知识点142换元法解分式方程(解答)

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1、word1、（2010）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2t2=0用换元法转化为关于t的一元二次方程先求t，再求x解答：解：令=t，则原方程可化为t2t2=0，解得，t1=2，t2=1，当t=2时，=2，解得x1=1，当t=1时，=1，解得x2=，经检验，x1=1，x2=是原方程的解点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧2、（2010）（1）解不等式：3x2x+4；（2）解方程：+=2考点：换元法解

2、分式方程；解一元一次不等式。分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：（1）3x2x+4，3xx4+22x6x3；（2）设=y，则原方程化为y+=2整理得，y22y+1=0，解之得，y=1当y=1时，=1，此方程无解故原方程无解点评：（1）移项时注意符号的变化（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧3、（2008）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

3、专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2然后整理原方程化成整式方程求解解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y6=0解得y1=2，y2=即：=2或=解得x1=2，经检验，x1=2，是原方程的根点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点4、（2008）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查解分式方程的能力，观察分式因为与互为倒数，所以可根据方程特点选择

4、换元法进行解方程，同时又可用常用方法：去分母方法进行解方程解答：解：方法一：设，则原方程化为，整理得2y25y+2=0，y1=，y2=2，当y=时，解得：x=2；当y=2时，解得：x=1经检验x1=2，x2=1是原方程的根；方法二：去分母得2（x1）2+2x2=5x（x1），整理得x2x2=0，解得x1=2，x2=1，经检验x1=2，x2=1是原方程的根点评：解方程时要注意根据方程特点选择合适的方法，达到灵活技巧解题的效果5、（2008）解方程：x2=2x1考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：运用换元法，设y=x22x，降次求方程的解解答：解：设y=

5、x22x，则原方程变为：，即y2+y12=0，得（y3）（y+4）=0，解得：y=3或y=4，当y=3时，x22x=3，（x3）（x+1）=0，解得x1=3，x2=1，当y=4时，x22x=4，=120，此方程无解经检验，x1=3，x2=1都是原方程的根点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根6、（2007）解分式方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化可设y=把y代入原方程，转化为整式方程求解解答：解：设，原方程化为y2y+3=0，

6、解得y1=2，当y=2时，解得x=1当时，解得x=2经检验x1=1，x2=2都是原方程的根点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化本题应注意：最后需代入y=求得x的值，再验根7、（2006）用换元法解方程：x2+3x=1考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，观察可得方程若直接去分母会很麻烦，涉及到的计算量会很大，因此可设x2+3x=y，将原方程变形整理为y=1，即：y2+y20=0，求得y的值，然后再去解一元二次方程即可求得x的值解答：解：设x2+3x=y，则原方程变形为y=1，即y2+y20=0，解得y1=5

7、，y2=4当y=5时，x2+3x=5，即x2+3x+5=0，=32415=920=110，此方程无解；当y=4时，x2+3x=4，即x2+3x4=0，解得x1=4，x2=1经检验，x1=4，x2=1都是原方程的解点评：解分式方程的关键就是把分式方程通过去分母或换元等方式转化为整式方程，因此应根据方程特点选择合适的方法求解后要注意验根8、（2006）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程能力，观察方程，根据其特点可设=y，可得=，再进一步去分母整理化为整式方程即可求解解答：解：设：=y，则原方程为

8、：2y2y1=0，解得：由得：x1=1，x2=1+由y2=1得：x2x1=0，此方程的解x3=，x4=检验：都是方程的根点评：用换元法可将分式方程化繁为简，化难为易，是解分式方程常用方法之一，要注意总结能够熟练运用换元法解分式方程的特点9、（2006）阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题：老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2x）28（x2x）+12=0学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x42x37x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？

9、学生乙：我发现方程中x2x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好如果我们把x2x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y28y+12=0全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y28y+12=0的解是y1=6，y2=2，就有x2x=6或x2x=2学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1=3，x2=2，x3=2，x4=1，嗬，有这么多根啊老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法全体同学：OK！换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程考点：换元法解分

