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1、word：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.的性质1抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2函数的图像与的符号关系.当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.3顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数 的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线.用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状一样.平行于轴或重合的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函
2、数，如果二次项系数一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：，顶点是，对称轴是直线. 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失.中，的作用 1决定开口方向与开口大小，这与中的完全一样. 2和的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；即、同号时，对称轴在轴左侧；即、异号时，对称轴在轴右侧. 3
3、的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点0，：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.轴右侧，如此 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下轴0,0轴(0,)(,0)(,)() 1一般式：.图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. 2顶点式：.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3交点式：图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 1轴与抛物线得交点为(0,). 2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程轴的交
4、点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点顶点在轴上抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离. 4平行于轴的直线与抛物线的交点 同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，如此横坐标是的两个实数根. 5一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. 6抛物线与轴两交点之间的距离：假设抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故二次函数的解析式有三种形式：1一般式：2顶点式：3当抛物线与x轴有交
5、点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，如此不能这样表示。考点三、二次函数的最值 10分如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值或最小值，即当时，。如果自变量的取值围是，那么，首先要看是否在自变量取值围，假设在此围，如此当x=时，；假设不在此围，如此需要考虑函数在围的增减性，如果在此围，y随x的增大而增大，如此当时，当时，；如果在此围，y随x的增大而减小，如此当时，当时，。考点四、二次函数的性质 614分 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质1抛物线开口向上，并向上无限延伸；2对称
6、轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；4抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，1抛物线开口向下，并向下无限延伸；2对称轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；4抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上，0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。二次函数知识点：1二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数
7、2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：结论：上加下减。同左上加，异右下减总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：结论：左加
8、右减。同左上加，异右下减总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字“同左上加，
9、异右下减三、二次函数与的比拟请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。总结：从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中四、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴与顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以与关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，如此取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.五、二次函数的性质 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最
10、小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；3. 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，
11、的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；ab同号同左上加当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧a,b异号异右下减 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；a,b异号异右下减当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧ab同号同左上加总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置总结： 同左上加 异右下减 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交
12、点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式9 / 9
初中数学二次函数知识点汇总情况
