力学基本定律

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1、第一章力学基本定律一、本章知识要点第一节质点的运动1力学的研究对象：力学研究是物体的机械运动规律及其应用的科学；是研究物理学其它内容的基础。2. 机械运动(mechanical motion)：物体的位置随时间改变，或一个物体内部一部分相对其它部分的位置 随时间变化的过程称为机械运动。3. 质点(particle):研究物体运动时如果物体的大小和形状在所研究的问题中可以忽略，就可以把它抽 象为一个质量与它相同的点，称为质点。4. 位置矢量(position vector):从坐标原点指向质点所在位置的有向线段，称为位置矢量，简称位矢，用 r表示。质点运动时，位置随时间变化，位置矢量是时间的函数

2、，可写成：r = r (t)在右旋直角坐标系下可表示为：r (tHx(t)iy(t) j z(t) k式中i、j、k分别为坐标x、y、z正方向的单位矢量。作为时间函数的三个坐标值可以表示为：x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)这样的一组函数称为质点的运动函数或运动方程的标量表示式，也可看做是质点沿各坐标轴的分运动 的表示式。5. 位移(displacement):由质点运动的初位置指向末了位置的有向线段称为在这段时间内的位移，用匚r表示。位移与路程不同，位移是矢量，反映质点位置变化的大小和方向，是有方向的线段；路程(path)为标量，是质点实际走过的路径长度。6. 平均速度(m

3、ean velocity):质点的位移 Ar和发生这段位移所经历的时间啲比称为质点在这段时间内的平均速度，平均速度是矢量。用V表示，即：r r (t + =t)r (t)v =AtAt7. 瞬时速度(instantanceous velocity):质点运动时某一时刻或某一位置的速度称为质点运动的瞬时速度。如果0,平均速度的极限就表示质点某一时刻的瞬时速度，用v表示瞬时速度。则：rd rV = lim Atdtv的方向即 氏 0时v的方向。通常所说的物体运 动速度是指它的瞬时速度。在右旋直角坐标系下可表示为：-J-Jv -x(t) i y(t) j z(t) k = vx i + vj + v

4、z k dtdtdt速度的大小称为速率(speed),以v表示：|dr|#r|Asdsv = v = = lim = lim 一 = 一dtAtdt8. 平均加速度(mean acceleration)：质点的速度增量v = v(t +厶t)v(t)和发生速度增量所经历的时间啲比称为质点在这段时间内的平均加速度。平均加速度是矢量，用a表示，即:v(t + .：t)- v(t) va =:t-:t9瞬时加速度(transient acceleration):质点运动时某一时刻或某一位置的加速度称为质点运动的瞬时加 速度，或简称加速度，它是描述速度变化快慢的物理量。根据定义可知：-vdvd 2ra

5、 = lim?刃 Atdtdt在右旋直角坐标系下可表示为:a二咚i岀dt dtdvzj k = a x i + a y j + a7 kdt x yJ 710. 切向加速度(tangential acceleration)和法向加速度(normal acceleration)：把曲线运动在任一时刻的加速度a分解为沿速度v方向的分量at和垂直速度v方向的分量an，其中at称为切向加速度；an称为法向加速度。dvv2at； an dtr第二节牛顿运动规律1. 牛顿第一定律(Newton s first law):任何物体在不受外力作用时，将保持原有的静止状态或匀速直线 运动状态。2. 惯性(ine

6、rtia):物体在不受外力作用时，保持原有运动状态的性质称为惯性。质量是惯性大小的量度，质量越大，惯性越大。3. 牛顿第二定律(Newt on s seco nd law):作用在物体上的合外力F等于物体动量的时间变化率，即：l d (mv)d PF 二dt dt若物体的质量不变，上式变为：dvF 二 mmadt上式中，P = mv称为动量(momentum)。4. 牛顿第三定律(Newton s third law):力总是成对出现的。如果物体A以力F a作用在物体B上，则物体B也必然同时以一个等大反向的力Fb作用在物体 A上，即：F a= F B5. 量纲(dimension):表示物理量

7、如何由基本量组合的式子，称为物理量的量纲。量纲可以用来校核等 式，也可以定出同一物理量不同单位之间的换算关系。6. 惯性参考系(inertia system):适用牛顿运动定律的参考系或牛顿第一定律的参照系称为惯性参考系， 在惯性参考系中，一个不受力作用的物体将保持静止或作匀速直线运动。凡是与惯性系相对作匀速直线运动的参照系都是惯性系，与惯性系相对作加速运动的参照系都是非惯 性系。7. 惯性力(inertial force):非惯性系相对于一惯性系(如地面)作加速度为a的运动，可以设想处在该非惯性系中的物体受到F = -ma的力作用，这个力称为惯性力。惯性力不是物体之间真实存在的相互作用力，它

