普通高等学校招生全国统一考试江西卷

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1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，第I卷1至2页，第n卷3至4页，共150分。考生注意:1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第n卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式S = 4 二 R2其中R表示

2、球的半径球的体积公式其中R表示球的半径如果事件A,B互斥，那么球的表面积公式P(A B) =P(A) P(B)如果事件A, B，相互独立，那么P(A B) =P(A) P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率Pn(k) =Cn P0 - P)2一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。1 对于实数 a,b,c，“ a b”是“ ac2 bc2 ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】主要考查不等式的性质。当C=0时显然左边无法

3、推导出右边，但右边可以推出左边2. 若集合 A=x|x| 兰讣，B=xxZ。，则=A. x1兰x,B. xx。C. x0 兰 x1D. 0【答案】C【解析】考查集合与简单不等式。 解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合A是由大于等于-1小于等于1的数构成的集合，所以不难得出答案1033. (1-x)展开式中x项的系数为A. -720B. 720C. 120D. -120【答案】D【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，由4若 f(x) =ax4 bx2 c满足 f (1) = 2，则 f (-1)二A. -4B. -2C. 2D. 4【

4、答案】B【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B5. 不等式X2 X2的解集是A. ( - ,2)B. (-：,-)C. (2,)D.(：,2)U(2,：)【答案】A【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。但此题利用代值法会更好26. 函数y =sin x sin x1的值域为555A. -1,1B. H-,-1C. H-,1D. -1,；444【答案】C【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数，故令sinX=t2可得y =t V -1从而求解出二次函数值

5、域7. 等比数列an中，| aj | = 1卫5 = -8a?, a5 a?,则 an nn 4nnA. (-2)B. -(-2 )C. (-2)D. -(-2)【答案】A【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。&若函数y的图像关于直线 y=x对称，则a为1 + xA. 1B. -1C. _1D.任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线y=x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。或利用反函数的性质，依题知(1, a/2)与(a/2, 1)皆在原函数图故可得 a=-19 .有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率

6、都是p (0 ： p 2、3 ,则k的取值范围是A. 3,0B. _12,三C. i3, .3D. 2,04333【答案】B【解析】考查相交弦问题。法一、可联立方程组利用弦长公式求| MN |再结合| MN| 23可得答案法二、利用圆的性质知：圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径的平方求出| MN|再结合| MN| 2.3可得答案11 .如图，M是正方体ABCD -A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，给出下列命题过M点有且只有-条直线与直线AB、B1C1都相交；过M点有且只有-条直线与直线AB、B1C1都垂直;过M点有且只有-个平面与直线AB、B1C1都相交；过M点有且只有-

7、个平面与直线AB、B1C1都平行其中真命题是：A.B.C.D.【答案】C【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质12 如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y 二sin 2x ,y二sin(x), y二sin(x )的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有63错误，那么有错误 的图像是A【答案】C【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案C绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学第口卷注意事项：第n卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共1

8、6分。请把答案填在答题卡上4444413.已知向量a , b满足|b| = 2 , a与b的夹角为60，则b在a上的投影是 【答案】1444【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值14将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服 务，不同的分配方案有 种(用数字作答)；【答案】90【解析】考查排列组合里分组分配问题，2 215.点A(x0, y0)在双曲线1的右支上，若点A到右焦点的距离等432D1于2x0，贝廿X。=；【答案】2【解析】考查双曲线的比值定义， 利用点A到右焦点比上到右准线的距离等于离心率得出X。= 216.长方

9、体 ABCD -A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，ABAA =1 ,BC，贝y A , B两点间的球面距离为 .IT【答案】一【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案 三.解答题：本大题共 6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分)32设函数 f(x)=6x 3(a2)x 2ax.(1 )若f (x)的两个极值点为x1, x2，且mx2 =1，求实数a的值;(2)是否存在实数a，使得f (x)是(_：,”.：)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【解析】考查函数利用导

