例谈函数综合题中的构造法解读

《例谈函数综合题中的构造法解读》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例谈函数综合题中的构造法解读（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、例谈函数综合题中的“构造法”江苏省姜堰中学 张圣官(225500)“构造法”是一种创造性思维。 在高中数学解题中的应用主要有两类：要么利用条件与结论的特殊性，构造出一个新的辅助结构系统(如函数、方程、图形等)，架起条件与结论之间的桥梁；要么设法直接构造出结论所述的数学对象，从而使问题得以解决。由于函数、 方程、不等式以及导数等内容是高考数学中的热点，与函数问题有关的“构造法”也就顺理成章越来越多地走进了我们的视野。本文准备结合具体事例加以说明。一通过构造辅助函数解题1禾U用辅助函数图像和性质达到解证不等式的目的1先来看这样一道题：已知 2 x - Xm对于(0,1)恒成立，求实数 m的取值范围

2、。你 是否感到束手无策无从下手呢？就让我们将题目改变一种问法再看看吧。1例1已知函数f(x)(x 0且x = 1)xln x(1) 求 f (x)的单调区间；1xm(2) 若2 x 对于(0,1)恒成立，求实数 m的取值范围。解: (1 )由 f(X)二刖=0 得 x = e，易得 f(x)在(0,1)递增，在(1,1)和(1,7)递减；1(2)由 2x - xm得ln2 mlnx，当 x (0,1)时，爲是,根据第(1)题知，f (x)在(0,1)的最大值为fQ)-e，故借 -e= m -eln2。点评：在这道题中我们引进了辅助函数f(x),利用导数作为工具刻画了f(x)的图像和性质(事1x

3、m实上是可以很快作出f(x)的图像的)，从而顺利处理了不等式 2 x。在高考题中，为了降低难度，往往先让我们研究某一函数，再利用之来解后续问题。例 2. (2004 全国卷理科 H)已知函数f (x) = ln(1 + x) x, g( x) = xln x.(I) 求函数f(x)的最大值；a + b(II) 设 0v avb,证明：0v g(a) + g( b) 2g() v ( b a)ln2 .21 解：(I)函数 f(x)的定义域是(-1, g), f (x)= -1 .令 f (x)=0 ,解得 x=0 ,当-1x0 时,0。1十Xa亠b2 2由(I)的结论知In(1+x)-x-1,

4、 且x丰0)，由题设 0a0,当x0时，f(x)- b -a a +ba +b222a a b2a2b又,a lnbln a lna b 2ba b a b2b,a lnln(1 4)b2b2bbln 2b (b a)lna ba - b2b ：:(ba)ln2.综上 0g(a)+g(b)-2g(口 )(b-a)ln2.2证法二：g(x)=xlnx, g(x)=inx 畀，设 f(x)= g(a)+g(x)-2g(-),2则 F(x) =g(x) _2g(筈) =lnx =ln 干.当 0xa时F(x).o,因此F(x)在(a,+ g)上为增函数.从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a) +

5、因为 a -|-bF(a)=0,ba,所以 F(b)0,即 0 0 时，h (x) ： 0, h(x)在(0, 二)上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以g (x) ： 0(x = 0)，函数g(x)在(-1：)上为减函数，于是当 -1 x : 0 时，g(x) g(0) =0,当 x0 时，g(x) ： g(0) =0.所以，当 -1：x；：0时，f(x)0, f(x)在(-1 , 0) 上为增函数；当 x 0时,f (x) ： 0, f (x)在(0,：)上为减函数。1 1 11(n)不等式(一)nae等价于不等式(n a)l n(一)乞1.由V - 1知,nn

6、n11ln (1)n-n.设G(x)二1ln(1 x)1,x I：0,1 1,则xG (x)二11(1 x)l n2(1 x)x2十=(1x)l n2(1 x) x2 x2(1 x)l n2(1 x)2由(I)知，In 2(1 x) -丄 _0,即(1 x)l n2(1 x)-x2 乞 0. 1+x所以G(x) 0,a是定义域中的一个数)；当0x0。试问：(1) f(x)的奇偶性如何？( 2) f(x)的单调性如何？(3) f(x)是周期函数吗？分析：由题设知y=tanx可以看作抽象函数f(x)的具体形式，从而猜想：f(x)是奇函数且在 (0,2a)上是增函数(这里把a看作4进行猜想)，且是周

7、期为4a的周期函数。解：(1 ) f(x)的定义域关于原点对称，且轧为-x2)=ff暫,二 f-(X1 -X2) = f(X2 -xj = ff= f(X1 -X2),令 X1-X2=X，则有 f(-x)=-f(x) ，二 f(x)为奇函数。(2) 设 0X1 X22a，贝U 0X2-x 10 , f(xj、f(X2)、f(x 2-x 1)均大于 0,从而由条件得 f(x 1)-f(x 2)0，于是 f(x 1)0 ,那么该函数在（0. a x上是减函数，在a,o）上是增函数;（1）如果函数y=x+2(x0)的值域为6,+ 7 求b的值;x2 c（2） 研究函数y=x22 （常数c0）在定义域