8、没有施力物体，也没有反作用力。8非惯性系(non-inertia system):相对于一个已知惯性系作加速运动的参考系称为非惯性系。第三节功和能能量守恒定律1. 功(work):力对物体所作的功等于该力沿运动方向的分量与物体位移的乘积(标积，Scalar Product)。写成矢量式为：dA= F dr = Fdr cos :功是描述力在物体移动过程中的空间累积效应的物理量，如果物体沿曲线从 A运动到B，力所作的功为：BBBAab=dQF dr=Fdr cos :AB A-AA一 一 一 1 22动能(kinetic energy):物体由于运动所具有的能量称为动能，可表示为：Ek = mV

9、 。23. 动能定理(kinetic energy theorem):外力对物体所作的功等于物体动能的增量，即：1 2 1 2AAB = EkB - EkA =二 mVBmVA2 24. 保守力(conservative force):若某力作功只与运动物体的始末位置有关，而与运动物体所经过的路径 无关，这样的力称为保守力，如万有引力、弹性力、静电力等都是保守力。5. 势能(potential energy):与相互作用物体的相对位置有关的能量称为势能(potential energy)。重力势能(gravitational potential energy)可 表 示为： EP = mgh

10、, 弹性势 能(elastic potential energy)可 表 示为： Ep = kx2，引力势能可表示为：Ep = -Mm (当r =:时，耳=0)。2r6. 功能原理(function principle):系统机械能的增量等于外力对系统所作的功与系统的非保守内力所作 的功的总和，即：A外力A非保守内力 =Eb 一 Ea7. 机械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy):如果外力和非保守力作功之和为零，物体 系的机械能保持不变。8. 对称操作(symmetry operation)：如果进行一次变动或操作后事物完全复原，则称该

11、事物对所经历的 变动或操作具有对称性，而该操作就称为对称操作。第四节 动量 动量守恒定律1. 冲量(impulse):当物体受到外力作用的时，它的速度要发生变化，因而它的动量也要发生变化。动 量的变化量与力的大小及作用时间的长短有关，为此可以把牛顿第二定律写成微分形式：F dt =dPFdt表示力在时间dt内的累积量，称为在 dt时间内物体所受合外力的冲量，用I表示。2. 动量定理(theorem of momentum):物体 t = tt1时间内动量的改变等于物体在同一时间内所受合 外力的冲量，即：t2p2I = Fdt 二dP =P2 - R =mV2 - mV1t1p3. 动量守恒定律

12、(law of conservation momentum)：当系统所受的合外力为零时，系统的总动量保持不变。4. 碰撞(collision):指两个物体在运动过程中相互靠近，或发生接触时，在相对较短时间内发生强烈相互作用的过程。5. 弹性碰撞(elastic collision)：在碰撞前后两物体总动能没有损失的碰撞。6完全非弹性碰撞(pefect in elastic collisio n):两物体在碰撞后不分开的碰撞。第五节刚体的转动1. 刚体(rigid body):在任何力的作用下形状和大小都不发生改变的物体。如物体在力的作用下形状和 大小的改变可以忽略，就可以把它视为刚体。2. 定

13、轴转动(fixed-axis rotation):转动物体各质量微元的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴，这样的运动叫定轴转动。转动是刚体的基本运动形式之一，刚体的一般运动都可分解为平动和转动。3. 角位移(angular displacement):刚体绕定轴转动时，刚体上某一垂直于转轴并与转轴相交的直线，在 Lt时间内转过的角度 二B称为角位移。4. 角速度(angular velocity):是描述刚体转动快慢的物理量。刚体在单位时间内的角位移称为角速度， 用；表示。dd 二=lim ., 二 lim心却心tdt I心t dt丿5. 角加速度(angular accelerat

14、ion):单位时间内的角速度的改变量。2d wa -dtdt2d w d 0a=2-dt dt角位移、角速度、角加速度都是矢量，其方向用右手螺旋定则判定。6. 角量：以角度为基础来衡量转动情况的物理量(如角位移、角速度、角加速度统称为角量)7. 线量：以线度为基础来衡量运动情况的物理量(如位移、速度、加速度统称为线量)8. 离转轴的距离为r的质点的角量与线量的关系为：位移：AS二速度:加速度:at = r：、 an = r -2w = w 0,0 = 0 0):9. 刚体做匀变速转动时各个角量之间的关系(t=0 ,角加速度：:-=const角速度：-=：0匕t角位移：1 2=0 tt2角位置：

15、二=1 2入+t10. 转动惯量(moment of inertia):转动物体的动能，其值等于组成物体的各个质点的动能的总和，即:宀J221 nEkmr；2其中J称为转动惯量。11. 转动惯量的计算：转动惯量是刚体转动惯性的量度，如果刚体是质量连续分布的，刚体的转动惯量为:2 2J = r dm = rdV决定转动惯量大小的因素：质量的大小；质量分布情况(即刚体的形状大小和各部分的密度)；转轴的位置。12. 转动定律(law of rotation)：转动物体的角加速度 a与作用的力矩 M成正比，与物体的转动惯量 J成 反比，即：d 3M =J J：dt13. 质点的角动量(angular

