学案19三角函数的图象与性质

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1、学案19三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性自主梳理1三角函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域值域周期性奇偶性单调性在_上增，在_上减在_上增，在_上减在定义域的每一个区间_内是增函数2.正弦函数ysin x当x_时，取最大值1；当x_时，取最小值1.3余弦函数ycos x当x_时，取最大值1；当x_时，取最小值1.4ysin x、ycos x、ytan x的对称中心分

2、别为_、_、_.5ysin x、ycos x的对称轴分别为_和_，ytan x没有对称轴自我检测1(2010十堰月考)函数yAsin(x) (A，为常数，A0，0)在闭区间，0上的图象如图所示，则为 ()A1B2C3D42函数ysin图象的对称轴方程可能是 ()AxBxCxDx3(2010湖北)函数f(x)sin，xR的最小正周期为 ()A.BC2D44(2010北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x的最小正周期为 ()A4B3C2D5如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为 ()A.B.C.D.探究点一求三角函数的定义域例1(2

3、011衡水月考)求函数y的定义域变式迁移1函数ylg(2sin x1)的定义域为_探究点二三角函数的单调性例2求函数y2sin的单调区间变式迁移2(2011南平月考)(1)求函数ysin，x，的单调递减区间；(2)求函数y3tan的周期及单调区间探究点三三角函数的值域与最值例3已知函数f(x)2asin(2x)b的定义域为0，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值变式迁移3设函数f(x)acos xb的最大值是1，最小值是3，试确定g(x)bsin(ax)的周期转化与化归思想的应用例(12分)求下列函数的值域：(1)y2sin2x2cos x2；(2)y3cos xsin x，x0，；(3

4、)ysin xcos xsin xcos x.【答题模板】解(1)y2sin2x2cos x22cos2x2cos x2(cos x)2，cos x1,1当cos x1时，ymax4，当cos x时，ymin，故函数值域为，44分(2)y3cos xsin x2cos(x)x0，x，ycos x在，上单调递减，cos(x)y3，故函数值域为，38分(3)令tsin xcos x，则sin xcos x，且|t|.yt(t1)21，当t1时，ymin1；当t时，ymax.函数值域为1，12分【突破思维障碍】1对于形如f(x)Asin(x)，xa，b的函数在求值域时，需先确定x的范围，再求值域同时

5、，对于形如yasin xbcos xc的函数，可借助辅助角公式，将函数化为ysin(x)c的形式，从而求得函数的最值2关于yacos2xbcos xc(或yasin2xbsin xc)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)2三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题3函数yAsin(x) (A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看作

6、一个整体，利用ysin x的单调区间来求 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011黄山月考)已知函数ysin x的定义域为a，b，值域为1，则ba的值不可能是 ()A.B.CD.2(2010安徽6校高三联考)已知函数ytan x (0)与直线ya相交于A、B两点，且|AB|最小值为，则函数f(x)sin xcos x的单调增区间是 ()A. (kZ)B. (kZ)C. (kZ)D. (kZ)3函数f(x)tan x (0)的图象的相邻的两支截直线y所得线段长为，则f的值是 ()A0B1C1D.4函数yxcos x的部分图象是图中 ()5(2011三明模拟)若函数ysin

7、xf(x)在，上单调递增，则函数f(x)可以是()A1Bcos xCsin xDcos x题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6设点P是函数f(x)sin x的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是_7函数f(x)2sin 对于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为_8(2010江苏)定义在区间上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与ysin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_三、解答题(共38分)9(12分)(2011厦门月考)

8、已知函数f(x)，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性10(12分)(2010福建改编)已知函数f(x)2sin(x)a(0)与g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)当x0，时，f(x)的最小值为2，求a的值11(14分)(2010安徽合肥高三二模)已知向量a(sin x，2sin x)，b(2cos x，sin x)，定义f(x)ab.(1)求函数yf(x)，xR的单调递减区间；(2)若函数yf(x) (00)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体”

9、；A0 (A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)解y2sin可看作是由y2sin u与ux复合而成的又ux为减函数，由2ku2k(kZ)，即2kx2k (kZ)，得2kx2k (kZ)，即(kZ)为y2sin的递减区间由2ku2k (kZ)，即2kx2k (kZ)，得2kx2k (kZ)，即(kZ)为y2sin的递增区间综上可知，y2sin的递增区间为(kZ)；递减区间为 (kZ)变式迁移2解(1)由ysin，得ysin，由2k2x2k，得kxk，kZ，又x，x，x，x.函数ysin，x，的单调递减区间为，.(2)函数y3ta

10、n的周期T4.由y3tan得y3tan，由kk得4kx0，则，解得；若a0，则，解得；若a0，则，解得.所以g(x)sin(2x)或g(x)sin(2x)，周期为.课后练习区1A画出函数ysin x的草图(图略)，分析知ba的取值范围为，故选A.2B由题意知，函数的最小正周期为，则1，故f(x)sin xcos x2sin的单调增区间满足：2kx2k (kZ)解得2kx2k.3A4D5D因为ysin xcos xsin(x)，x，即x，满足题意，所以函数f(x)可以是cos x6.解析依题意得，所以最小正周期T.74解析由f(x1)f(x)f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最

11、小值和最大值，而当2k，即x8k2 (kZ)时，f(x)取最小值；而2k，即x8k2 (kZ)时，f(x)取最大值，|x1x2|的最小值为4.8.解析线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x5tan x，x，解得sin x.所以线段P1P2的长为.9解由题意知cos 2x0，得2xk，解得x (kZ)f(x)的定义域为x|xR，且x，kZ(3分)又f(x)cos2x1sin2x，(6分)又定义域关于原点对称，f(x)是偶函数(8分)显然sin2x1,0，又x，kZ，sin2x.原函数的值域为.(12分)10解(1)f(x)和g(x)的对称轴完全相同，二者的周期相同，即2，f(x)2sin(2x)a(3分)f(x)的最小正周期T.(4分)(2)当2k2x2k，kZ，即kxk(kZ)时，函数f(x)单调递减，故函数f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)(8分)(3)当x0，时，2x，(10分)2sin(2)a2，a1.(12分)11解f(x)2sin xcos x2sin2xsin 2x2sin 2xcos 2x2sin.(4分)(1)令2k2x2k，kZ，解得单调递减区间是，kZ.(8分)(2)f(x)2sin.根据三角函数图象性质可知，yf(x) 在x0处取最值，sin1，2k，kZ.(12分)又0，解得.(14分)