随机过程及其平稳性

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1、第二章第二章 第三节第三节 随机过程及其平随机过程及其平稳性稳性 一、一、随机过程及其概率分布随机过程及其概率分布 （一）随机过程定义（一）随机过程定义 2121012,), 0),(,为时间序列。集合时，随机序列也成代表时间为随机序列。等，则称，或，为离散集，如当取为随机过程则称等或为连续集，如当取对于该随机变量的全体为随机变量，取为某个时间集，对设TxTTTxTTTTtxxTtTtttt（二）随机过程的分布特征（二）随机过程的分布特征1、有限维分布函数族 性，但使用不方便。述随机过随机过程联合分布函数能完整描xtXxtXPxxF的联联合分布函数tXtXTttXnnnttnn)(,)(),(

2、)(,),(,),(111,112、均值和方差函数 (1)均值函数 (2)协方差和方差函数)()()(xxdFtXEtmt2)()(),()()()()(),(tmtXEttRtmtXsmsXEtsR二、二、随机过程的平稳性随机过程的平稳性 （一）随机过程平稳性的定义和意义（一）随机过程平稳性的定义和意义 1、严平稳 若一个随机过程在任意时点概率分布的特性不受时间原点改变的影响，则称该随机过程是“严平稳”的。若一个随机过程是“严平稳”的,且存在一、二阶矩，则(1)在任一时点的均值和方差都是常数。(2)协方差与时间的起点无关，仅与时间间隔有关。2、弱平稳 若一个随机过程满足下列三个条件的。协方差

3、平稳的或弱平 稳则称为YYEYYCov为常数，与t无关YVar为常数，与t无关YEKkttktttt”“”“)(),()3();()()2();()() 1 (223、计量经济分析与时间序列平稳性 时间序列的平稳性是一个非常重要的特征，它保证了随机过程基本上没有结构变动，而结构变动将使预测遇到困难或不可能。 计量经济的时间序列分析模型进行分析和预测的基础是时间序列具有平稳性。 以后谈到的平稳通常是指弱平稳。（二）平稳和非平稳随机过程的（二）平稳和非平稳随机过程的例子例子1、白噪声过程 白噪声序列是平稳序列，它是构成各种平稳和非平稳时间序列的基础。噪声 过声过程或白噪声个白则称这个随机过程是一C

4、ovVarE满足t若sttttt, 0),()3()()2( , 0)() 1 ( :),(,22、独立同分布过程 若一个随机过程在各时点满足 (1)彼此相互独立， (2)具有相同的分布， 则称该随机过程为一个独立同分布过程或独立同分布序列。独立同分布序列既是严平稳的，也是弱平稳的。正态白噪声序列 独立同分布序列3、随机游走和单位根过程程。过程为一个随机游走过随机是白噪声序列，那么其中YY满足：tY若随机过随ttttt该1, 2, 1, 0,单位根过程 若随机过程满足： 随机游走过程是非平稳过程。 单位根过程是非平稳过程。单位根过程。则称该随机过程为一个是白噪声序列，为常数，其中Y或YYttt

5、ttt1（三）平稳性的检验（三）平稳性的检验1、图形判断 2、自相关图检验 3、单位根检验(以后介绍)1、图形判断平稳时间序列图形-4-20242004006008001000Z2非平稳时间序列图形1.01.52.02.53.03.54.0100020003000400050006000GER趋势平稳时间序列图形0200400600800100036384042444648505254CAPAR例1 用图形判断某地区人均收入和人均消费数据的平稳性（数据见教材例3-1） 启动Eviews进入主窗口EViews。 点击FileNew/Workfile,进入工作文件定义对话框Workfile Cre

6、ate. 在工作文件定义对话框中，对工作文件结构类型项Workfile structure type可选择时间序列（Dated-regular frequency);在日期框（Date specification)中，日期频率（Frequency)选择年度（Annual),并在下面输入起止年份，输入工作文件名，同时给工作文件页命名。最后，点击ok.在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如x,y),ok. 点击序列x或y的图标，输入数据。 Quick/Graph/Line Graph序列y的图形02000400060008000100001200082848