16、moment):设质点绕定点 0旋动，某瞬时的动量 mV对于点0的矩，定义为 质点对于点0的角动量，用L表示，即：L = r mV14. 质点系的角动量：质点系对某点 O的角动量，等于各质点对同一点O的角动量的矢量和，即：nL 八 ri mV ii =1n( n2 )15. 绕定轴转动刚体对定轴的角动量：L = E r汇mVj = IE mr=Jcoi 二lidJ16. 角动量守恒定律(law of conservation angular momentum):圭寸闭系统中的内力矩不改变系统的总角动量(或刚体所受的合外力矩等于零时，其角动量保持不变)，即:、J =恒矢量。17. 旋进：高速旋转

17、的物体的自转轴以角速度Q绕竖直轴转动的现象叫进动 (precession),也称为旋进。在重力场中陀螺旋进的角速度为：dmglmgl12=dt LJ式中J是陀螺的转动惯量。进动角速度Q与B无关，而与自旋角动量L成反比。二、解题指导典型例题例1-1 一汽车沿x轴运动，其速度为v=10+4t2m?-1，当t=0时，汽车在原点右 20m处，求：(1)t=4s时物体的加速度；(2)在上述时刻物体的位置。已知：v=10+4t2m-1,当 t=0 时，x=20m;求：(1)t=4s 时，a=? (2) t = 4s 时，x=?解:-J.(1)加速度a -dtd(10 4t2)dt=8t(m s)当 t=4

18、s 时，a = 8 4 =32(m s)因为 v ，所以 dx 二 vdt = (10 4t2)dt , dt积分可得：x = i(10 4t2)dt =10t4t3 C3当t=4s时，x=20m，代入上式得：C = 20m。4 3所以，x =10t-t320(m)3当 t=4s 时，x= 145.3m145.3m。答：t=4s时物体的加速度为 32m-2;此时刻物体的距原点例1-2如图1-1所示，在离水面高度为 在离岸边的距离为 s时的速度和加速度。已知：h， v， s;求：v=?， a=?解：以I表示从船到定滑轮的绳长，则:h的岸边上，有人用绳子拉船靠岸，收绳的速度恒为V0，求船由图可知：

19、s = .I2 _h2ds船的速度为：v = dldt 寸12 _h2 dt负号表示船在水面上向岸靠近。vo= dl/dts2 h2dlv0 d_dt负号表示的方向指向岸边，因而船向岸边加速运动。船的加速度为：a = 3 =dt.2 2 h V。3 s2 人2h2 2答：船在离岸边的距离为 s时的速度为s h v。，加速度为 學。ss例1-3质点沿x轴运动，加速度和速度的关系是: 的运动方程。已知：a =-kv，当;t=0 时，x=x0， v=v0;a =-kv，式中k为常量;求：运动方程x=?t=0 时，X=Xo，v=vo;求质点-J.解：由a = 一 _ -kv，分离变量积分有:dtv d

20、v tv0 v 一kdt ；积分得：v = v0e又由4dt有:dxv0edtXo-0完成积分就得运动方程:x =x0 乜(1 -e)k答：质点的运动方程为 x=x（）v0（1-e_kt）。k例1-4质量为M的人，手执一质量为 m的物体，以与地平线成 a角的速度V2向前跳出。当他达到最 高点时，将物体以相对速度u向后抛出。试问：由于抛出该物体，此人跳出的距离增加了多少（略去空气阻力）？已知：M, , m, a, v2, u;求：也x = ?解：当人达到最高点时，其速度只有水平分量，v水平=Vqcos a在最高点处人向后抛出一物体m, m的速度为v-u，其中v为人抛出物体后相对于地面的速度。对于

21、M、m体系，在水平方向上合外力为零，因此动量守恒，即：(M m)v = Mv m(v-u)解得:由于抛出物体而引起人在水平方向速度的增量为:人从最咼点落到地面的时间为：v0sin 口 tg此人跳出的距离增加量为：t卬v sin -M +m g答：此人跳出的距离增加了竺二。M + m g例i-5如图i-2所示，物体i和2的质量分别为 mi与m-，滑轮的转动惯 量为J,半径为r。（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为卩，求系统的加速度a及绳中的张力Ti和T-（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力Ti和T2。已知：m m2, J, r

22、;求：（i）物体2与桌面间的摩擦系数为 =0 时，a=?,= ?, T2=?解：用隔离体法，分别画出三个物体的受力图，如图1-3-a、卩时,1-3-b、a=?方向应用牛顿运动定律：T, - mg = mi（ -a）对物体2，在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律:对滑轮，应用转动定律:T?r -T)r = J i. 2图1-2Ti=?, T2=?当卩1-3-c所示。对物体1,在竖直并利用关系：由以上各式，解得：a m -沁 ga - -j gm, m22rm2二 m- J- 匸mg mm：2rnV； ：nv；二 J-=Jr m-gm m-Tim2 -0 时:mi2gr g2mr-m2rm2m

