辽宁省葫芦岛市高二数学上学期期末试卷文含解析

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1、2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A50B45C40D202已知x、y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为=0.7x+a，则a=（） x2345y2.5344.5A1.25B1.05C1.35D1.453若抛物线y2=2px，（p0）上一点P（2，y0）到其准

2、线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）Ay2=4xBy2=6xCy2=8xDy2=10x4设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5f（x）=ax+sinx是R上的增函数，则实数a的范围是（）A（，1B（，1）C（1，+）DCD）11若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D812定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，

3、+）二、填空题13已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的标准方程为14一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于1，则就有可能撞到玻璃上面不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于1，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是15过抛物线y2=4x焦点作斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=16若曲线C1：y=ax2（a0）与曲线C2：y=ex存在公切线，则a的取值范围为三、解答题：本大题共6小

4、题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：分组频数频率0，30） 3 0.0330，60） 3 0.0360，90） 37 0.3790，120） m n120，150） 15 0.15合计MN（2）若我市参加本次考试的学生有18000人，试估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数；（3）为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，

5、求被选中2人分数均不超过30分的概率18一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于8的概率；（2）若随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率19已知集合A=x|x23x+20，集合B=y|y=x22x+a，集合C=x|x2ax40，命题p：AB，命题q：AC（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围（2）若命题pq为真命题，求实数a的取值范围20已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，2）处的切线方程为y=3x+1

6、（1）若函数f（x）在x=2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数b的取值范围21如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上22已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实

7、数a的取值范围2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A50B45C40D20【考点】分层抽样方法【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】利用分层抽样性质求解【解答】解：高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有

8、10人，由分层抽样性质，得：，解得n=45故选：B【点评】本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用2已知x、y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为=0.7x+a，则a=（） x2345y2.5344.5A1.25B1.05C1.35D1.45【考点】线性回归方程【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】由线性回归直线方程中系数的求法，（，）点在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值【解答】解： =（2+3+4+5）=3.5， =（2.5+3+4+4.5）

9、=3.5，回归方程过点（3.5，3.5）代入得3.5=0.73.5+aa=1.05故选：B【点评】本题就是考查回归方程过定点，考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，属于基础题3若抛物线y2=2px，（p0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）Ay2=4xBy2=6xCy2=8xDy2=10x【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知条件，利用抛物线的性质得到，求出p的值，由此能求出抛物线的标准方程【解答】解：抛物线y2=2px（p0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，解得p=4，抛物线的标准方程为y2=8x故选：C【点评】本

10、题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握抛物线的性质4设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，bR，则（ab）a20，ab成立，由ab，则ab0，“（ab）a20，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，bR，则“（ab）a20”是ab的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题5f（x）=ax+sinx是R上的增函数，则实数a的范围是（）A（，

11、1B（，1）C（1，+）DCD）【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由，可得PF1PF2，P在以F1F2为直径的圆上，由题意可得半径为c的圆与椭圆有交点，即为cb，运用离心率公式和不等式的解法，即可得到所求范围【解答】解：由，可得PF1PF2，P在以F1F2为直径的圆上，可设圆的半径为c，圆心为O，由题意可得椭圆与圆均有交点，则cb，即c2b2=a2c2，即为c2a2，e=，且0e1，可得e的范围是，1）故选：D【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，考查向量垂直的条件，运用圆与椭圆有交点是解题的关键，属于中档题11若点O和点F

12、分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义【专题】综合题；压轴题【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案【解答】解：由题意，F（1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=2，因为2x02，所以当x0=2时，取得最大值，故选C【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最

13、值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=ex，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x

14、）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+3，g（x）3，又g（0）e0f（0）e0=41=3，g（x）g（0），x0故选：A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题13已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的标准方程为【考点】抛物线的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得抛物线的焦点，设双曲线的方程为=1（a，b0），求得渐近线方程和a，b，c的关系，解方程即可得到所求【解答】解：抛物线x2=24y的焦点为（0，6），设双曲

15、线的方程为=1（a，b0），即有c=6，即a2+b2=36，渐近线方程为y=x，由题意可得tan30=，即为b=a，解得a=3，b=3，即有双曲线的标准方程为：故答案为：【点评】本题考查抛物线的焦点的运用，考查双曲线的方程的求法和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题14一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于1，则就有可能撞到玻璃上面不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于1，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是【考点】几何概型【专题】计算

16、题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P=故答案为：【点评】本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内15过抛物线y2=4x焦点作斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=6【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的