10、数处理函数极值单调性等知识解： f (x) =18x26(a2)x 2a2a(1 )由已知有 f (x,)二(x2) =0，从而 x,x21，所以 a=9 ；18(2)由=36(a 2)2 4 18 2a =36(a24) 0 ,所以不存在实数a，使得f (x)是R上的单调函数.18. (本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是 2号、3号通道，则分别需要 2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开 一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止(1) 求走出迷宫时恰

11、好用了 1小时的概率；(2) 求走出迷宫的时间超过 3小时的概率.【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了(2)设B表示走出迷宫的时间超过1小时这一事件，则 p(A)=丄.31 1 13小时这一事件，则 P(B)二6 6 619. (本小题满分12分)、，2nn已知函数 f (x) = (1 cotx)sin x-2sin( x )sin( x ).44(1) 若 tan、=2，求 f(：)；n n(2) 若x ,，求f (x)的取值范围.12 2【解析】考查

12、三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数 化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题解:2(1) f(x)=sin x sin xcosx cos2x1 -cos2x21sin 2x cos2x22 tan :1 tan2 -11(sin 2x cos2x)22由 tan； =2得 sin 2:_ 2sin ： cos:sin2 ： cos2:C222c cos a sin a 1 -tan a 3 COS 2222sin ：亠 cos ：1 tan ：5所以f(：)=3.51 1J21(2)由(1 )得 f(x) (sin 2x

13、cos2x)sin(2x)2 2242,5 二 5. 2由 x -,得 2x ,，所以 sin(2 x) - ,112 24124422二11x2从而 f(x)sin(2x)0,.242220. （本小题满分12分）如图， BCD与.MCD都是边长为2的正三角形，平面 MCD _平面 BCD， AB _ 平面 BCD，AB =2 一3.（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间 向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理 能力解法一：（1）取CD中点O,连

14、OB, OM，贝U OB丄CD, OM丄CD.又平面MCD _平面BCD,则MO丄平面BCD ,所以MO / AB, A、B、O、M共面延长AM、BO相交于E,则/ AEB就是AM与平面BCD所成的 角EO MO 1OB=MO= 一3 , MO / AB,则，EO =OB = . 3 ,EB AB 2所以 EB =2,3 二 AB，故.AEB =45.（2） CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O是BE的中点，贝y BCED是菱形.作BF丄EC于F,连AF,贝U AF丄EC / AFB就是二面角 A-EG B的平面角，设为v.因为/ BCE=120,所以/ BCF=60 .FBF

15、= BC sin603 ,AB2s/5tan2 , sin vBF5所以，所求二面角的正弦值是兰5解法二：取CD中点0,连OB, OM ,则0B丄CD,0M丄CD,又平面MCD _ 平面 BCD,则M0丄平面BCD .以0为原点，直线 0C、BO、0M为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系如图0B=0M= . 3，则各点坐标分别为 0(0, 0, 0),M ( 0, 0, 3 ), B ( 0 , -, 0), A (0, -, 2 3 ),(1)设直线AM与平面BCD所成的角为:.AM = (0 ,. 3 , - . 3 ),平面C（ 1，0, 0），BCD的法向量为n= (0,0,1).则

16、有 sina = cos(AM ,n) =AM3 =二!，所以=45；.6 2（2） CM =（-1,0,、3）, CA =（-1,-、32、3）设平面 ACM的法向量为 n （x, y, z），由-4g丄CA彳厂-3z 一 .解得-x - . 3y 2、3z = 0x=、3z, y=z,取 n = (J 3 , 1 , .1又平面 BCD的法向量为n =（0,0,，则21.（本小题满分12分）已知抛物线C1 :设所求二面角为/，则sin = 1x2，by =b2经过椭圆C222X y22 =1(a b 0)的两个焦点a b（1）求椭圆C2的离心率; 设Q（3,b）,又M,N为Ci与C2不在y

17、轴上的两个交点，若厶QMN的重心在抛物线Ci上，求Ci和C2的方程【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。所以 c2 b 0 二 b2，（2）由（1）可知 a2 =2b2，椭圆C2的方程为:解：（1）因为抛物线2 2二丄T22 _ I2b b2 2 2 2联立抛物线 Ci的方程x by = b得：2y -by-b = 0，解得：y=-b或y=b （舍去），所以x 6b，2 2即M（甘b，,N(予冷），所以:QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在2 2 2Ci上，所以1 b 0=b ,得b =1.所以a =2.所以抛物线C1的方程为：x2 y =1，2X2椭圆C2的方