23、2r2J 丁2ij mgmi m22r例i-6光滑水平地面上放有一质量为M的三棱柱体它们的横截面都是直角三角形，M的水平直角边的边长为两者的接触面亦为光滑，设它们由静止开始滑动，求当 距离。mi2mwr gJ 叫，mir2 m2Jmi m： r（倾角为v），其上又放一质量为 m的小三棱柱体。a, m的水平直角边的边长为 b （如图i-4所示）。m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的已知：n, m, M, a, b;求：S=?mVM9Oxa图1-4解：对M与m组成的系统，由于水平方向受外力为零，故水平方向 动量守恒。设M与m相对地面的速度分别是 V和v, m相对于M的度为v，则有：mVx _

24、MV =0由相对运动公式：vx =Vx -V(2)将式代入式得：(M m)V -mv,设m的下边缘滑到水平面需用的时间为t，将上式两边对时间积分，有：ll(M m) /dtvxdtt显然，Vxdt二S就是M相对水平地面移动的距离；t 而vxdt =(a -b)是m相对于M在水平方向移动的距离。最后求得M在水平面上移动的距离：S = m(a _b)M +m答：当m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离为 m(a 。M +m例1-7电风扇开启电源时，经 ti时间达到额定转速 0,关闭电源时经时间t2停止。设电风扇的转动惯 量为J，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量。求：电机的电磁力矩。已知：切

25、；.-：0，上2，J ；求：M=?解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为M、Mf且恒定，电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即：M - M f 二 J、；1(1)当电风扇达到额定转速时：(2)电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即:-M f = J ： 2(3)达到停止时：0 -疥2 = 0(4)解此联立方程组得：M = J，0(丄丄)t1 t21 1答：电机的电磁力矩为 J -0(-)。t1 t2C00图1-5例1-8 一质量为 m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光 滑轴正以，o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的 摩擦系数为 w求圆盘经多少时间、转几

26、圈将停下来？已知：m, R,w 求：t=?, N=?解：摩擦力是分布在整个盘面上的，如图计算摩擦力的力矩时，应将圆盘 分为无限多个半径为 r、宽为dr的圆环积分。故摩擦力矩为：设 ,0的方向为正方向:J = 1mR22于是得：:_M _44g 由:，由：J 3R2 2又由，- 0 =2-：，停下来时m222: rdrmgR二 R3-八。心0得：t 亠归a4Ag3=,所以停下来前转过的圈数为:2 2kl03 0 RN =-2二4二:16二g答：圆盘经3空秒时间、转4旳23R 016 g圈将停下来。例1-9如图1-6所示，线密度为 几质量为m的均匀细杆与转轴（y轴）的夹角为：，求其转动惯量。已知：

27、，m， :；求：J=?解：在杆上I处任取微元dm,显然，dm=p dl。m2而杆的总长度：I。七，于是由：J二Vr dm 得:1l；sin2 =1 ml0 sin2:33|0图1-6a（如图所示）。设链条与J = v r dm I sin ：i dl答：其转动惯量为1 ml0sin2。3例1-10 一链条总长为I，质量为m,放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：（1）链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？ （2）链条离开桌面时的速率是多少?已知：I，m，a，亠；求：Af=?，v 末=?解：（1）建立坐标系如图，当链条离桌面xx + dx时，摩

28、擦力f二mg（l -x）ll（2）对链条应用动能定理：1 2 mV末2lAp = a p dr2 2mg(l -a )2l前已得出：Af二沁(l -x)dx =严1_l_x2Jmg2l(l - a)21 2mv02lmgxdxa l图1-72mg(l -a)2l* Vo = 0, .Ap + Af2 2 21 2 mg(l a )mg(la) mv末.221211 2mv末2得链条离开桌面时的速率是:g (l2-a2)(l-a)2 2答：摩擦力对链条做功为晋（l ）2 ；链条离开桌面时的速率是j (l2-a2)(la)2 2。例1-11质量为M、长为I的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无

29、摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度0 =30处。（1）这碰撞设为弹性碰撞，试计算小球初速V。的值。相撞时，小球受到多大的冲量？已知：M , I, m,0 =30;求：v0=? I=?解：设碰后小球速度为 v,棒转速为3,V0 w f mMfO因为弹性碰撞，所以:.1mv2 1j .2 2(1)图1-8又因为系统合外力矩为所以角动量守恒mv0l 二 mvl J碰后机械能守恒，所以:2 0二 Mg(1-cos30 )由(3) (4)得:方法一：所以计2代入（1）得:.6(2 、3)3m M 寸m12

30、6m2MvT=12m3(1-j)git3(_2)glI = fdt 二 m-mv0 二-Mt13方法二：利用牛顿第三定律来做t 2t 2Mdt = J = f ldtt1故:t1t2=l f dt = J =t1t2 fLdtt1因为:所以:t 2I = fdt =- f dt =- = -M t1t1l3(1- j)gi3答：小球初速V0的值为霉冲各;相撞时，小球受到的冲量为3(1一 孰3二、教材习题解答1-1回答下列问题。(1) 位移和路程有何区别？答：位移是矢量，反映质点位置变化的大小和方向；路程是标量，是质点实际走过的路径长度。(2) 速度和速率有何区别？答：速度是位移对时间的一阶导数

