求数列通项公式的11种方法

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1、-求数列通项公式的11种方法方法总述：一利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法逐差法、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法目的是去递推关系式中出现的根号、数学归纳法少用不动点法递推式是一个数列通项的分式表达式、特征根法二四种根本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最根本方法。三求数列通项的方法的根本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四求数列通项的根本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累

2、加法1适用于：-这是广义的等差数列累加法是最根本的二个方法之一。2假设，则两边分别相加得例1数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例2数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则练习1.数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：练习2.数列满足，求此数列的通项公式.答案：裂项求和评注：,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;假设

3、f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.数列中,且,求数列的通项公式.解:由得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1.适用于：-这是广义的等比数列累乘法是最根本的二个方法之二。2假设，则两边分别相乘得，例4数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且=1，2，3，则它的通项公式是=_.解：等式可化为：()(n+1),即时，=.评注：此题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解一般情况时用求根公式得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.,求数列an的通项公式.答案：-1.评注：此

4、题解题的关键是把原来的递推关系式转化为假设令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于根本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型1假设c=1时，数列为等差数列;2假设d=0时，数列为等比数列;3假设时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法阶差法：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而

5、化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6数列中，求数列的通项公式。解法一：又是首项为2，公比为2的等比数列，即解法二：两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习数列中，求通项。答案：2形如：(其中q是常数，且n0,1)假设p=1时，即：，累加即可.假设时，即：，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即：,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即：,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差

6、数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例7数列满足，求数列的通项公式。解法一待定系数法：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二两边同除以：两边同时除以得：，下面解法略解法三两边同除以：两边同时除以得：，下面解法略练习.2003*理设为常数，且证明对任意1，；3形如(其中k,b是常数，且)方法1：逐项相减法阶差法方法2：待定系数法通过凑配可转化为;解题根本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列，公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求*,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8在数列中，求通

7、项.逐项相减法解：，时，两式相减得.令,则利用类型5的方法知即再由累加法可得.亦可联立解出.例9.在数列中，,求通项.待定系数法解：原递推式可化为比较系数可得：*=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即：故.4形如(其中a,b,c是常数，且)根本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得，所以由，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例11数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，

8、取-3结果形式可能不同，但本质一样则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，假设,且满足,求.答案：.四、迭代法(其中p,r为常数)型例12数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。注：此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13.2005卷数列，1证明2求数列的通项公式an.解：1略2所以又bn=1，所以.方法2：此题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型1来解五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p0，例14.设正项数列满足，n2.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列

9、，练习数列中，n2，求数列的通项公式.答案：例15数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得设同类型四比较系数得，由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、换元法适用于含根式的递推关系例17数列满足，求数列的通项公式。解：令，则代入得即因为，则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例18数列满足，求数列的通

10、项公式。解：由及，得由此可猜想，下面用数学归纳法证明这个结论。1当时，所以等式成立。2假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据1，2可知，等式对任何都成立。九、阶差法逐项相减法1、递推公式中既有，又有分析：把关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例19数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：对任意有当n=1时，解得或当n2时，-整理得：各项均为正数，当时，此时成立当时，此时不成立，故舍去所以练习。数列中,且,求数列的通项公式.答案：2、对无穷递推数列例20数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故所以由，则，又知，则，

11、代入得。所以，的通项公式为十、不动点法目的是将递推数列转化为等比差数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，假设存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。类型一：形如例21数列中，求数列的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1，类型二：形如分析：递归函数为1假设有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，2假设有两个一样的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例22.设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等

12、式两端同时加参数t,得：,令,解之得t=1,-2代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列,=,解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求.例23数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。练习1：满足，求的通项答案：练习2。数列满足，求数列的通项答案：练习3.2021卷文数列满足，.令，证明：是等比数列；()求的通项公式。答案：1是以1为首项，为公比的等比数列。2。十一：特征方程法形如是常数的数列a1;a2)形如是常数的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为假设有二异根，则可令是待定常数假设有

13、二重根，则可令是待定常数再利用可求得，进而求得例24数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，例25数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，练习1数列满足，求数列的通项练习2数列满足，求数列的通项说明：(1)假设方程有两不同的解s,t,则,由等比数列性质可得,由上两式消去可得.(2)假设方程有两相等的解，则，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以例26、数列满足，且求数列的通项。解：令，解得，将它们代回得，得,则，数列成等比数列，首项为1，公比q=2所以，则，十二、四种根本数列1形如型等差数列的广义形式，见累加法。2.形如型等比数列的广义形式，见累乘法。3.

14、形如型1假设d为常数，则数列为“等和数列，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;2假设f(n)为n的函数非常数时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例27.数列满足,求数列an的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故解法2：时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要复原成n的表达式.例28.2005卷数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：因为以下同上例，略答案4.形如型1假设(p为常数)，则数列为“等积数列，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;2假设f(n)为n的函数非常数时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例29.数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略. z.