7、68890929496980002Y序列dy的图形-20002004006008001000120014008284868890929496980002DY序列d2y的图形-1000-5000500100015008284868890929496980002D2Y序列d3y的图形-2500-2000-1500-1000-5000500100015008284868890929496980002D3Y2、自相关图检验 先复习随机变量的数字特征: 一元随机变量X的数字特征: 数学期望E(X)，描述X的平状态，衡量随机变量取值的平均水平。 方差Var(x),描述X的离散程度，是衡量随机变量取值发散程

8、度的指标。 两个或多个随机变量的关系也可以通过数字特征加以描述。 两个或多个随机变量的数字特征:协方差和相关系数协方差和相关系数 协方差 设随机变量 和 的均值和方差都存在，则 称为 和 的“协方差”（Covariance）。12)()(),(221121EEECov12 相关系数 设随机变量 和 的均值和方差都存在，则 称为 和 的“相关系数”（Correlation coefficient）。 )()()()(21221121VarVarEEE1212偏相关系数 设 、 和 是三个相互之间都有关系的随机变量，每个随机变量都包含有另两个随机变量的影响。在这种情况下，两个随机变量的相关系数反映

9、的其实不是这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序列的相关系数，用这种方法得到的相关系数称为“偏相关系数”，记为 。1X2X3X3 .12偏相关系数的计算方法 将 对 和 进行回归，因为 对 的影响在 的回归系数中得到了体现，因此 的回归系数就代表 对 的净影响，就是 和 之间排除了 影响的偏相关系数 。偏相关系数也称为偏回归系数。1X2X3X3X1X3X2X2X1X1X2X3X3 .12自相关图检验的原理 平稳时间序列过程的自协方差，或由协方差计算的自相关函数（ACF），应该很小、很快趋于0，

10、由截尾或拖尾特征。自相关图检验计算公式 利用自相关函数时特性进行检验的公式为：),(),(0ttkttkkYYCovYYCov例1 用自相关图检验某地区人均收入和人均消费数据的平稳性（数据见教材例3-1） File/Open/Eviews workfile/h:谢识予p155.wf1 点击Y的图标Last updated: 06/06/08 - 07:19 1981585.00001982576.00001983615.00001984726.00001985992.000019861170.00019871282.00019881648.00019891812.00019901936.000

11、19912167.00019922509.00019933530.00019944669.00019955868.00019966763.00019976820.00019986866.00019998248.00020008868.00020019336.000200210464.00View/correlogram/level/okDate: 02/05/09 Time: 23:27Sample: 1981 2002Included observations: 22AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob . |*| . |*

12、| 10.8640.86418.7830.000 . |* | . | . |20.734-0.05233.0030.000 . |* | . *| . |30.597-0.10142.9030.000 . |* | . *| . |40.457-0.09749.0370.000 . |* | . | . |50.3450.01552.7370.000 . |*. | . *| . |60.220-0.13354.3320.000 . |* . | . *| . |70.077-0.18054.5430.000 . | . | . *| . |8-0.052-0.07954.6450.000

13、. *| . | . | . |9-0.159-0.02555.6740.000 .*| . | . | . |10-0.243-0.03758.2740.000 .*| . | . | . |11-0.301-0.02962.6230.000 *| . | . *| . |12-0.350-0.06169.0990.000View/correlogram/选Level，OK从上图样本自相关函数的值分析 Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 下面分析DY的平稳性。从上图样本自相关函数的值分析 Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 除个别值接近临界值外，其他值都落在临界值范围之内，所以，可以初步判断时间序列DY基本具有平稳性。 下面分析D2Y的平稳性。从上图样本自相关函数的值分析 Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 除个别值接近临界值外，其他值都落在临界值范围之内，所以，可以初步判断时间序列D2Y基本具有平稳性。 下面分析D3Y的平稳性。从上图样本自相关函数的值分析 Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 但Autocorrelation的值都落在临界值范围之内，所以，可以判定时间序列D3Y具有平稳性。作业 P55 6,8