10、式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：阅读型。分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设=y，换元后整理并求得y的值，再代入=y中求x的值解答：解：设y=，则原方程可变为y25y6=0，解得y1=6，y2=1，=6，=1，解得x=或，经检验，都是原方程的根原方程的解为x=或点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧10、（2006）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力观察方程因为与互

11、为倒数，所以可设=y，则原方程可变形整理为y+=，再进一步解这个方程即可解答：解：设=y，则原方程可变形整理为：y+=，整理得：2y25y+2=0解得：y1=2，y2=当=2时，方程可整理为2x2x+2=0，因为=b24ac=150，所以方程无解当=时，解得x=1经检验x=1是原方程的根原方程的根为x=1点评：本题若用常规方法，则较繁琐，灵活应用换元法，则可化繁为简，因此解分式方程时，要根据方程特点选择合适的方法11、（2006贺州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，根据方程特点可设=y，则原方程可整理为y

12、2+3y=4，再去求解即可解答：解：设=y，则（）2=y2，原方程可整理为y2+3y=4，解得：y1=4，y2=1，当y1=4时，=4，x=4x+4，解得：x=，当y2=1时，=1，方程无解经检验：x=是原方程的解，方程的解为：x=点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法要注意总结能用换元法解的分式方程特点，做到能够根据方程特点选择合适的解方程方法12、（2006）用换元法解方程：x+=2考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力因为x+=，且与互为倒数，所以可采用换元法解分式方

13、程解答：解：由可设，则y=2，整理得y22y3=0，解得y1=3，y2=1当y=3时，=3，x23x+2=0，解得x1=2，x2=1当y=1时，=1，x2+x+2=0，=18=70，此方程没有实数根经检验：x1=2，x2=1是原方程的根原方程的根是x1=2，x2=1点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法13、（2006）用换元法解方程：x2x+1=考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：本题要求运用换元法解题，可先对方程进行观察，可知方程左右两边都含有x2x，如此只要将x2x看作一个整体，用y代替，再对方程进行化简得出y的值，最后

14、用x2x=y来解出x的值解答：解：设x2x=y，则，原方程化为y+1=，y2+y6=0即（y+3）（y2）=0，解得y1=3，y2=2当y=3时，x2x=3，x2x+3=0，=1120，此方程无实根；当y=2时，x2x=2，x2x2=0，解得x1=1，x2=2经检验，x1=1，x2=2都是原方程的根原方程的根是x1=1，x2=2点评：本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法14、（2005）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：当分式方程比较复杂时，通常采

15、用换元法使分式方程简化可设=y，那么=y2，=5=5y，化为整式方程求解解答：解：原方程可化为：（）214=5（），设=y，则原方程可化为：y25y14=0，即（y7）（y+2）=0，y7=0或y+2=0，则y1=7或y2=2当y1=7时，即=7，则x1=；当y2=2时，即=2，则x2=经检验，x1=，x2=都是原方程的解点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化换元的对象是有倍数关系的或者互为倒数的两个式子15、（2005）用换元法解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，设，代入后，化为整式方程求

16、解，求解后要注意检验解答：解：设，则，原方程变形为y=2，整理，得y22y3=0，解得y1=3，y2=1，当y1=3时，解得x1=1，当y2=1时，解得x2=1，经检验x1=1，x2=1都是原方程的根原方程的根是x1=1，x2=1点评：用换元法解分式方程是常用方法之一，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理16、（2005襄阳）解方程考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：由于等号左边的两项互为倒数，可以考虑用换元法求解设其中的一个为y，再化为整式方程求解解答：解：设=y，则原