31、，是矢量；速率是路程对时间的一阶导数，是标量。(3) 瞬时速度和平均速度的区别和联系是什么？答：平均速度是 At寸间内质点位移，瞬时速度是当0时平均速度的极限值。(4) 物体能否有一个不变的速率而仍有一个变化的速度？答：能。速度是矢量，速率是标量；例如：匀速圆周运动的速率(速度的大小)是不变的，速度的方 向总是在变。(5) 速度为零的时刻，加速度是否一定为零，加速度为零的时刻，速度是否一定为零？答：不一定。因为加速度是速度对时间的一阶导数，速度为零的时刻，加速度可以不为零。例如：竖 直上抛运动，当物体运动到最高点时，初速为零，加速度为重力加速度；而匀速直线运动的速度不为零， 加速度为零。当物体

32、具有大小、方向不变的加速度时，物体的速度方向能否有改变？答：能。例如：竖直上抛运动物体加速度始终为g,在物体运动到最高点之前时，速度向上；当物体运动到最高点之后时，速度向上下。1-2回答下列问题。(1) 物体受到几个力的作用，是否 一定产生加速度？答：不一定。当几个力的合力为零时，不产生加速度；当几个力的合力不为零时，则产生加速度。(2) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？答：不一定。物体运动的加速度与合外力有关，而速度与合外力无关。物体的运动方向和合外力方向是否一定相同？答：不一定。物体的运动方向是其速度方向，与合外力无关；加速度的方向与合外力有关。物体运动的速率不变，所受合外力是否为

33、零？答：不一定。当速度的方向也不变时，合外力为零，否则合外力不为零。1-3炮弹以一定的仰角射出，它的轨迹是一条抛物线。设当它到达最高点时，不料发生爆炸，分裂成 质量相等的两块碎片，其中一块在爆炸的影响下沿着原来的轨迹返回到出发点。问：(1) 另一块碎片将沿怎样的方向飞出去？能否达到预定的地点？答：根据动量守恒定律，另一块的速度方向不变，但速率比爆炸前更大，故着落点较预定的地点远。(2) 到达地面时两者的速率是否相同 ？答：不相同。(3) 两者能否同时到达地面 ？答：能同时到达地面。1-4根据动量原理可知：力在时间过程中的累积效应，引起动量的改变。根据功能原理可知：力的空 间累积引起动能的改变。

34、(1) 如果物体受合外力作用了一段时间(即受到合外力的冲量作用)，动量发生了改变，那么，是否一定会引起物体动能的改变 ？答：不一定。如物体所受的合外力与其运动方向垂直，合外力的冲量不为零，但并不对物体作功，所以动能将保持不变（例如：物体作匀速率圆周运动）。（2）如果物体受合外力作用，并且在力作用的方向上有了位移（即合外力对物体作了功），使物体的动能发生了变化，是否一定会引起物体动量的改变？答：一定，因为物体所受合外力不为零，且力对物体作功的同时，一定有时间的积累，则引起物体动 量的改变。1-5 一质点做半径为 R的圆周运动，其速率 V二bct，b、c均为正的常量，试求：（1）任意时刻质点加速度

35、的大小和方向；（2）速度为零时质点绕圆周运动了多少圈？合加速度为:a = Ja2 + a2 =(C2 +(b R?)1 一 R2c2 (b_ct)4tgv - O*at2(b -ct)Rcv - arctg(b -ct)2Rc(b-ct)2Rc加速度的方向与运动方向成(2)根据 vn-b-ct dtb.c则有：S = c(b - ct)dt 二 I応-arctgRc当v = 0时，b t = cct2*和b2角。c 2c 2c已知:R, v = bct ,求：(1)t 时刻 a=?(2)当 v=0 时，n=?解：（1）切向加速度：dv at = dt二c法向加速度：2van 二r2(b -ct

36、)rb24 - Rc-arctg2()角;Rc速度为零时质点绕圆周运动了圈。所绕圈数为:答：任意时刻质点加速度的大小为丄Jr2c2 +（b _ct）4，加速度的方向为与运动方向成1-6在生物物理实验中用来分离不同种类的分子的超级离心机的转速是机的转子内，离轴 10cm远的一个大分子的向心加速度是重力加速度的几倍已知：n=60 104rev min-1, R= 10cm= 0.1m,求：N= ?60 104rev min勺。在这种离心2兀Rn解：该分子的速度为：v = 2-Rn向心加速度的大小为:R设an为g的N倍则:ang Rg4 二2R n2g 60=4 107(倍)答：大分子的向心加速度是

