第五章基于MATLAB的科学计算插值方法

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1、多项式函数与函数的最佳逼近1Interpolation (插值)、问题的提出在工程地质测量、机械设计及其制造、信号分析等实践中，经常回遇到曲线的描绘或函数的确定问题，平面上的曲线方程可写成如下的形式（）一般情况下，人们能够知道的或者说能够得到的只是曲线上的若干点，如通过测量可以得到曲线上（）的个点，由于信息不全，这个点不足以确定其所在的曲线，因而人们退一步地希望在充分利用这些数据的前提下，确定一条“简单的”且与未知曲线“最接近”的曲线；此外，在科学研究和计算中，往往回遇到复杂函数的分析与计算，有时用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的麻烦而使问题比较容易地得到解决。只需对自变量做加、减法和乘法

2、运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的，因此，在函数最佳逼近方面，“简单的函数（曲线）”指的就是多项式函数（类）； 所谓“最接近”或者严格地说最佳逼近，就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个和给定的函数（定点）之间距离最短的函数（点）。函数空间中不同的距离度量确定了不同的逼近准则，不同的逼近准则定义了不同的函数最佳逼近。在插值问题中，最基本的逼近准则是：在已知的全部点处，简单函数（插值多项式）与未知函数的函数值相等，即（）、关于插值问

3、题的基本定理定理： 给定个曲线上点，如果，互不相同，那么，在所有次数不超过次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数，满足条件（）。证明： 次数不超过的多项式可写成（）的形式，要证明在所有次数不超过次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数，满足条件（），等价与证明线性方程组（）即（）有唯一解，线性方程组（）有唯一解的充分必要条件是系数矩阵满秩，因为方程组（）的系数矩阵是Vandomonder矩阵，满秩的充分必要条件是，互不相同，因此，当，互不相同时，存在唯一的次数不超过次的多项式满足条件（）。、构造插值多项式的方法）一点说明可以通过解线性方程组（），得到插值多项式（）的系数，但是方程组的“状态”不一

4、定好！）拉格朗日（Lagrange）插值法（）首先考虑两个点的情况，求直线方程（即一次多项式）.点斜式直线方程：.两点对称式直线方程：.由两点式可知，是由两个线性函数的线性组合得到.这两个线性函数称为插值基函数，其性质为：.（）考虑三个点的情况，求二次曲线方程（即二次多项式）.为了求出的表达式，可采用基函数方法，此时基函数、及是二次函数，且在节点上满足条件：. （5.5）满足条件（5.5）的插值基函数很容易求出，例如求，因为它有两个零点及，故可表示为，其中待定，可由条件确定.于是，.同理可求得及.因此，得抛物插值.进而，对于一般个点的情况，求次曲线方程（即次多项式）.（3）构造插值多项式的基函

5、数（）（4）拉格朗日插值多项式（）（5）简单的证明因为拉格朗日插值多项式的基函数有如下的性质：（）所以拉格朗日插值多项式（）满足插值的条件。例1 已知的函数值求的近似值.解 1） 用线性插值计算，因为在之间，故取两点，则有线性插值，所以.2） 用过三点的抛物插值计算，有，所以.【注】 因为的近似值为0.6087614，所以抛物插值比线性插值精确.Lagrange插值的优缺点：Lagrange插值的优点是公式整齐对称，适合理论上的推导，并且计算机算法容易实现.Lagrange插值的缺点是计算上不太方便.若在上用近似，则其截断误差为，也称为插值多项式的余项(Remainder Term).关于插值

6、余项估计有下面定理.【定理2】 设函数在上的阶导数连续，在内存在,是在处的次Lagrange插值多项式，则对中每一个点，存在依赖于的点使， （5.8）其中.证明 若是节点，公式（5.8）两边均等于零，结论成立.设由于在处，于是有，其中为与有关的待定函数. 为了确定，作辅助函数.显然都是的零点（共个），且.由Rolle定理，在这个点的每两点间至少有一个零点.再对应用Rolle定理，则至少有个零点且都在内.依此类推，在内至少有一个零点，使，即有.由插值余项（5.8），我们有下面结论.（1）次插值的误差估计为：，其中；（2） 次插值的误差除与、有关外，还与节点的位置、个数有关；（3） 当是次数不超过