17、方程可变形为，方程两边都乘2y，得2y25y+2=0，解得y1=，y2=2当y=时，去分母并解之，得x=3；当y=2时，=2，去分母并解之，得x1=2，x2=经检验，它们都是原方程的根原方程的根是x1=2，x2=，x3=3+，x4=3点评：当所要求解的分式方程比较复杂，两项又可以整理为互为倒数的时候，那么就可以考虑运用换元法求解，再化为整式方程求解即可17、（2005威海）解方程：x2+x+1=考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：设x2+x=y，把原方程用y代替，运用换元法解此方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设x2+x=y，原方程变形为y2+y

18、6=0，即（y2）（y+3）=0，y1=2，y2=3x2+x=2或x2+x=3，其中方程x2+x=3无解，解x2+x=2得x1=2，x2=1经检验x1=2，x2=1是原方程的根点评：注意方程x2+x=3变形得x2+x+3=0，其中=12413=110，所以原方程无解18、（2005）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：因为与互为倒数，可利用换元法使分式方程简便故设=y，则原方程转化为关于y的分式方程求y，再求x结果需检验解答：解：设=y，原方程化为：y+=，解得：y1=2，y2=当y=2时，=2，x=1；当y=时，x=2经检验，均合题意原方程

19、的解为x1=1，x2=2点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化本题中的两个式子互为倒数，可设其中的一个为y，那么另一个为它的倒数19、（2005双柏县）解方程：=2考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；分类讨论。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，观察方程可得与互为倒数，所以可采用换元法将方程转化解答：解：设=y，则，则原方程为：y=2，即：y22y3=0，解得y1=3，y2=1当y1=3时，x=1，当y2=1时，x=经检验，x1=1，x2=是原方程的根x1=1，x2=点评：用换元法解分式方程是常用的一种方法，它能将方程化繁为简，因此要注意总结

20、能够用换元法解的分式方程的特点解分式方程时要注意根据方程特点选择合适的方法20、（2005）用换元法解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力根据方程特点与互为倒数，可设=y，则原方程可整理为：y=1，即可求得y的值，求得的值，再进一步求解即可解答：解：设=y，则=原方程可化为：y=1，整理得：y2y2=0，解得：y1=2，y2=1当y1=2时，=2，2x+4=x，解得：x=4当y2=1时，=1，x2=x，解得：x=1经检验：x1=4，x2=1都是原方程的根点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种

21、常用的方法21、（2005丰台区）用换元法解方程：x2+2x=1考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：解此题的关键是要有整体思想，采用换元法，首先设x2+2x=y，而后解此分式方程求y，再解关于x的一元二次方程结果需检验解答：解：设x2+2x=y，则，于是原方程变形为y=1，方程的两边都乘以y，约去分母，并整理，得y2y6=0解这个方程，得y1=3，y2=2当y=3时，x2+2x=3，即x2+2x3=0，解这个方程，得x1=3，x2=1当y=2时，x2+2x=2，即x2+2x+2=0，=480，这个方程没有实数根经检验，x1=3，x2=1都是原方程的根

22、原方程的根是x1=3，x2=1点评：此题考查了学生的分析能力与计算能力解题的关键是要有整体思想，掌握换元思想22、（2005州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，由方程特点可设y=，原方程变形为y2+2y3=0，求得y的值，即可得到关于x的方程，求解后要注意检验解答：解：设y=，原方程变形为y2+2y3=0，解得y1=1，y2=3显然y1=1不合题意；当y2=3时，=3，解得x=验根知x=是原方程的根点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法要注意总结能用换元法解的分式方程的特点

23、23、（2005滨州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：由于，出现互为倒数的两个分式，设=y，将原方程转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，结果要检验解答：解：设=y，则原方程可化为3y+=53y25y+2=0解得，y=1，或y=当y=1时，=1，x2x1=0解得，x=当y=时，2x23x2=0解得，x=，或x=2经检验，它们都是原方程的根原方程的根是x1=，x2=，x3=，x4=2点评：本题中的两个式子互为倒数，可设其中的一个为y，那么另一个为它的倒数24、（2004）解方程：x2=+x1考点：换元法解分式方程；解一元二