37、重力加速度的4 107倍。1-7桌上有一块质量 M=1kg的木板，板上放着一个质量m=2kg的物体，物体和板之间的静摩擦系数宙=0.3，板和桌面之间的滑动摩擦系数为巡=0.25，现以水平力F拉木板，物体与板一起以加速度a=1ms2运动，试求：(1)物体和板的相互作用力以及板和桌面的相互作用力；(2)若要使板从物体下抽出，需要外力F是多少。2已知：M=1kg, m=2kg,敗=0.25,卩=0.3, a=1m$ ；求：R = ?, R=?, F=?解：(1)用隔离体法，分别画出物体三个物体的受力图。先求物体与板间的相互作用力Ri：M =2g =19.8(N)片静=Ma = 2 1 =2(N) (

38、V f1 静 max)&N12f1静2 = 19.9( N):-=arctg -Nl =84014f1静R1与水平线成84014 角再求板和桌面间的相互作用力R2：N2 =3g =29.4(N)图1-922R2 = N2f2动=30.3(N),=arctgN2= 760 ,R2与水平线成760角。f2动二 N2k =29.4 0.25 = 7.35(N)当M与m相对运动时，二花静max，静max *1=5.88(N)aMMax 9 R )所需外力至少为F：F = t静max f2动 maM =7.35 5.88 2.94 = 16.17(N)答：物体和板的相互作用力为19.9N与水平线成840

39、14角，板和桌面的相互作用力为7.35N与水平线成760角；若要使板从物体下抽出，需要外力F为17.17N。一451-8 一步枪在射击时，子弹在枪膛内受的推力满足F=400 - T05t的规律变化。已知击发前子弹速3度V0 =0，子弹出枪口时速度 v=300m?-1。求子弹的质量等于多少 ？45已知：F =40010 t、v0 = 0、vt =300(m s ): 求：m= ?。3解：子弹离开枪膛时，所受的推力F=0，子弹离开枪膛的时间为 t ,0 =400 4 105tt = 3 4003 1 03 s()3 4x 1 0t0 Fdt 二 mvt - 033 10-45(40010 t)dt

40、=mvt3子弹受的力有重力、枪膛对子弹支持力和火药的推力F，前两个力相互抵消。根据动量定理有：将t代入得：m=2 102(kg)解之得子弹的质量为：答：子弹的质量为2 10-3kg。1-9质量为1kg的球体以25m?-1的速率垂直的落在地板上，以10m?s-1的初速率跳回。(1) 试问在球与地板接触时间内作用在球上的冲量多大？(2) 设接触时间为0.02s,问作用在地板上的平均力多大 ？ 已知：m=1kg、V1=25m?-1、V2=10m-1；求：1= ?, N = ?解：(1)球体与地面碰撞时，受到重力和地面反力的作用，设二者的合力为F。取垂直向上的方向为正向。t 根据动量定理：Fdt二mv

41、2 -mvi = I0I =m(-v2 -)=1 10-(-25) l-35(N s)根据动量定理：(N -mg)L：t =m2 -mv.At1 (10 25)0.021 9.8 =1759.8(N)答：球与地板接触时间内作用在球上的冲量为35N-S；作用在地板上的平均力为1759.8N。1-10如图1-8所示，质量为7.2 10-23kg、速度为6.0 107m?-1的粒子A，与另一个质量为其一半而静 止的粒子B相碰，假定碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5.0 107m?s-1，求：(1)粒子B的速率及偏转角；(2)粒子A的偏转角。已知：mA=7.210-23kg,va=6.0107m?

42、-1,mB=mA/2,vb=0,7-1va=5.0 10 m? ,求：vb=? a=?沪？解：(1)根据动量守恒和能量守恒有：1 2 1 2 1 2 miAVAmiAVAmiBVB2 2 2mAVA 二 mAVAmhVB由得:2 2 1 2心A 2VB，vB =4.7 107(m s4)由余弦定理得：(mAvA)2 = (mBvB)2 (mAvA)22(mBvB)(mAvA)cos :Vb2 4vA - 4vfcos :4Vb Va/72(2 6)2 -(2 5)2 =0.586,_ 54.1。4 4.7 6222同理得：(miBVB)=(mAVA) (mAVA) -2(mAVA)(mAVA)

43、cos ：cos，4(vAQVb28va vA4(36 25)一4.720二=0.925, a =22.38 6 5答：粒子B的速率为4.7 107m?-1，偏转角为54.1;粒子A的偏转角为22.3。1-11 一质量为m的中子与一质量为 M的静止原子核作弹性碰撞，如中子的初始动能为E,试证明在碰撞过程中中子动能损失的最大值为：4mME /(M+m) 2。证明：设中子和原子核碰撞前、后的速度分别为v1和v2=0、v2中子与原子核正碰时，中子动能损失最大，根据动量守恒和动能守恒定律有：mw 二 mv1Mv2(1)12 12 12mv1mv-iMv2(2)2 2 21 O 1o1o由(2)式得：一

