kPAkPB1，这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值X围对动点坐标取值X围的影响【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A4，0，作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法 设点M的坐标为x,y,因为点M 是弦BC的中点，所以OMBC,所以|OM | | ，即(x2 +y2)+(x )2 +

12、y2 =16化简得：x22+ y2 =4.由方程 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 x22+ y2 =4 0x1。所以M的轨迹是以2，0为圆心，2为半径的圆在圆O内的局部。解法二：“参数法 设点M的坐标为x,y，Bx1,y1,Cx2,y2直线AB的方程为y=k(x4),由直线与圆的方程得1+k2x28k2x +16k24=0.(*),由点M为BC的中点，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程12消去k得x22+ y2 =4,又由方程*的0得k2,所以x1.所以点M的轨迹方程为x22+ y2 =4 0x1所以M的轨迹是以2，0为圆心，2为半

13、径的圆在圆O内的局部。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例4.轨迹方程。分析：题中涉与了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为x，y，而设B点坐标为x0，y0如此由M为线段AB中点，可得即点B坐标可表为2x2a，2y【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下列图，P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，

14、如此在RtABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程【备选题】双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点I假如动点满足其中为坐标原点，求点的轨迹方程；II在轴上是否存在定点，使为常数？假如存

15、在，求出点的坐标；假如不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：I设，如此如此，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是II假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有如此是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：I同解法一的I有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有如此是上述方程的两个实根，所以 由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂

16、直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是II假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由I有，以上同解法一的II【误区警示】【例题5】中，B，C 坐标分别为-3，0，3，0，且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，如此由定义可知，如此，得轨迹方程为【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性与完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子掺杂其中，将其

17、剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼仍逍遥法外，要将其“捉拿归案。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的局部或漏掉的局部。【能力训练】9.动点P到定点F1，0和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。【解答】：设点P的坐标为x，y，如此由题意可得。1当x3时，方程变为，化简得。2当x3时，方程变为，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。设A，B，Mx，y，由韦达定理得。由消去k得。又，所以。点M的轨迹方程为。【创新应用】11.一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，如此P的轨迹是 A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆 【答案】：A【解答】：由对称性可知|PF|=|PM|，如此|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=RR为圆的半径，如此P的轨迹是椭圆，选A。精彩文档