7、的多项式时，由于，因此，的次插值多项式就是它自身，即；（4） 当1时，有.例2 估计例1中与的误差.解 由，有，.1） 线性插值的误差估计.因为，其中，所以.2） 抛物插值误差估计.因为，其中，,，所以.例1 LagrangeInterp.m（）拉格朗日插值法的不足在实际问题中，观测的数据可能会不断增加，如果用拉格朗日插值公式构造插值多项式，那么，每当增加数据就要重新计算多项式的系数，由此增加许多不必要的计算工作量。）牛顿（Newton）插值法Newtons Divided-Difference Interpolation将插值多项式写成下面的形式（）其系数的确定有如下的特点：计算第个系数只用

8、到前对数据，如，因此，当数据增加时，不需要重新计算已有的多项式系数，例如，在已得到插值多项式（）的情况下，当新增加一对数据时，只需要在原有的插值多项式的基础上增加一项因此，对于新的插值多项式只需要计算系数。4）利用有限插商表示牛顿（Newton）插值多项式有限差商的概念（Finite Divided Difference）：零阶有限差商： 一阶有限差商： 二阶有限差商： 三阶有限差商： n阶有限差商：那么Newton插值多项式可以表示为利用差商定义可得到计算的递推算法.表5-4 递推计算差商表 一阶差商 二阶差商 三阶差商 例5 对于例1，用牛顿插值公式重新计算的近似值.解 1） 首先构造差商

9、表如下.表5-5 差商表 一阶 二阶=0.5=0.707107 0.791090=0.866025 0.607024 -0.351539由表可得牛顿插值公式中各系数依次为,.2） 用线性插值计算，求得的近似值为.用抛物插值计算，求得的近似值为 .所得结果与例1相同.比较例1与例5的计算过程可以看出，与Lagrange插值相比较，牛顿插值在计算上的优点是明显的.需要指出，由插值多项式的存在唯一性定理知，满足同一组插值条件的Lagrange插值与牛顿插值实际上是同一个多项式，因此，Lagrange余项公式也适用于牛顿插值.，）埃尔米特插值（Hermite Interpolation）在某些实际问题

10、中，希望近似多项式能更好的密合原函数，即不但要求插值函数在节点上等于已知函数值，而且还要求其导数值相等.例如，飞机外形曲线，它由几条不同的曲线衔接，此时要求衔接处足够光滑.这种使插值函数和被插值函数密合程度更好的插值问题，称为埃尔米特插值（Hermite Interpolation）.设在节点上，即已知数据表如下求插值多项式，满足条件. （5.12）这里给出了个条件，可唯一确定一个次数不超过的多项式，记为，其形式为.下面用构造性方法来证明的存在性，即利用拉格朗日插值基函数的方法寻求.设，其中基函数为待定的次多项式.为使满足插值条件，基函数满足性质：， .令,其中由插值基函数的性质确定.显然,所

11、以，即.同理得.因此，Hermite插值多项式为作为带导数插值多项式（5.13）的重要特例是的情形.此时，插值多项式为， （5.15）其中，插值基函数为，.插值余项为.例8 已知在节点处函数值及导数值如表，求三次Hermite插值多项式，并估计误差.01010.84150.5403解 1） 由三次Hermite插值公式(5.15)，所以，.当时，.2） 估计误差.根据插值余项公式，因此，.例9 已知的函数值及导数值如表，求次数不超过3的多项式，满足.解 1）求插值多项式.由于通过点，而通过这三点的二次插值多项式为，于是， ，其中，为待定系数，可由条件来确定，通过计算可得.2） 求插值余项.设在

12、上具有连续的4阶导数，由插值条件，为的零点且为二重零点，于是，其中，为待定函数.不妨设，且，构造函数，显然，且为的二重零点（共5个零点），反复应用Rolle定理可知，在内至少有4个互异的零点，在内至少存在一点，使，所以.于是，余项公式为，其中，且依赖于.5）简单的例子与高次多项式插值的Runge现象Plot_Runge ）分段低次多项式插值上述例子表明，利用高次多项式插值的效果未必好。然而，当我们面对个点，并且较大时该怎么办呢？例x=-2*pi:pi/24:2*pi;y=2*sin(x);plot(x,y)%plot(x,y,x,y,r.)axis equal）（三次）样条插值（Cubic S