24、次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：整理可知，方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2x，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：原方程变形为x2x+1=，设x2x=y，则原方程变形为y+1=，即y2+y6=0解这个方程，得y1=3，y2=2当y=3时，x2x+3=0=112=110，此方程无实数根当y=2时，x2x2=0，解这个方程，得x1=2，x2=1检验：把x1=2，x2=1分别代入原方程的分母，分母都不等于0，原方程的根是x1=2，x2=1点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结

25、能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧25、（2004）解方程：x2+2=2（x+）考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：整理可知，方程的两个分式具备平方关系，设x+=y，则原方程化为y22y=0用换元法解一元二次方程先求y，再求x注意检验解答：解：原方程可化为（x+）2=2（x+），设x+=y，则y22y=0，即y（y2）=0解得y=0或y=2当y=0时，x+=0，即x2+1=0，此方程无解当y=2时，x+=2，解得x=1经检验x=1是原方程的根原方程的根是x=1点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结

26、能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧26、（2004）解方程：x23x1=考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=x23x，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设y=x23x，则原方程为y1=，去分母得y2y12=0，解得y=3或y=4当y=3时，有x23x+3=0，无解当y=4时，有x23x4=0，解得x1=4，x2=1经检验x1=4，x2=1是原方程的根点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特

27、点，寻找解题技巧27、（2004）用换元法解分式方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力因为与互为倒数，所以可设，然后对方程进行整理变形解答：解：设，则原方程可化为y+=2，即y22y+1=0解得y=1，则即x2x2=0解得x1=2，x2=1经检验原方程的解为x1=2，x2=1点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法要注意总结能用换元法解的分式方程的特点28、（2004）解方程：=x2x+1考点：换元法解分式方程；一元二次方程的解。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2x，则

28、原方程另一个分式为6可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设y=x2x，则原方程化为6=y1，整理得y2y6=0，解得y=3或y=2当y=3时，有x2x=3，解得x1=，x2=；当y=2时，有x2x=2，移项得，x2x+2=0，=18=70，故方程无实数根经检验x1=，x2=是原方程的根原方程的根是x1=，x2=点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧29、（2004宿迁）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：都与有关，可设y=，

29、再化为整式方程，使方程简化解答：解：设，则原方程可化为：y+4=0，去分母，并整理得：y24y+3=0，解得：y1=1，y2=3当y1=1时，解得；当y2=3时，解得经检验，x1=，x2=都是原方程的根点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化需注意换元后得到的根也必须验根30、（2004）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=2x2x+2，则2x2x=y2可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设y=2x2x+2，则原方程化为y+=0，即2y25y+2=0，y1=2，y2=当2

30、x2x+2=2，即2x2x=0，解之，x1=0，x2=当2x2x+2=，即4x22x+3=0，显然此方程无实数根经检验，原方程的根为x1=0，x2=点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧31、（2004）用换元法解方程x2x+1=0考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2x，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设x2x=y，原方程可变形为：y+1=0，方程两边都乘以y，得y2+y

31、6=0，解得y1=2，y2=3当y=2时，x2x=2x1=1，x2=2；当y=3时，x2x=3，0，此方程无实数根检验：把x1=1，x2=2分别代入原方程的分母，分母不等于0，原方程的根是x1=1，x2=2点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧32、（2004）解方程：8=0考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个分式具备平方关系，设，则原方程化为y22y8=0用换元法转化为一元二次方程先求y，再求x结果需检验解答：解：令，得y22y8=0，即（y4）（y+

32、2）=0，解得y1=4，y2=2当y1=4时，解得x1=；当y2=2时，解得x2=经检验x1=，x2=都是原方程的根原方程的根是x1=，x2=点评：换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧33、（2004江）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题。分析：方程较复杂，可先整理整理后可发现都与有关，可设y=，使方程简化解答：解：原方程可化为：设，则：，即：6y213y+6=0，解得：，或解得：，x3=3，经检验，以上四个值都是原方程的解点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法