44、mw _mv|2= Mv2(3)2 2 2即:中子损失的最大动能等于原子核所获得的动能。由式得：v :mMv2m将v代入得：21 2 1 2 1mv1 - MV2Mv2mvm-2 22mmMv22 = m2v； (m2v： M 2v2 2mMv1v2)2mMviM(M m)中子损失的最大动能为:11Mv22M224m2M 2v：4mMEm2(M +m)2 一一 (M +m)21-12地下蓄水池的底面积 S=5m2，储水深度h=1.5m，若水 面低于地面的高度 h=5.0m，(1)问将池水全部抽到地面时， 需作多 少功？ (2)若水泵的效率 n =80%输人功率N=35kW ,需要多少时间 可以

45、抽完？已知：S=50m , h=1.5m , ho=5.Om , n =8% N=35kW ;求：A=?, t=?解:抽水机所作的功随着水深的变化而变化。 根据元功的定义， 如图1-11,将蓄水池地面下x处厚度为dx的水层抽出，所需的元 功为dA,h0ny r11x1hyF dx J图 1-11dA =dF x -S dx g x , dA - ：Sgxdx则:：SgxdxpgS(h=1000 9.8 502 26.5 -5= 4.23 106(J)15 / 21所需时间为：t = A /23 1 06 1 02 =1.5 12(s)N 80 3.5 10解法二：水体的重心距地面6.75米，将

46、池水全部抽到地面时，需作的功为:A=mghVgh/OOO (50 1.5) 9.8 6.75 = 4.23 106(N m)求抽完水所需要的时间为 t： A二N t 80%， t=1.5 102(s)答：将池水全部抽到地面时，需作功为4.23x106J ；若水泵的效率n =80%输人功率N=35kW，需要1.5 102s时间可以抽完。1-13求质量为m,半径为R的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并且通过其圆心。解：圆环的单位长度的质量为：m2二 R取一质量元dm，其转动惯量为:已知：m, R,求：J=?dJ = dmr2 dJ =r2dm = r2 m dl，2兀R薄圆环的转动惯量为：J

47、mRd 聖2二R = mR20 2兀R2兀答：薄圆环的转动惯量为 mR2。1-14 一根长I，质量为M的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹,质量为m,以水平速度V0射入棒的下段而不复出。求直棒和子弹开始一起运动时的角速度。已知：I, M , m, v0,求：w=?解：均匀细直棒绕一端点的转动惯量为：J =-ml23棒和子弹开始一起运动时的角速度为：mlv0-_ 3mvml2Ml2(3m M)l3答：棒和子弹开始一起运动时的角速度为3mv0(3m M )l v根据动量矩守恒定律，系统碰撞前的角动量mlv0等于碰撞后的角动量：(ml2 J) 1-15如图1-12所示，

48、一质量为 m的物体，从质量为 M的圆弧 形槽顶端由静止滑下，设圆形槽的半径为R，张角为n2,如所有摩擦都可以忽略，求：(1)物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各为多少物体从A滑到B的过程中，物体对槽所作的功(3) 物体到达B时对槽的压力。N和的N v和V ,已知：m, M, R, v=0, V=0 ,求：v = ?, V ?, Na=?, N=?解(1):忽略摩擦力，则外力对物体、槽和地球组成的系统不做功；物体和槽的相互作用力 位移相同，所做的功之和等于零，因此系统的机械能守恒。设物体离开槽时物体和槽的速度分别为则有：1 2丄1(1)mgR mv MV2 2v和V均沿水平方向,系统在水平方向不

49、受外力作用，所以水平方向上动量守恒。当物体离开槽时, 所以有：mv -MV =0(2)解、(2)可得:2MgRM m2m2 g R:m( m+ m(2)对槽来说，只有物体m对它的压力N做功，重力和桌面的支持力不做功；由动能定理可知：在物体下落过程中，物体对槽作的功就等于槽动能的增量，即:入Jmv22 =m gRM m(3) 物体到达最低点 B的瞬间，槽在水平方向不受外力，加速度为零，此时可把槽当作惯性系，在此惯性系中，物体的水平速度为：2MgR 2m2gR M m . M( M +m)由牛顿第二定律：N -mg=mvR由此可得：v 22 mNmg -m-(3) mg，方向向下。RM答：物体刚离

50、开槽底端时，物体和槽的速度分别为宀缈R和八L2m2gRM +mM( M+m)到B的过程中，物体对槽所作的功为m gR ;物体到达B时对槽的压力为(3 细)mg。M mM四、课后训练(一) 填空题1应用牛顿运动定律研究物体的机械运动时，所选用的参照系必须是。2某质点的运动方程 x=3t-5t3+6 (SI)，则该质点作直线运动，加速度沿 x轴方向。3运动质点的速率v与路程S的关系为u =1+S2，则其切向加速度以路程S来表示的表达式为at=。4. 某物体的运动规律为一=-kv2t，式中k为常数，当t=0时，初速度为vo,则速度v与时间的函数dt关系为。5当刚体所受的合外力矩为零时，刚体的 守恒。

