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1、第24章圆单元复习一、知识梳理1、圆的有关概念： 2、 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。3、垂径定理及其推论： 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的
2、其余各组量都分别相等。5、圆周角：（1）定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。（2）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（3）推论： 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。6、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角。圆内接平行四边形是矩形，圆内接菱形是正方形。圆内接梯形是等腰梯形。定义、性质、推论及应用。求角度、用四点共圆解决问题（到某点等远
3、的四点共圆对角互补的四边形四个顶点共圆线段所对的两个张角相等的四点共圆）另外：三角形的垂心恰好是它的垂足三角形的内心、三角形一个顶点到其垂心的距离是外心到对边中点距离的2倍、三角形的外接圆；圆内接三角形。经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。注意：（）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；（）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部。（二）与圆有
4、关的位置关系1、点与圆的位置关系：若O的半径为r， 点P和圆心O的距离为d. 则(1)点P在O内d r(2)点P在O上d r(3)点P在O外d r2、直线和圆的位置关系：设O的圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r d r； d r； d r。3、圆的切线1定义：和圆有 的直线叫圆的切线。2判定：（1）到圆心的距离等于这个圆的 的直线是圆的切线； （2）经过半径 并且 这条半径的直线是圆的切线。证明直线和圆相切的方思路3性质：（1）圆的切线 过 的半径。 （2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ； （3）经过切点且垂直于切线的直线必经过 ；（4）圆的两条平行切线之间的距离等于 。（5）从圆外一
5、点引圆的两条切线，它们的切线长 ，圆心和这个点的连线平分 。（切线长定理） 结论：P是O外一点，PA、PB分别切O于A、B，C是弧AB上一点，DE切O于C交PA、PB于D、E，则PDE的周长为 。4、三角形的内切圆（1）定义：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫三角形的 。（2）三角形的内心是三角形 的交点，它到三角形 的距离相等，都等于该三角形 。（3）若ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆O分别切BC、CA、AB于D、E、F。则AF=AE= ，BD=BF= ，CD=CE= BOC与A的关系是 ，EDF与A的关系是 ABC的面积S与内切圆半径r的关系是
6、。（4）直角三角形的外接圆半径等于 ，内切圆半径等于 。5、圆外切四边形的性质（1）圆外切四边形的两组对边 。（2）圆外切平行四边形是 ，圆外切矩形是 ；圆外切等腰梯形的中位线等于 。（3）已知圆外切等腰梯形的上底为a，下底为b，则该圆的半径为 。6、弦切角（1）定义：顶点在 ，一边 ，另一边 的角叫弦切角。（2）定理：弦切角等于它所夹的弧 。（3）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角 。7、圆和圆的位置关系：（1）（2）相切两圆的连心线过 ；相交两圆的连心线 公共弦。（3）常用的辅助线：两圆相交公共弦；两圆相切公切线。（三）正多边形和圆1、正多边形的概念：各边 且各角也 的多边
7、形是正多边形。2、正多边形和圆的关系（1）把一个圆n等份（n3）顺次连结各个分点所得n边形是这个圆的内接正n边形；经过各个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形，是这个圆的外切正n边形。（2）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。3、正多边形的有关计算：定理：正n边形的 和 把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正n边形内角中心角边长半径边心距周长面积 3 a 4 a 6 a4、正多边形的作图。5、圆的周长、弧长公式： ； 。6、圆、扇形、弓形的面积公式： ； ； 。7、圆柱和圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面展开图是 ，若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则
8、圆柱的侧面积为 ，全面积（表面积）为： 。（2）圆锥的侧面展开图是 ，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为 ，全面积（表面积）为： 。二、题型、技巧归纳类型一、垂径定理 【主题训练1】(广安中考)如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8 cm，CD=3 cm，则圆O的半径为( ) A. cm B.5 cm C.4 cm D. cm 【自主解答】选A.连接OA.ODAB且OD是半径AC=AB=4cm,OCA=90,RtOAC中,设O的半径为R,则OA=OD=R,OC=R-3;由勾股定理,得:OA2=AC2+OC2,即:R2=16+(R-3)2,解得R=cm,所以选
9、A.归纳：垂径定理及推论的四个应用1.计算线段的长度:常利用半径、弦长的一半、圆心到弦的距离构造直角三角形,结合勾股定理进行计算.2.证明线段相等:根据垂径定理平分线段推导线段相等.3.证明等弧.4.证明垂直:根据垂径定理的推论证明线段垂直.类型二、 圆周角定理及其推论 【主题训练2】(内江中考)如图,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分BAC,则AD的长为()A.4cm B.3cm C.5cm D.4cm 【自主解答】选A.连接BC，BD，OD，则OD,BC交于E.由于AD平分BAC，所以 所以ODBC，又半圆O的直径AB10 cm，弦AC6 cm，所以BC8 cm，所以BE