33、使分式方程简化需注意换元后得到的根也必须验根34、（2004）解方程：考点：换元法解分式方程。专题：计算题。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力可根据方程特点设y=，则原方程可化为y2y6=0解一元二次方程求y，再求x解答：解：设y=，则原方程化为y2y6=0，解得y1=2，y2=3，当y1=2时，x1=，当y2=3时，解得x2=3，经检验x1=，x2=3都是原方程的根点评：用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根35、（2004海淀区）解方程：=6考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换

34、元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验本题也可以直接去分母求解解答：解：设，原方程变形为y+=6，即y26y+5=0，解得y1=1，y2=5当y=1时，=1；此方程无解当y=5时，=5；去分母，得x+1=5x，x=经检验x=是原方程的根原方程的根为x=点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧36、（2004）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设x2

35、+2x=y，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：令x2+2x=y，y+4=0，去分母得y24y+3=0，即（y3）（y1）=0，解得y1=3，y2=1当y1=3时，x2+2x=3，解得x1=3，x2=1；当y2=1时，x2+2x=1，解得x3=1+，x4=1经检验x1=3，x2=1，x3=1+，x4=1，都是原方程的根原方程的根是x1=3，x2=1，x3=1+，x4=1点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧37、（2004丰台区）用换元法解方程：=3

36、考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程较复杂，但都与有关，可设y=，用换元法求解解答：解：设y=，则原方程变为：y=3，方程两边都乘y，得：y23y4=0，（y4）（y+1）=0，y=4或y=1，经检验得：y=4或y=1是原方程的解，当y=4时，=4，解得：x1=3，x2=1；当y=1时，=1，x2+x+3=0，=110，方程无解经检验：x1=3，x2=1是原方程的解点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化需注意换元后得到的根也必须检验38、（2004东城区）解方程：x+1=2考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题

37、；换元法。分析：都与x+1有关，可设x+1=y，使方程简化，化分式方程为整式方程求解解答：解：设x+1=y，则原方程化为y=2，去分母，得y22y3=0，解这个方程，得y1=1，y2=3，当y=1时，x+1=1，所以x=2；当y=3时，x+1=3，所以x=2，经检验，x=2和x=2均为原方程的解点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化需注意换元后得到的根也必须验根39、（2003）解方程：x2x1=考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：此方程可用换元法解方程设x2x=y则方程为y1=，解分式方程，注意检验，再代入求值即可解答：解：设x2

38、x=y则方程为y1=解这个分式方程得：y1=2，y2=1经检验，y1=2，y2=1都是分式方程的根当y=2时，x2x=2解之得，x1=2，x2=1当y=1时，x2x=1此时=14=30，方程无解原方程的解为x1=2，x2=1点评：此题用了换元法解方程，注意得到一个分式方程，要检验40、（2003）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个分式具备平方关系，设=y，则原方程化为y2+2y3=0用换元法解一元二次方程先求y，再求x也可以直接去分母，解一元二次方程结果需检验解答：解：方法一：设=y，则原方程可化为y2+2y3=0解得y1=1，y2=3当

39、y=1时，=1，解之得x=1；当y=3时，=3，解之得x=经检验，原方程的根是x1=1，x2=方法二：去分母，得4x2+4x（x1）3（x1）2=0，整理得5x2+2x3=0，解之得x1=1，x2=经检验，原方程的根是x1=1，x2=点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧41、（2003）解方程：=x2+x+1考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2+x，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验

40、解答：解：设x2+x=y，则原方程化为y2+y6=0，解得y1=3，y2=2当y1=3时，有x2+x=3，即x2+x+3=0，此方程无实根；当y2=2时，有x2+x=2，即x2+x2=0，解得x1=1，x2=2经检验x1=1，x2=2均是原方程的根原方程的根是x1=1，x2=2点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧42、（2003）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：此题可用换元法解答，设=y，则原方程为y+=2，求得y的值，再代入=y解答求得x的