51、6保守力作功与无关，只与有关。7转动惯量是物体大小的量度。8长为I、质量为 m的匀质细杆，以角速度3绕过杆端点垂直于杆的水平轴转动，杆的动量大小为，杆绕转动轴的动能为 ，动量矩为 。9一人站在转动的转台上，在他伸出的两手中各握有一个重物，若此人向着胸部缩回他的双手及重物，忽略所有摩擦，则系统的转动惯量 ，系统的转动角速度 ，系统的角动量，系统的转动动能 。(填增大、减小或保持不变)10. 半径为r=1.5m的飞轮，初角速度wo=1Orad?-1，角加速度3=-5rad?f2,若初始时刻角位移为零，则在t=时角位移再次为零，而此时边缘上点的线速度v=。11. 飞轮作匀减速运动，在5s内角速度由4

52、0nad-1减到10nad?-1，则飞轮在这 5s内总共转过了圈，飞轮再经 的时间才能停止转动。12. 在生物物理实验中用来分离不同种类的分子的超级离心机的转速是60x 1Or?min-1。在这种离心机的转子内，离轴10cm远的一个大分子的向心加速度是重力加速度的 倍。13转台绕竖直固定轴转动，每10s转一周，转台对轴的转动惯量为800kg?m2质量为50kg的人开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，当此人离转台中心为2m时，转台的角速度为 rad-1。14. 某机器上的飞轮的转动惯量为60kg?m2，转动的角速度为30rad-1,在制动力矩的作用下，飞轮经过20s匀减速地停止转动，它受到的

53、制动力矩为 。15. 质量为m，半径为R,轴与圆环平面垂直并且通过其圆心的均匀薄圆环的转动惯量为。16. 质量为m,长为的I均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。先将此棒放在水平位置，然后任其下落。在开始转动时角加速度为 ;下落倒竖直位置时的动能为 ;下落到竖直位置时的角加速度为 。17. 一根长为L,质量为M的均匀直棒，其一端挂在水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹，质量为m,以水平速度v射入棒的下端而不复出。则棒和子弹开始一起运动时的角速度为。(二) 选择题1下列运动方程中，a、b为常数，其中代表匀变速直线运动的是：3(D) x =a+bt。 :2 2(A) x =a+bt ；(B

54、) x =a+b t;(C) x =a+bt;-J.2. 质点作直线运动，已知：一 =-kv2t, t=0时，v=v0，其中是正的常数，则:dt(A) U =丄 kt2 +V02(B) u =- kt22+V 0(C) - = - kt2 + -v 2 V。(D)丄=-1 kt2 +V0v 23. 两个形状、大小和质量相同的物体，一个从光滑的斜面上由静止开始下滑，另一个从同一高度由静 止开始下落， U：(A)两物体同时到达地面；(B)自由下落的物体先到达地面；(C)沿斜面下滑的物体先到达地面；(D)无法判定哪个物体先到达地面。4. 竖立的圆柱形筒，半径为 R，绕中心轴 00转动，有一块物体 P

55、紧靠在筒的内壁，物块与筒壁之间 的磨搽系数为u,要使物块不致下落，筒的转动角速度3至少应为：(B) ug ；5. 设固体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑的过程中：(A) 它的加速度方向恒指向圆心；(B) 它受到的轨道作用力大小不断增加；(C) 它受到的合外力大小变化，方向恒指向圆心；(D) 它受到的合外力大小不变。6. 一质点在力F=3x2的作用下作直线运动， 质点从X1=1m运动到X2=2m的过程中，该力所作的功为:(A)3J ;(B)7J;(C)21J;(D)42J。7倔强系数为k,原长为Io的轻质弹簧，上端固定，下端受一竖直向下的力F。在此力作用下，弹簧被缓缓地向下拉长为I，在这过

56、程中力 F所作的功为：I 丄0II(A) F (I -丨。)；(B) kxdx ；(C) |kxdx;(D) |k(x-|o)dx。8. 劲度系数k=1000N ?m-1的轻质弹簧，一端固定在天花板上，另一端悬挂着质量为m=2kg的物体，并用手托着物体使弹簧无伸长，若突然撒手，则弹簧的最大伸长为：(重力加速度取10m-2)。(A)0.10m ;(B)0.02m ;(C)0.04m ;(D)0.08m。9. 如图1-2所示，一根长为I的轻绳，一端固定在O点，另一端系一小球把绳拉成水平线使小球静止在P处，然后释放让它下落，不计空气阻力，若绳能承受的最大张力为T,则小球的质量最大可为：Tm(A) -g(B)T ;2gTm(C)-3g9)四。5g10. 质量为10kg的物体在力F=3+4t作用下，(A)1.8m ?s-1;(B)2.7m-1;11. 物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全非弹性碰撞。如果两物体的质量满足那么，碰撞后两物体的总动能为：112(A)：Ek ;但)；曰;(C)-63312. 甲、乙两个金属圆盘的质量和厚度相等，它们的密度之比为径的轴转动，则它们的转动惯量之比为：从静止开始作直线运动，3