13、pline Interpolation）（）插值条件要求插值多项式（三次样条函数 Cubic Spline Function）a在每个区间，是次数不超过三次的多项式；b，；c在区间上具有二阶连续导数。（）确定三次样条函数的条件根据三次样条插值的要求，样条插值函数在每个小区间，上都是三次多项式，每个三次多项式有四个系数，总共需要确定个系数，因此，需要个条件才能保证唯一地确定满足要求的三次样条插值函数。已知 条件 b 给出了条件：， ； （4） 条件 c 要求在区间上具有二阶连续导数，所以，插值函数在中间插值节点，处，必须满足条件：， ； （5）， ； （6）， ； （7）这样已有个条件，还需要

14、2 个条件，才能保证对插值函数的唯一性要求；为此，通常在插值区间的端点处附加2个边界条件：） 定端点的斜率(Slope)：固定边界条件：，（）给定端点的的二阶导数：自由边界条件：，（）其特殊情况为自然边界：.） 期性条件：（）例10 己知函数在三个点处的值为，在区间-1,1上，求在自然边界条件下的三次样条插值多项式.解 利用待定系数法.这里，区间-1,1分成两个子区间，故设由插值和函数连续条件，得由内节点处一、二阶导数的连续条件，得.最后由自然边界条件，得.联立各方程，解关于待定系数的线性方程组，得，因此，三次样条插值问题的解为注：对于一般情况，待定系数法要解一个阶的线性方程组，当较大时工作量

15、相当大.（）三次样条插值函数的构造） 设待求的三次样条插值函数在各插值节点处的一阶、二阶导数为， ； （）， ； （）由于插值函数在各小区间，上都是三次多项式，所以二阶导数是一次多项式，记，（）利用Lagrange插值公式，可表示为：，（）对式（）的两端积分 （6） （7）注: 表达式(17)与三次多项式的一般形式等价:.利用个条件，,， ,得到如下个等式: （8） （9）对式(17)微分并将,的表达式(18),(19)代入:（20）利用个条件:， ； （21）得到下列个等式: （22）经简单整理:（23）令，（24）那么式(23)可整理如下（25）上述讨论的结果是：将确定样条插值函数的问题归

16、结为以（样条函数在节点处的二阶导数）为未知数的线性方程组的求解问题容易看出,(25)是由方程组成的、含有个未知数的方程组.改方程组的求解需要依据给定的边界条件：对于固定边界条件：，利用以阶导数的表达式可得到两个方程: (26) (27)加上(25)中的个方程,正好是个: , 为表示统一起见,令,那么有,这样,可整体地表示上述方程组如下 (28)其中, ,.对于自由边界条件：，,可直接将，带入方程组(25),这是该方程组可整体地表是成 (29)其中,.对于周期性条件：,利用的表达式和等式,可得到如下方程: (30)其中,.方程(30)和方程组(25)整体表示如下: (31)其中,注：方程组（），

17、（）和（）的系数矩阵都是严格主对角占优的：严格列主对角占优：，；或严格行主对角占优：，；统称为严格主对角占优严格主对角占优的矩阵一定是非奇异的：设矩阵是严格行主对角占优的，任取矩阵的特征值，令是相应于的特征向量，那么有（）设，考察（）第个等式：两端同时用去除：（）从而保证了上述三个方程组的存在性和唯一性例11 已知函数的函数值如下表.在区间-1.5，2上求三次样条插值函数，使它满足边界条件.-1.5 0 1 20.125 -1 1 9解 1） 根据给定数据和边界条件计算，写出确定的线性方程组.2） 解方程组，得.3） 将所得代入公式（5.20），得到在各子区间上的表达式.故所求三次样条插值函数

18、为插值问题的MATLAB实现：polyfit:spline:interp1:clearx=-pi:pi/5:pi;xi=-pi:pi/100:pi;y=x.*exp(x).*sin(x);Y=;Y(1,:)=interp1(x,y,xi,nearest);Y(2,:)=interp1(x,y,xi,linear);Y(3,:)=interp1(x,y,xi,spline);pp=polyfit(x,y,10);Y(4,:)=polyval(pp,xi);ezplot(t*exp(t)*sin(t),-pi,pi)hold onplot(xi,Y(1,:),xi,Y(2,:),xi,Y(3,:),xi,Y(4,:)legend(xexp(x)sin(x),nearest,linear,spline,Lagrange)41