41、值即可解答：解：设=y，则原方程为y+=2解之得，y=1则=1解之得，x=1或经检验，x=1或是原方程的根原方程的解为x=1或点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧43、（2003）解方程考点：换元法解分式方程。专题：计算题。分析：可根据方程特点设y=，则原方程可化为y25y+6=0解一元二次方程求y，再求x解答：解：设=y，则原方程化为y25y+6=0解得y1=2，y2=3当y1=2时，=2，解得x1=2当y2=3时，=3解得x=经检验x1=2，x2=都是原方程的根原方程的根是x1=2，x2=点

42、评：本题考查用换元法解分式方程的能力用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根44、（2003）解方程2x24x=3考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：原方程整理可知，方程的两个部分具备倒数关系，设x22x1=y，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：原方程可变形为2（x22x1）1=0设x22x1=y，则原方程变形为2y1=0，即2y2y3=0解这个方程，得y1=1，y2=当y=1时，x22x1=1，解这个方程，得x1=0，x2

43、=2当y=时，x22x1=，解这个方程，得检验：把x1=0，x2=2，x3=，x4=代入原方程的分母，分母不等于0，所以它们都是原方程的根所以原方程的根是x1=0，x2=2，x3=，x4=点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧45、（2003）用换元法解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设y=，则原方程化为y+=，整理得2y25y+2

44、=0，解得y=或y=2当y=时，有=，解得x1=3，x2=1；当y=4时，有=2，解得x3=，x4=2经检验x1=3，x2=1，x3=，x4=2是原方程的根原方程的根是x1=3，x2=1，x3=，x4=2点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧46、（2003）用换元法解方程考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设，那么，原方程变形为，整理得2y27

45、y+6=0解这个方程，得，y2=2当时，去分母，得3x+9=2x2，x=11当y=2时，去分母，得2x+6=x1，x=7检验，把x=11，x=7分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，原方程的根是x1=11，x2=7点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧47、（2003）用换元法解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：x23x与互为倒数，可设y=x23x，将原方程换元求y，再解关于x的一元二次方程结果需检验解答：解：设x23x=y，则原方程化为，解得

46、y1=2，y2=3当y1=2时，x23x=2，解得x1=1，x2=2；当y2=3时，x23x=3，0，此方程无实数根；经检验：x1=1，x2=2都是原方程的根原方程的根是：x1=1，x2=2点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化互为倒数，或者互为倍数关系的可设为元48、（2003）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设，则原方程为y+=3，去分母得y23y+2=0，解得y1=1，y2=2由得x2x+1=0，=（1）2

47、4110，这个方程无实数根由得x22x+1=0解得x1=x2=1经检验，x1=x2=1是原方程的根原方程的根是x1=x2=1点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧49、（2002）解方程：x2+3（x+）+4=0考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：整理可知，方程的两个分式具备平方关系，设x+=y，则原方程化为y23y+2=0用换元法解一元二次方程先求y，再求x注意检验解答：解：原方程整理：（x+）23（x+）+2=0设x+=y，则原方程变形为：y23y+2=0，解

48、得：y1=1，y2=2当y=2时，x+=2，解得：x=1；当y=1时，x+=1，即x2x+1=0，=14=30，故无根经检验：x=1是原方程的解点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧50、（2002）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：此题可用换元法解答，设=y，则原方程为y+=，求得y的值，再代入=y解答求得x的值即可解答：解：设=y，则原方程为y+=解之得，y1=，y2=2当y=时，=，解得，x=1当y=2时，=2解得，x=2经检验，x1=1，