18、程为：y =1.222.（本小题满分14分）正实数数列an中,a1 =1 =5,且a：成等差数列（1）证明数列an中有无穷多项为无理数；当n为何值时，an为整数，并求出使 an : 200的所有整数项的和【解析】考查等差数列及数列分组求和知识证明：(1)由已知有：a； =24(n-1)，从而= 1 24(n-1),方法一：取 n 1 =242kl，则 an f242k ( N*) 用反证法证明这些 an都是无理数.假设an =:1 - 242k为有理数，则an必为正整数，且an - 24k，故 an -24k _1.an -24k 1,与(如-24k)G 24k) =1 矛盾,所以an = .

19、1 242k ( k N*)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数； 方法二：因为an 1*1 24n, (n N)，当n的末位数字是3,4,8,9时，124n的末位数字是3和7,它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时an1 = 1 24n不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无理项 an 1也有无穷多.(2)要使 an为整数，由(an-1)(an 7) =24(n-1)可知：an -1,an 1同为偶数，且其中一个必为 3的倍数，所以有an-1=6m或an6m当 an = 6m 1 时，有 an? = 36m212m 1 = 1 12m(3m 1) ( m N )又 m(3m -1

20、)必为偶数，所以 an = 6m T ( m N )满足 an = 124( n -1)即 n 二 m(3m1 ( m N )时，an 为整数；2*2 2 *同理 an=6m-1(m N )有 an =36m -12m 1=1 12m(3m-1) (m N ) 也满足 a； =124(n-1)，即 n =m(3m 一1)1( m N*)时，an 为整数；2显然an=6m-1(mN*)和a6m 1 ( m N )是数列中的不同项；所以当 n = m(3m J 1 ( m N )和 n = m(3m 1 - 1 ( m N*)时，an 为整数;2 2由 an = 6m 1 200 ( m N )有

21、 Om 三33,由 an = 6m -1 ： 200 ( m N*)有 1 一 m - 33.设an中满足an : 200的所有整数项的和为S，则S =(5 11 Hl 197)(1 7 III 199)穿33今如6733绝密启用前 秘密启用后2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学参考答案、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案BCDBACABDBCC二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.Ji13. 114. 9015. 216.3三、解答题：本大题共 6小题，共74分.17. （本小题满分12分）解：f（X）=

22、18x26（a2）x 2a2a（1 ）由已知有 f（X1）= f（X2）=0，从而 X1X21，所以 a = 9 ；18（2 ）由.,=36（a 2）2 -4 18 2a = 36（a24） 0 ,所以不存在实数a，使得f （X）是R上的单调函数.18. （本小题满分12分）1解：（1）设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则 p（A）=-.3一 、 1111（2）设B表示走出迷宫的时间超过 3小时这一事件，则 P（B）.6 6 6 219.（本小题满分12分）解:2(1) f(x)=sin x sin xcosx cos2x1 -cos2x 1 .sin 2x cos2x2 2由 tan

23、 ： =2 得 sin 2：11(sin 2x cos2x)222sin Jcos-：=-2 2sin ： cos -2 tan :1 tan2 :cos 2：cos2 J sin2 -.2 2sin - cos 1 - tan2 :-21 tan :3所以f()二35（2）由（1）得1丄f (x)二 3 n 2x cos2x)二 二二5 二 52由 x ,得2x ,，所以 sin(2x ),112 2412442兀1_1 + y/3从而 f(x) sin(2x 才)0,.20. （本小题满分12 分）解法一：(1)取CD中点0,连OB, OM，贝U 0B丄CD, OM丄CD.又平面MCD _