8、内的单调性，并说明理由；x（3）对函数y=x+ 和y=x 2 （常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特xx例，研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数111F（x）=（x2）n+（-r x）n （n是正整数）在区间一，2上的最大值和最小值（可利用你XX22的研究结论）2b（ 解：（1）函数 y=x+（x0）的最小值是 2 2b，则 2.2 =6，二 b=log29;x（2） 设 0X1X2, y2 - % = X； 弓-X：=（x； -x；）（12C 2）.x2X1N x2当Vc X1y1,函数y=x2 +弓在#C,+ 上是增函数；X当0X1X24c时，y20）,

9、其中n是正整数；x当n是奇数时，函数y=xn +丨在（0,呼5上是减函数，在呼,+ 8上是增函数，在 x（8,野舌上是增函数，在旬a ,0）上是减函数；当n是偶数时，函数y=xn 斗 在（0,2n a 上是减函数，在2-na,+ 8）上是增函数,x在（ 8, 2n a上是减函数，在2n a ,0）上是增函数。由于 F(x)= (x2丄)n+(A x)nX X_C(x2n 1 ) . C1( X2nA .1 、Cr(x2n；r1：；囂Cn(xn . 1 )=Cn (X2n )Cn(X2n -3 )Cn (X2n-3丿Cn (Xn )XXXX1因此F(x)在1 ,1上是减函数，在1,2上是增函数；

10、2所以，当x=l或x=2时，F(x)取得最大值(9)n+(9)n;当x=1时F(x)取得最小值2n+1.2 24点评：该题的背景就是“耐克函数”y=x+a (a0),它在(0,后上是减函数，在石,0)x上是增函数，并且还是奇函数，图像关于原点对称。这是课本中大家都熟知的一个函数。 二通过函数问题的几何特征构造图形解题有些函数问题中蕴含着一定的几何因素，挖掘这些几何因素，通过构造相关图形，实施“数形结合”，常常能够找到解题的最佳途径。例7.求函数y =x2 (X -6)2 -(X2 -初2的最小值。分析：从表象看是求函数的最小值，但却无从下手。考察函数的结构特征，注意到它事实上就相当于解决这样一

11、道解析几何问题：设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点，它到x轴的距离记为d, A( 6,94)为抛物线外一定点，试求 d+PA的最小值。两题的结果完全一样。解：抛物线y=x2的焦点为F(0,4)，准线为l：y=壬，由于准线与x轴平行，因此P(x,y) 到准线的距离为 d V , 根据抛物线定义得， (d *) PA =PF PA 一 AF = .(0 - 6)2 (4 -9)2 =2.10，所以 d+PA 的最小值为 2 10 - 4，也即函数 y = X2 .(X -6)2 (X2 - 9)2 的最小值为 2 10 - 1 。例8. (2010年广州市高三年级调研测试)已知a R，函数f

12、X = X2 x-a .(1)求函数f x在区间11,21上的最小值h a ； (2)对(1)中的h a，若关于a的方 程h a la 1有两个不相等的实数解，求实数 m的取值范围。I 2丿f2 2解: (1) T f x =3xlx - a，令 f x =0 得 x =0 或 a .(3丿3若a乞0，则当1空x乞2时，fx0,所以fx在区间1.1,2上是增函数，所以3 2h a = f 1 =1 -a .若 0 ： a ，即 0 a ： 1，则当 1 一 x 一 2 时，f x j 0，所23以f x在区间11,上是增函数，所以h a二f 1 = 1 - a .若-3 ,即22221 a 0

13、 . - f x 在3 331,3a 上是减函数，在3a，2上是增函数hf争芸3若心，2即 a _2，则当1 0时ln(1 x) ： x。分别取x =1冷,讣，相加即得。(2) 构造 g(x)二 In(1 x) - x 2x2(x -1),利用导数易得 g(x)在(0/ :-)递增，故当 x.0时 In(1 x) 4x2 x 。 分另ij 取 x=1g,，+, 相力口即得事实上,、：舟(1 去 古) In(n - 1)。最后证明1 * 丄：2即可。 0)e令 g(x)0，解得：0cx1,令 g(x) 0)，则 F(x) =(x)0 ,函数F (x)单调递减；当x - x 二 e1e 22解：(

14、I).F(x)单调递增.F(X)min 汀(2)二x函数 g(x)在(0,1)ex 一一 二x x- e 时，是函数F (x)的极小值点，也上递增,x2 - e (x e .xF (x)0 ,函数是最小值点，函数f (x)与h(x)的图象在 xe2设f (x)与h(x)存在分界线”且方程为：y-1e = k(x-、-e).令函数u(x)二 kx 】e -k e,211i )由 h(x)丄u(x)=x?亠kx e-k e在 x R恒成立，即 x2-2kxe 2k e亠0在 R2 2一 1上恒成立，=4k2 4e-8k、e =4(k-、e)2 乞 0 成立， k= e，故 u(x e-e.2i ) 下面再证明：L -f(x) zu(x)= elnx 乞 ex e(x 0)恒成立.设 2(x) =elnx - ex -e，则 (x)二三-e =三.当 0 ： x ： e时，(x) 0,2xx函数(x)单调递增；当xe时，(xf 0.函数(x)单调递减. xe 时 (x)取得最大值0，则 (x)兰/ex 1e (x 0)成立.综上i)和ii)知： 2f(x) _ exh(x)rVex-e，故函数f (x)与h(x)存在分界线为 y = jexe,2 2 2 此时 k = e,b - - -e.2