10、4 cm，又OB5 cm，所以OE3 cm，所以ED532(cm)，在RtBED中，BD又ADB90，所以AD归纳：圆周角的四种关系1.同圆或等圆中,等弧对的圆周角相等.2.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半.3.直径对的圆周角为90.4.圆内接四边形对角互补.类型三、 切线的性质和判定 【主题训练3】(昭通中考)如图,已知AB是O的直径,点C,D在O上,点E在O外,EAC =B =60.(1)求ADC的度数.(2)求证:AE是O的切线. 【自主解答】(1)B与ADC都是 所对的圆周角,且B =60,ADC=B =60.(2)AB是O的直径,ACB=90,又B =60,BAC=
11、30,EAC =B =60,BAE =BAC+EAC=30+60=90,BAAE,AE是O的切线.归纳; 切线的性质与判定1.切线的判定的三种方法:(1)根据定义观察直线与圆公共点的个数.(2)由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.(3)应用切线的判定定理.应用判定定理时,要注意仔细审题,选择合适的证明思路:连半径,证垂直;作垂直,证半径.2.切线的性质是求角的度数及垂直关系的重要依据,辅助线的作法一般是连接切点和圆心,构造垂直关系来证明或计算.切线长定理也为线段或角的相等提供了丰富的理论依据.类型四、 与圆有关的位置关系 【主题训练4】(2013青岛中考)直线l与半径为r的O相交,且点O
12、到直线l的距离为6,则r的取值范围是()A.r6D.r6 【自主解答】选C.直线l与O相交,圆心O到直线l的距离dd=6,故选C. 归纳：与圆有关的位置关系及判定方法1.位置关系:(1)点与圆的位置关系;(2)直线与圆的位置关系.2.判定方法:(1)利用到圆心的距离和半径作比较;(2)利用交点的个数判断直线与圆的位置关系.类型五、与圆有关的计算 【主题训练5】（绵阳中考)如图,AB是O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分DAB,ADCD,垂足为D,AD交O于E,连接CE.(1)判断CD与O的位置关系,并证明你的结论.(2)若E是的中点,O的半径为1,求图中阴影部分的面积.【自主解答】(1)CD
13、与O相切.理由为:AC为DAB的平分线,DAC=OAC.OA=OC,OAC=OCA,DAC=OCA,OCAD.ADCD,OCCD.CD与O相切.(2)连接EB,由AB为直径，得到AEB=90.由(1)中ADCD，OCCD,四边形CDEF是矩形，F为EB的中点.EF=DC，DE=FC，OF为ABE的中位线.EF=DC=BF.又E是 的中点， ABE=EAC=CAB=30.在RtOBF中，ABE=30.OF= OB= OC=FC,FB= =EF=DC.E是 的中点，AE=EC.图中两个阴影部分的面积和等于DCE的面积.S阴影=SDEC=归纳：与圆有关计算的四公式1.弧长公式l= (n为弧所对的圆心
14、角的度数，R为圆的半径).2.扇形的面积公式S= (n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径，l为扇形的弧长).3.圆锥的侧面积S=rl(r为圆锥的底面圆的半径，l为圆锥的母线长).4.圆锥的全面积公式: S=rl+r2(S为圆锥的全面积,r为圆锥的底面圆的半径,l为圆锥的母线长).典例精析：例题1.(镇江中考)如图,AB是半圆O的直径,点P在AB的延长线上,PC切半圆O于点C,连接AC.若CPA=20,则A=.【解析】如图,连接OC.PC切半圆O于点C,PCOC即PCO=90.CPA=20,POC=90-CPA=70.OA=OC,A=ACO.又POC=A+ACO.A= POC=35. 答案:35
15、例题2.(凉山中考)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出ABC的外接圆P,并指出点D与P的位置关系.(2)若直线l经过点D(-2,-2), E(0,-3),判断直线l与P的位置关系.【解析】(1)所画P如图所示.由图可知,P的半径为 .连接PD,PD= 点D在P上.(2)直线l与P相切.理由如下:连接PE.直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5.PE2=PD2+DE2.PDE是直角三角形,且PDE=90.PDl.直线l与P相切.三、随堂检测1.(2013
16、毕节中考)如图,在O中,弦AB的长为8,OCAB,垂足为C,且OC=3,则O的半径为()A.5 B.10 C.8 D.6 2.(上海中考)在O中,已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为.3. 3.(衡阳中考)如图,在O中,ABC=50,则AOC等于()A.50B.80C.90D.100 4.(郴州中考)如图,AB是O的直径,点C是圆上一点, BAC=70,则OCB=. 5.(梅州中考)如图,在ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则BAC的度数是.6.(常州中考)已知O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与O的位置关系是()A.相离B
17、.相切C.相交D.无法判断 7.(眉山中考)用一个圆心角为120，半径为6 cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是( )A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 8.(牡丹江中考)一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是( )A.81 B.27 C.54 D.18 【答案】1.【解析】选A.连接OA,由垂径定理可得AC=4,OAC是直角三角形,由勾股定理可得OA2=OC2+AC2=32+42=25,所以OA=5.2. 【解析】过圆心O作AB的垂线交AB于点D,由垂径定理,得AD= AB=2,在RtAOD中,运用勾股定理,得OD=. 答案: 3.
18、【解析】选D.因为ABC=50,所以AOC=2ABC=100.4.【解析】因为AB是直径,所以ACB=90,又OA=OC,所以A=ACO=70,所以OCB=90-ACO=90-70=20. 答案:205. 【解析】如图,连接AD,则ADBC;在RtABD中,AB=2,AD=1,B=30,因而BAD=60,同理,在RtACD中,CAD=45,所以BAC的度数是105. 答案:1056.【解析】选C.圆心到直线的距离d=5,圆的半径r=6,dr,则直线l与O的位置关系是相交.7.【解析】选B.设所围圆锥的底面半径为r ，则 =2r，r=2 cm.8.【解析】选C.方法一：S圆锥的侧面积Rl 62954，方法二：S圆锥的侧面积rl6954.
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