24、平面BCD,则M0丄平面BCD，所以MO/ AB, A、B、0、M共面.延长AM、BO相交于E,则/ AEB就是AM与平面BCD所成的角OB=MO=、一3 , MO / AB,贝U 1=- , EO =0B =弓3 ,EB AB 2所以 EB =23 二 AB，故.AEB =45.(2) CE是平面ACM与平面BCD的交线由(1)知，0是BE的中点，贝y BCED是菱形作BF丄EC于F,连AF,贝U AF丄EC / AFB就是二面角 A-EG B的平面角，设为v.因为/ BCE=120,所以/ BCF=60 .ABF =BC sin603,ABBF=22、55所以，所求二面角的正弦值是2、55

25、解法取CD中点0,连OB, 0M ,贝U OB丄CD, OM丄CD,又平面MCD _ 平面 BCD,贝U MO丄平面BCD .以O为原点，直线 OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=73，则各点坐标分别为 0(0, 0, 0), C (1 , 0, 0),M (0 , 0 , 、3 ), B (0 , - .3 , 0), A (0 , - .3 , 2、一 3 ),(1)设直线AM与平面BCD所成的角为:-.因AM二(0 ,3 ,-3 ),平面BCD的法向量为n = (0,0,1).则有sin ：-=cos(AM ,n=45 .一x 13z = 0-.解得-

26、x-、3y 2、3z = 0(2) cm=(-1,0, .3), ca =(-1,-、3,2. 3).；_ CM设平面 ACM的法向量为 厲=(x, y, z),由得h丄CAxhJ3z , y = z ,取 m =(3, 1,.1又平面 BCD 的法向量为 n =( 0, 0 ,1 则T 4cos : n , n 口设所求二面角为则si nr二2,521. (本小题满分12分)解：(1)因为抛物线Ci经过椭圆C2 的两个焦点 Fi(-c,O), F2(c,0),所以 c2b 0 二 b2，即 c2 二 b2，(2)由(1)可知 a2 =2b2，椭圆C2的方程为:222 _ I2b b2 2 2

27、 2由a -b c -2c得椭圆联立抛物线 Ci的方程X2by=b2得：2y2-by-b2=0,b6解得：八匚或b (舍去)，所以x一于，b，N(2 2-b,-)，所以QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在2 2 2G上，所以12 b 0二b2，得b=1.所以a -2.所以抛物线C1的方程为：x21，椭圆C2的方程为：y222. (本小题满分14分)证明：(1)由已知有：a2 -1 24(n-1)，从而 an 二.1 24(n-1),方法一：取 n-1 =242kJL，则 an242k (k，N*)用反证法证明这些 an都是无理数.假设an二1 242k为有理数，则an必为正整数，且an 2

28、4k ,故 an -24k _1.an -24k 1,与（务-24k）G 24k） =1 矛盾,所以a 1 242k ( k N*)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数；方法二：因为ajh =1 24n, (n N)，当n的末位数字是3,4,8,9时，1 24n的末位 数字是3和7 ,它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时an1一24n不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无理项 an d也有无穷多.(2)要使 an 为整数，由(an - 1)(an 1) =24( n -1)可知：an -1,an 1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an-1=6m或an 6m当 an =

29、6m 1 时，有 a；二 36m212m 1=1 12m(3m 1) ( m N )2又 m(3m 1)必为偶数，所以 an =6m T ( m N )满足 an -124( n -1)即 n = m(3m_U 1 ( m N)时，an 为整数；2i i *2 2 *同理 an = 6m -1(m N )有 an = 36m -12m 1 = 1 12m(3m -1) ( m N )也满足a； =1 - 24( n -1)，即n =卩1 ( m N )时，an为整数；2显然an=6m-1(mN*)和a 6m 1 ( m N )是数列中的不同项；所以当 n 二 m(3m 1 ( m N )和 n 二 m(3m 1 ( m N*)时，an 为整数;2 2由 a* = 6m 1 200 ( m N )有 0_m_33,由 an = 6m -1 ： 200 ( m N )有 1 _ m _ 33.设an中满足an : 200的所有整数项的和为 S，贝y5 1971 199S = (5 11 川 197)(1 7 III 199)3334 二 67332 2