立体几何好题及答案

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1、高三数学单元测试卷第九单元简单几何体，交角与距离（时量:120分钟 150分）、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A 18 对B. 24对C. 30 对D 36 对2. 个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为A. 8.2B. 8C. 4： 23.P、Q分别是侧棱 AA1、CC1上的点，且 PA = QC1,设三棱柱 ABC A1B1C1的体积为V , 则四棱锥B APQC的体积为VD .24.如图，在多面体 ABCDEF中，已知 为正三角形，ABCD是边长

2、为EF / AB , EF = 2,则该多面体的体积为1的正方形，且 ADE、 BCF均5.6.C.设aA.C.如图，正方体ABC1D1的距离为B.m、n、l为直线，则ml ,m lB.,mD.ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 ,的一个充分条件是m, ,n ,mnO是底面 A1B1C1D1的中心，则 O到平面D1C1/ ! B1仏7.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面 共有A. 3个B. 4个C. 6个D . 7个&正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱 AB、CQ1的中点，则直线A1B1与平面A1ECF所成角的正弦为eV9.在空间直角坐标系O xyz中，有一个

3、平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为 8,在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为 6,则这个多边形的面积为D.34这个正四面体的高的最小A. 2 46B. - 46C. 2- 3410. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里, 值为A 73 2 76c c 2虫B2亠C 41c4.326A.3,I3I3D .3答题卡题号12345678910答案二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分把答案填在横线上.11. 正三棱锥P ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2寸3,则正三棱锥的底面边长是 _.12. 如图，PA丄平面 ABC, /

4、ABC = 90 且 PA = AB = BC= a, 则异面直线PB与AC所成角的正切值等于 .13. 已知球面上 A、B两点间的球面距离是 1,过这两点的球面半径的 夹角为60,则这个球的表面积与球的体积之比是 .14. 下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）15. 在正方体 ABCD A1B1C1

5、D1中，过对角线 BD1的一个平面交 AA1于E，交CG于F,则 四边形BFD1E 一定是平行四边形 四边形BFD1E有可能是正方形 四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形BFD1E有可能垂直于平面 BB1D以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号） 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本题满分12分）在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形，平面 VAD丄底面ABCD .（I）证明AB丄平面VAD .（H）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.17. (本题满分12分)如图1,已知ABC

6、D是上、下底边长分别是 2和6,高为.3的等腰梯形.将它沿对称轴OOi折成直二面角，如图 2 .DOiC(I)证明AC丄BOi；(n)求二面角 o ac Oi的大小.18. (本题满分14分)如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA丄底面ABCD , PA= AB = 1, BC= 2.(1) 求证：平面 PDC丄平面PAD ;(2) 若E是PD的中点，求异面直线 AE与PC所成角的余弦值；C(3) 在BC边上是否存在一点 G,使得D点到平面PAG的距离为1,若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由.19. （本题满分14分）如图，已知三棱柱 ABC AiBiCi的底面是边长为 2的正三

7、角形，侧棱 AiA与AB、AC均成45角，且 AiE丄BiB于E, AiF丄CCi于F.求证：平面 AiEF丄平面BiBCCi；求直线AAi到平面BiBCCi的距离；当AAi多长时，点Ai到平面ABC与平面BiBCCi的距离相等.20. （本题满分i4分）如图直角梯形 OABC 中，/ COA = Z OAB = - ,OC = 2,OA = AB = i, SO丄平面 OABC , 2SO=i，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系 O-xyz求SC与OB的夹角 的大小（用反三角函数表示）;设n （i, p, q）,满足n 平面SBC,求： n的坐标； OA与平面SBC的夹角

8、（用反三角函数表示）； O到平面SBC的距离.设k (1,r,s)满足k SC且k OB填写： k的坐标为. 异面直线SC OB的距离为 .(注：只要求写出答案)21. (本题满分14分)直三棱柱 ABC A1B1C1,底面 ABC 中，CA= CB= a,Z BCA= 90, AAi= 2a, M、N分别是A1B1、AA1的中点.(I) 求BN的长；(II )求 cos BA1,CB1；(III )求证：AB丄C1M.简单几何体，交角与距离参考答案、选择题题号12345678910答案CDCAABDACC二、填空题11. 3;12.护；13. n14.15.三、解答题16.证明：（I）作 A

9、D的中点 0，贝U VO丄底面 ABCD . 1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1, 2分则 A ( 1 , 0, 0), B2(1, 1, 0),2C (- - , 1, 0) , D (- - , 0 , 0), V (0 , 0 ,2 2),AB (0,1,0), AD(1,0,0), AV由(0,1,0)(1,0,0) 01 3(-,0,)2 2ABAD AB AV (0,1,0)(1 3-,0, ) 02 2又 AB n AV = A AB丄平面VAD（0,1,0）是面VAD的法向量()由(I)得 ab设 n (1,y,z)是面 vdb的法向量，则0n bD 0(如,于)(

10、1,y,z) ( 1, 1,0)(1,y,z)(0,1,0) (1, 1,身)3 1迈311分又由题意知，面 VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为17.解法一（I）证明 由题设知 OA丄001, OB丄001.所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA丄OB.故可以O为原点，OA、OB、001 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图3,则相关各点的坐标是 A （3, 0, 0）,421 arccos 712分B (0, 3, 0), C (0, 1, J3 )01 (0, 0,3 )从而 AC ( 3,1, 3),B01 (0, 3, .3), AC B013 .

