《统计学常用分布与其分位数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《统计学常用分布与其分位数（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、 1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Zh x2的i分布称为自由度等于 n的2分布，记作Z2(n),它的分布密度P(z)=z 0其他,式中的=02；7 ,称为Gamma数，且 1 =1,r(2.r-n八2分布是非对称分布具有可加性即当丫与z相互独立，且 Y 2(n), Z 2(m)，贝U Y+Z 2(n+m)。证明：先令Xi、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据 2分布的定义以及上述随机变量 的相互独立性
2、，令y=x2 +x2+xn, z=x?1 +x?-2+xn m,Y+Z= X+x12 n+22 n+X 2 m，即可得到 Y+Z2 (n+m) 2. t分布若X与Y相互独立，且XN(0,1) , Y2 (n)，贝U Z = x 丫的分布称为自由度 / V n等于n的t分布，记作Zt (n)，它的分布密度P=;1壬n30 时，t请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。2 (m),3. F分布若X与Y相互独立，且X2 (n)，丫n、则Z= X/Y的分布称为第一自由度等于n、第二自由
3、度等于n mm的F分布，记作 ZF (n, m),它的分布密度n m-1z2-,z 0n mn miP(z)=2卫Hm】(m n z) 2l2丿12丿0,其他。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 ZF (n, m)时，丄F (m ,n)。Zn)。4. t分布与F分布的关系 若 Xt( n)，贝U 丫=W F(1,If)x21亠1 n丿证：Xt( n) , X的分布密度2 2n 1。昇 n + 1、 r iP(x)=vnnrY=X 2 的分布函数 FY(y) =PY y=PX 20 时，Fy(y) =P-yX y =_； P(x)dx=2 0y P(x)dx,1 +
4、 n ) n12丿2丿与第一自由度等于1、第二自由度等于1y21 + n ，(n y) 2n的F分布的分布密nn2Y=X 2的分布密度pY(y)=1rf 1 H 度相同，因此Y=X2F（1, n）。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即 a分位数、上侧a分位数与双 侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为 F（X），实数a满足0 a 1 时，a分位数是使PX入=1 - F（入）
5、=a的数入,双侧a分位数是使 PX 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的数入 2。因为1- F（入）=a , F（入）=1- a ,所以上侧a分位数入就是 1- a分位数X 1- a ；F（入1）=0.5 a , 1- F（入2）=0.5 a，所以双侧a分位数入1就 是0.5 a分位数X 0.5 a ,双侧a分位数入2就是1- 0.5 a分位 数 X 1- 0.5 a 2）标准正态分布的a分位数记作Ua , 0.5a分位数记作U0.5 a，1-0.5 a 分位数记作 u 1- 0.5 a P(x)P(x)JOx当 X N(0,1)时，PXV Ua =F o,i(Ua )= a,PXU
6、0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=05 a ,PXU i- 0.5 a = F 0,1 (U 1-0.5a )=1 - 05a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 a =05 时，ua =0 ；当 a 0.5 时，ua 0。ua =- u 1- a。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数， 则先查出u仁a ,然后得到ua =- U仁a。论述如下：当 X N(0,1)时，PX u a = f 0,1 (u a )= a , PX u 1- a =1- F 0,1 (u 1- a )= a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，ua =- u 1- a o例如，u 0.
7、10=-u 0.90=- 1.282,u 0.05=- u 0.95=-1.645,u 0.01 = - u 0.99 = -2.326,u 0.025 =:-u 0.975=-1.960,u 0.005 = - u 0.995=- 2.576又因为P|X|V Ui-o.5a =1- a，所以标准正态分布的双侧 a分位数分别是U 1- 0.5 a和-U 1- 0.5 a。标准正态分布常用的上侧a分位数有：a =0.10 , u 0.90=1.282 ;a =0.05 , u 0.95=1.645;a =0.01 , u 0.99=2.326 ;a =0.025 , u 0.975=1.960
8、;a =0.005 , u 0.995=2.576。3)卡平方分布的a分位数记作2 a (n)。2 a (n)0 ,当 X 2 (n)时，PX30时，在比较简略的表中查不到ta (n)，可用ua作为ta (n)的近似值。OXOXxOX5) F分布的a分位数记作 Fa (n , m)。Fa (n , m)0,当 XF (n , m)时，PX=1- a , PV= a ,X F 1 -a (m,n)X F1 -:又根据F分布的定义， F(n, m), P F a (n, m) = a , XX1因此F a (n, m)=F1_(m , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.9
9、75 (3,4)=9.98 ,F 0.99(3,4)=16.7 , F 0.95 (4,3)=9.12 ,F 0.975 (4,3)=154 , F 0.99 (4,3)=287 ,F 0.05 (3,4)=冷。1厂1F 0.01 (3,4)=, F 0.025 (3,4)=28.715.1【课内练习】1.求分位数0.05(8)，0.95(12)2. 求分位数 t 0.05(8)， t 0.95(12)。3. 求分位数 F0.05(7,5)， F0.95(10,12)。4. 由u 0.975=1960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与
10、双侧分位数。6. 若X (4), PXV0.711=0.05 , PX9.49=0.95，试写出有关的分位数。7. 若X F(5,3) , PX9.01=0.95 , Y F(3,5), Y1.44。习题答案：1.2.73, 21.0。2.-1.860, 1.782。3.， 3.37。4. 1.960为上侧 0.025分位数,-1.960与 1.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132 为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05 分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位 数，5.41为上侧0.05分位数，与5.41为双侧0.1分位数， 与9.01为双侧0.1分位数。8. 0.1。
统计学常用分布与其分位数