49、x2=2原方程的根原方程的解为x1=1，x2=2点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧51、（2002）用换元法解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：此题可用换元法解答，设=y，则原方程为y2y6=0，求得y的值，再代入=y，解答求得x的值即可解答：解：设=y，则原方程为y2y6=0解之得，y1=3，y2=2当y=3时，=3解得，x=当y=2时，=2解得，x=经检验，x1=，x2=原方程的根原方程的解为x1=，x2=点评：用换元法解分式方程时常用方

50、法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧52、（2002）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设y=，则原方程化为y=3，整理得y2+3y+2=0，解得y=1或y=2当y=1，有=1，解得x1=1；当y=2时，有=2，解得x2=经检验x1=1，x2=是原方程的根原方程的根是x1=1，x2=点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，

51、对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧53、（2002）解方程考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是=y，换元后整理成关于y的一元二次方程，解方程后再把y的值代入y=后再计算，最后要注意检验，分式方程最后需要验根也可以通过去分母的方法化为整式方程求解解答：解：解法一：设y=则原方程可化为2y=1去分母，整理得2y2y1=0解这个方程得，y2=1当y=时，x=当y=1时，次方程无解检验：把x=代入原方程的坟墓，各分母都不等于0，原方程的解是x=解法二：去分母，整理得6x=4

52、x=检验：把x=代入原方程的分母，各分母都不等于0原方程的解是x=点评：本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式=y，再用字母y代替解方程54、（2002江）解方程：3x+=5考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：方程较复杂，应先整理都与有关，可设y=，用换元法求解解答：解：整理得+=5，设y=，则y+=5，y25y+6=0，解得：y1=2，y2=3，当=2时，解得：x1=1，x2=，当=3时，解得：x3=，x4=，经检验这四个解都是原方程的解x1=1，x2=，x3=，x4=点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简

53、化需注意换元后得到的根也必须验根55、（2002聊城）用换元法解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2x，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设x2x=y，则原方程变形为y4=0，即y24y12=0解得y1=2，y2=6当y=2时，x2x+2=0，因为=18=90，所以此方程无实数根当y=4时，x2x6=0，解这个方程，得x1=3，x2=2检验：把x1=3，x2=2分别代入原方程的分母，分母都不等于0，原方程的根是x1=3，x2=2点评：换元法解分式方程时常用方法之一

54、，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧56、（2002荆州）考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：此题可用换元法解答，设=y，则原方程为y+=3，求得y的值，再代入=y解答求得x的值即可解答：解：设=y，则原方程为y+=3解之得，y1=1，y2=2当y=1时，=1解得，x1=2，x2=1当y=2时，=2，此方程无解经检验，x1=2，x2=1原方程的根原方程的解为x1=2，x2=1点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程

55、的特点，寻找解题技巧57、（2002）解方程：+5=0考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于y的分式方程先求y，再求x结果需检验解答：解：设y=，则原方程化为y+5=0，整理得y25y+6=0，解得y=2或y=3当y=2时，有=2，解得x1=2；当y=3时，有=3，解得x2=经检验x1=2，x2=是原方程的根原方程的根是x1=2，x2=点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧58、（2002

56、呼和浩特）解方程组：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：由于方程组中含有，故可设=m，=n，把分式方程整式方程后，求得m，n的值，再求得x，y的值解答：解：设=m，=n原方程组可化为2得20mn=24解得或或经检验，它们都是原方程的解点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧59、（2002）解方程考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：整理可知，方程的两个分式具备平方关系，设y=x+，则原方程化为y23y4=0用换元法解一元

57、二次方程求y，再求x注意检验解答：解：整理得，（x+）23（x+）4=0，设y=x+，则原方程化为y23y4=0，解得y=1或y=4当y=4时，有x+=4，解得x1=2+，x2=2当y=1时，有x+=1，得x2+x+1=0，=14=30，故该方程无实数根经检验x1=2+，x2=2是原方程的根原方程的根是x1=2+，x2=2点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧60、（2002）解方程：8x2+12=0考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化，可设y=2x23解答：解：原方程化为=0设2x23=y（1分）于是原方程变形为方程的两边都乘