11、3、3 0.所以AC丄BO1.(II )解：因为 B01 OC 3330,所以 BOOC,由（I） AC丄BO1，所以BO平面OAC, BO1是平面OAC的一个法向量由 n AC 0:3x y 3z ,取 z3,得 n (1,0, .3)n 0Q0y 0.设n （x, y,z）是0平面O1AC的一个法向量,设二面角 0AC01的大小为 ，由nB01的方向可知n , BO1 ,所以coscosn , B01 =n B01|n | |B01 |即二面角0 AC01的大小是V3arccos .4解法二（I）证明 由题设知 0A丄OO1, 0B丄001，所以/ AOB角，即0A丄0B.从而A0丄平面

12、0BC01, 0C是AC在面OBCO 1内的射影.因为 tan OO1B3 tan OQC C 3OO1OO1 3所以/ 001B=60。，/ OQC=30 ，从而 OC 丄BO1 由三垂线定理得 AC丄B01.是所折成的直二面角的平面X(II )解 由(I) AC丄 BOi, 0C丄 BOi,知 BO平面 AOC.设OC A OiB=E，过点E作EF丄AC于F,连结 OiF (如图4),贝U EF是OiF在平面 AOC内的射影，由三垂线定理得 OiF丄AC.所以/ OiFE是二面角 O AC Oi的平面角.由题设知 OA=3 , OOi= .3 , OiC=1 ,所以 OjA . OA2 O

13、O2 2,3, AC . OiA2 OiC2 .13 ,从而OiFOi A OiCAC又 OiE=OO 1 sin30 =三,2所以sinOiFE OiEOiF-i373即二面角 OAC Oi的大小是arcsin4i8.解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0, 0,0), B(1, 0,0), C(12, 0, ), D(0, 2, 0), E(0, 1,12)，P(0, 0, i).0,AD =(0, 2 ,CDAD0, aP =(0, 0, 1) aE1=(o, 1 , 2,PC=(1, 2 1),CDAP| ADAPCDCD

14、平面PAD 平面pdc丄平面平面PDCPAD .1缶衆=2_3010，9分214分(2) v cos所求角的余弦值为尹(3) 假设BC边上存在一点 G满足题设条件，令 BG = x,则平面 PAG ,即 DQ = 1 . 2S ADG = S 矩形 ABCD , j| = 2,又 AG =貳+1,収=32 ,故存在点G,当BG= .3时,使点D到平面PAG的距离为1.19.解： CCi/ BBi ,又 BBi丄AiE , CCi丄AiE ,而 CCi丄AiF , CCi丄平面 AiEF , 平面AiEF丄平面 BiBCCi 4分作AiH丄EF于H,贝U AiH丄面BiBCCi , AiH为Ai

15、到面BiBCCi的距离，在厶 AiEF中,AiE = AiF = 2 , EF = 2, AiEF为等腰Rt且EF为斜边， AiH为斜边上中线， 可1得 A1H = qEF = 1作AiG丄面ABC于G ,连AG ,贝U AiG就是Ai到面ABC的距离，且 AG是/ BAC的角平分线，AiG = 1 12分cos45 cos/AM = COS30sin/ A1AG =1A1A = 1314分20.解:C (2,(I)如图所示：0, 0), S (0, 0, 1),SC(2,0, 1),OB(1,1,0)2cosSC,OBQ5 J2O (0, 0, 0), B (1, 1, 0).105arcc

16、os51,1,0)n SBC(n) SB (1,1, 1),CB(1 P1 p 0,解得:p 1,qq0,2, n(1,1,2)过O作OE BC于 E,则 BC 面SOE , SOE SAB又两面交于 SE,过O作OH SE于H ,则OHSBC,延长OA与CB交于F,则OF连FH ,则 OFH为所求又 OE .2, SE ,3OHSO OE 1 J 、6SE .33sinarcsinfllH 州HI训 Mlllllll刑Mlllllll 川 |10 分k的坐标为 1, 1,2 ; OH 14 分.321.以C为原点建立空间直角坐标系(I) B(0, a, 0), N(a, 0, a),I BN

17、 I 、(a 0)2(0 a)2 (a 0)2- 3a. 4 分(II) Aa, 0, 2a), C(0, 0, 0), B1(0, a, 2a), BA1 = (a, a, 2 a), CR = (0, a, 2a),BA1 CB-i = ax o+( a x a+ 2ax 2a= 3a2, 5 分|BAi| = . a2( a)2(2a)2.6a , | CB- | = 02 a2(2a)2 5a , 7 分BA1 CB13. 30 小八-cos BA|,CB-=. 9 分| BA1 | |CB1 |v;6 J510a a* a a-(III ) Ci(0, 0, 2a), M(，, 2a),. C1M = (，, 0), A1B = ( a, a, 20),2 2 2 2 aa- AB GM = ( a)x+ ax+ 2ax 0= 0, A-B _L C-M , AiB丄CiM . 14分2 2