17、定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+=x1+x2+p得答案【解答】解：抛物线焦点为（1，0），则直线方程为y=2x+2，代入抛物线方程得x23x+1=0，x1+x2=3，根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=3+2=5故答案为：5【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是灵活利用了抛物线的定义16若曲线C1：y=ax2（a0）与曲线C2：y=ex存在公切线，则a的取值范围为，+）【考点】利用导数研究曲线上某点

18、切线方程【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围【解答】解：由y=ax2（a0），得y=2ax，由y=ex，得y=ex，曲线C1：y=ax2（a0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=ex2=，可得2x2=x1+2，a=，记f（x）=，则f（x）=，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）递减；当x（2，+）时，f（x）0，f（x）递增当x=2时，f（x）min=a的范围是，+）故答案为：，+）【点评

19、】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有实数解的条件，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：分组频数频率0，30） 3 0.0330，60） 3 0.0360，90） 37 0.3790，120） m n120，150） 15 0.15合计MN（2）若我市参加本次考试的学生有18000人，试估计这次测试中我市学生成绩

20、在90分以上的人数；（3）为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（I）由频率分布表利用频率=，能求出M，m，n，前能出频率分布直方图示（）先求出全区90分以上学生的频率，由此能估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数（）利用列举法能求出被选中2人分数均不超过30分的概率【解答】解：（I）由频率分布表得M=100，m=100（3+3+37+15）=42，n=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0

21、.42+0.15=1，频率分布表如右图所示（）由题意知，全区90分以上学生估计为（人）（）设考试成绩在（0，30内的3 人分别为A、B、C，考试成绩在（30，60内的3人分别为a，b，c，从不超过60分的6人中，任意取2人的结果有15个：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），被选中2人分数均不超过30分的情况有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，被选中2人分数均不超过30分的概率p=【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频

22、率分布直方图和列举法的合理运用18一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于8的概率；（2）若随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于8”，任取三张卡片，利用列举法求出三张卡片上的数字全部可能的结果种数和数字之和大于或等于8的种数，由此能求出3张卡片上数字之和大于或等于8的概率（）设B表

23、示事件“至少一次抽到3”，利用列举法能求出两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率【解答】解：（）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于8”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，数字之和大于或等于8的是（1、3、4），（2、3、4），共2种，所以P（A）=（）设B表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16

24、个事件B包含的结果有（1、3）（3、1）（2、3）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个，所以所求事件的概率为P（B）=【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19已知集合A=x|x23x+20，集合B=y|y=x22x+a，集合C=x|x2ax40，命题p：AB，命题q：AC（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围（2）若命题pq为真命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；交集及其运算【专题】计算题；转化思想；转化法；简易逻辑【分析】（1）先求出集合A，B的等价条件，根据命题p为假命题，即AB=成立，进行求解即可（2）若pq为真命题，则

25、p，q同时为真命题，建立条件关系进行求解即可【解答】解：（1）A=x|x23x+20=x|1x2，B=y|y=x22x+a=y|y=（x1）2+a1a1=y|ya1，若命题p为假命题，即AB=，则a12，得a3（2）若命题pq为真命题，则AB，且AC则，得，得0a3【点评】本题主要考查命题的真假应用，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键20已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，2）处的切线方程为y=3x+1（1）若函数f（x）在x=2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单

26、调性【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，2）处的切线方程为y=3x+1，可得f（1）=3，再根据f（1）=1，又由f（2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式（2）由题意函数f（x）在区间上单调递增，对其求导可得f（x）在区间大于或等于0，从而求出b的范围【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为3，所以f（1）=3+2a+b=3，即2a+b=0，又f（1）=1+a+b+c=2得a+b+c=1（1）函数f（x）在x=2时有极值，所以f（2）=124a+b=0，解得a=2，b=4，c=3，所以f（x

27、）=x32x2+4x3（2）因为函数f（x）在区间上单调递增，所以导函数f（x）=3x2bx+b在区间上的值恒大于或等于零，则得b4，所以实数b的取值范围为有且只有一个交点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点由，对a分类讨论、结合图象即可得出【

28、解答】解：（1），f（1）=b， =ab，yb=（ab）（x1），切线过点（3，0），b=2a，当a（0，2时，单调递增，单调递减，当a（，0）时，单调递减，单调递增（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，当a0时，h（x）在x（0，1）递减，x（1，2的递增，当x0时，h（x）+，要函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，h（1）=0或h（2）0，a=1或当a（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x（1，2递增，当x0时，h（x），h（e4）=e8e420，h（x）在与x轴只有唯一的交点，当a=2，h（x）在x（0，2的递增，h（e4）=e8e420，或f（2）=2+ln20，h（x）在x（0，2与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=1或或0a2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题- 18 -